物理の見方

原子の見方の例題

著者：柚木芹香

前の節で，砂糖の分子の個数と大きさを，質量と密度から求められそうだと見通しをつけました．この節では，それを数にします．原子の世界では $10^{- 10}$ や $10^{23}$ のような数が普通に出てくるので，まず扱いの道具を整えます．

定理数学の道具：桁（10の冪）と有効数字

科学的記数法．数を $a \times 10^{n}$ （ $1 \leq a < 10$ ， $n$ は整数）の形に書きます． $n$ を桁（オーダー）といいます．

10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n}, \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m - n}, (10^{m})^{n} = 10^{m n}

掛け算では指数を足し，割り算では引きます．たとえば $(3 \times 10^{8}) \times (2 \times 10^{- 3}) = 6 \times 10^{5}$ です．数の大きさを比べるには，まず桁を比べます．

接頭語．k（キロ） $= 10^{3}$ ，M（メガ） $= 10^{6}$ ，G（ギガ） $= 10^{9}$ ，m（ミリ） $= 10^{- 3}$ ， $μ$ （マイクロ） $= 10^{- 6}$ ，n（ナノ） $= 10^{- 9}$ ．

有効数字．意味のある桁を有効数字といいます． $0.0030$ は2桁です． $1200$ は桁数がはっきりしないので， $1.2 \times 10^{3}$ （2桁）や $1.20 \times 10^{3}$ （3桁）と書き分けます．

掛け算・割り算：結果の桁数を，入力のうち桁数の最も少ないものに合わせる．
足し算・引き算：結果の最後の桁の位置を，入力のうち最も粗いものに合わせる．
途中の計算は1桁多く保ち，最後に丸める．

練習． (1) $(4.0 \times 10^{5}) \div (8 \times 10^{- 2})$ を計算せよ．(2) $12.3 + 0.47$ を有効数字を考えて計算せよ．(3) $(2.0 \times 10^{- 3})^{3}$ と $\sqrt{9.0 \times 10^{- 8}}$ を計算せよ．(4) $(2.7 \times 10^{- 29})^{1 / 3}$ を計算せよ（指数が3で割り切れるように， $27 \times 10^{- 30}$ と書き直す）．(5) $4.56 \times 2.1$ を有効数字を考えて計算せよ．

答え：(1) $0.5 \times 10^{7} = 5 \times 10^{6}$ ．(2) $12.77$ を，粗い $12.3$ の小数第1位に合わせて $12.8$ ．(3) $8.0 \times 10^{- 9}$ ， $\sqrt{9.0} \times 10^{- 4} = 3.0 \times 10^{- 4}$ ．(4) $27^{1 / 3} \times 10^{- 10} = 3.0 \times 10^{- 10}$ ．(5) $9.576$ を2桁に合わせて $9.6$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水1滴の体積を $0.050 mL$ （質量 $0.050 g$ ）とする．水のモル質量を $18 g {mol}^{- 1}$ ， $N_{A} = 6.0 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ とする．

水1滴に含まれる水分子の個数を求めよ．

解答を見る

考え方 質量を物質量に直し， $N_{A}$ を掛ければ個数になる．

物質量は $0.050 / 18 = 2.8 \times 10^{- 3} mol$ である．個数は $2.8 \times 10^{- 3} \times 6.0 \times 10^{23} \approx 1.7 \times 10^{21}$ 個である（入力は2桁なので2桁で答える）．地球の人口 $8 \times 10^{9}$ 人の約 $2 \times 10^{11}$ 倍にあたる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

角砂糖1個を砂糖（ショ糖） $3.0 g$ の結晶とみなす．ショ糖のモル質量は $342 g {mol}^{- 1}$ ，結晶の密度は $1.6 g {cm}^{- 3}$ ， $N_{A} = 6.0 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ とする．

角砂糖1個に含まれる砂糖分子の個数を求めよ．
砂糖分子1個が占める体積と，それを立方体とみなしたときの一辺を求めよ．この一辺は可視光の波長 $400 nm$ の何分の1か．
内径 $6.0 cm$ のコップの水に溶かしたときの水面の上昇は何 $mm$ か．溶液の体積は，水の体積と砂糖結晶の体積の和に等しいとする．

**［図：角砂糖を溶かした水面］**
内径6.0 cmのコップで，溶かす前の水面と溶かした後の水面の差Δhを示す．

解答を見る

考え方 (1) は質量から個数へ．(2) は結晶の体積を個数で割る．(3) は体積が足し算なら，上昇した部分の体積は結晶の体積に等しい．

物質量は $3.0 / 342 = 8.8 \times 10^{- 3} mol$ ．個数は $8.8 \times 10^{- 3} \times 6.0 \times 10^{23} \approx 5.3 \times 10^{21}$ である．
結晶の体積は $V = 3.0 / 1.6 = 1.9 {cm}^{3} = 1.9 \times 10^{- 6} m^{3}$ ．1個あたり

v = \frac{1.9 \times 10^{- 6}}{5.3 \times 10^{21}} \approx 3.6 \times 10^{- 28} m^{3}

一辺は $(360 \times 10^{- 30})^{1 / 3} \approx 7.1 \times 10^{- 10} m = 0.71 nm$ である．波長との比は $400 / 0.71 \approx 560$ であるから，波長の約 $1 / 560$ である．

断面積は $S = π \times (3.0 cm)^{2} = 28 {cm}^{2}$ ．上昇した部分の体積が $V = 1.9 {cm}^{3}$ であるから

Δ h = \frac{V}{S} = \frac{1.9}{28} cm \approx 0.068 cm \approx 0.7 mm

ポイントここまでのまとめ

原子の世界の数は $a \times 10^{n}$ の形で書き，掛け算では指数を足し，割り算では引く．
有効数字は，掛け算・割り算では桁数の少ないほうに，足し算・引き算では粗いほうの位置に合わせる．
質量 $\to$ 物質量 $\to$ 個数と順に進めば，目に見えない粒の数も大きさも，ふつうの測定値から求められる．
角砂糖1個の分子の数は約 $5 \times 10^{21}$ ，分子1個の一辺は約 $0.7 nm$ だった．