原子の見方の演習

考え方 1個の質量は「密度×1個の体積」でも「モル質量÷$N_A$」でも求まる．2通りが一致するかを見る．

1. 体積は $(0.26\times {10}^{-9}\mathrm{m}{)}^3=1.76\times {10}^{-29}{\mathrm{m}}^3$，密度は $1.93\times {10}^4\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ であるから $m=1.93\times {10}^4\times 1.76\times {10}^{-29}\approx 3.4\times {10}^{-25}\mathrm{kg}$ である．

2. $m=0.197/(6.02\times {10}^{23})\approx 3.3\times {10}^{-25}\mathrm{kg}$ である．(1) との差は約4 %で，よく一致する．

考え方 (1) は $1\mathrm{L}$ の物質量に $N_A$ を掛ける．(2) は $1\mathrm{L}$ を個数で割る．

1. 物質量は $1/22.4=4.46\times {10}^{-2}\mathrm{mol}$．個数は $4.46\times {10}^{-2}\times 6.02\times {10}^{23}\approx 2.7\times {10}^{22}$ 個である．

2. 1個あたりの体積は $1.0\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3/2.7\times {10}^{22}=3.7\times {10}^{-26}{\mathrm{m}}^3$．一辺は $(37\times {10}^{-27}{)}^{1/3}\approx 3.3\times {10}^{-9}\mathrm{m}=3.3\mathrm{nm}$ である．分子の大きさの約 $3.3/0.3\approx 11$ 倍，およそ10倍である．

考え方 混ざったあとは，印つきの分子はどこにも同じ割合で存在する．くみ上げた中の個数は，（印つきの総数）×（くみ上げた量が海全体に占める割合）である．

コップ1杯の分子数は $N_c={\displaystyle \frac{200}{18}}\times 6.0\times {10}^{23}\approx 6.7\times {10}^{24}$ 個である．くみ上げた量が海全体に占める割合は，質量の比で $f=200\mathrm{g}/(1.4\times {10}^{24}\mathrm{g})\approx 1.4\times {10}^{-22}$ である．求める個数は

すなわち約 ${10}^3$ 個である．分子の数は巨大（${10}^{24}$）だが，海に対する割合は小さく（${10}^{-22}$），打ち消し合って「千個ほど」が残る．完全に混ざるには長い年月が要るので，理想化した値である．

考え方 $\mathrm{NaCl}$ 1組（イオン2個）の質量が分かれば，モル質量をそれで割ると $1\mathrm{mol}$ 中の組の数，すなわち $N_A$ が出る．

1組はイオン2個なので，占める体積は $2d^3=2\times (0.282\times {10}^{-9}\mathrm{m}{)}^3=4.49\times {10}^{-29}{\mathrm{m}}^3$ である．密度 $2.16\times {10}^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ から，1組の質量は $2.16\times {10}^3\times 4.49\times {10}^{-29}\approx 9.69\times {10}^{-26}\mathrm{kg}$ である．よって

となり，知られた値 $6.02\times {10}^{23}{\mathrm{mol}}^{-1}$ とよく一致する．