物理の見方

単位と次元

著者：柚木芹香

問い

軽い糸に小さなおもりをつけた振り子を，毎回同じ小さな角度から静かに放して振らせます．糸の長さを $l$ ，おもりの質量を $m$ ，重力加速度を $g$ とします．1往復にかかる時間（周期 $T$ ）は，このうちどれで決まるでしょうか．糸を4倍にしたら，おもりを2倍にしたら，月に持っていったら，周期はどうなるでしょうか．

周期を表す式は知らないものとして，形だけ当ててみましょう．紙に予想を書いてください．

**［図：糸でつるした振り子］**
天井の1点から長さlの糸でおもり（質量m）をつるした振り子．おもりは左右に振れ，鉛直下向きに重力加速度gがはたらく．1往復にかかる時間が周期Tである．

考えてみる

式を知らなくても言えることがあります．周期は「時間」です．時間を作る材料が， $l$ （長さ）， $m$ （質量）， $g$ （長さ÷時間÷時間）の中にあるはずです．質量だけが「質量」を含みますが，長さや時間から質量は作れません．答えから質量を消す手段がないので，周期に $m$ は入れないはずです．残るのは $l$ と $g$ で， $l / g$ は（長さ）÷（長さ÷時間²）＝時間² です．だから周期は $\sqrt{l / g}$ に比例するはずです．

この「量の種類（次元）だけを頼りに式の形を決める」方法を，この節と次の節で整えます．この節では，まず単位と次元そのものを確かめます．

量は「数×単位」

物理量は，数と単位の積です． $l = 2.0 m$ は，長さの基準 $1 m$ の2.0倍という意味です．単位が違えば数も変わりますが， $2.0 m$ と $200 cm$ は同じ長さです．

世界共通の単位として，国際単位系（SI）があります．基本になるのは，長さ（メートル，m），質量（キログラム，kg），時間（秒，s），電流（アンペア，A），温度（ケルビン，K），物質量（モル，mol），光度（カンデラ，cd）の7つです．

力学では，m，kg，s の3つで足ります．ほかの単位はこれらの積と商で作り，組立単位といいます．速さは $m s^{- 1}$ ，加速度は $m s^{- 2}$ ，力は $1 N = 1 kg m s^{- 2}$ ，エネルギーは $1 J = 1 N m = 1 kg m^{2} s^{- 2}$ です．

単位の換算は，「1に等しい比」を掛けることです． $1 km = 1000 m$ ， $1 h = 3600 s$ だから

36 km / h = 36 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 10 m s^{- 1}

加速度の単位：なぜ $m s^{- 2}$ か

速さの単位 $m s^{- 1}$ は「1秒あたり何メートル進むか」を表します．加速度は「速度が1秒あたりどれだけ変わるか」ですから，速度の変化を，それにかかった時間で割ります．ここでは物体を静かに放して鉛直に落とす場合だけを考えます．向きが変わらないので，速度の変化は速さの変化で表せます．単位も同じように割ります．

\frac{速度の変化（速さの変化） [m s^{- 1}]}{かかった時間 [s]} = m s^{- 1} \div s = m s^{- 2}

「秒」が2回出てくるのは，1回目が速さ（速度）の「1秒あたり」，2回目が加速度の「1秒あたり」だからです．次元でいえば $L T^{- 1}$ を $T$ で割って $L T^{- 2}$ です．

重力加速度 $g = 9.8 m s^{- 2}$ は， $9.8 (m s^{- 1}) / s$ と読めます．つまり「1秒ごとに，速さが $9.8 m s^{- 1}$ ずつ増える」という意味です．空気抵抗を無視して物体を静かに放すと，速さは次のように増えます．

放してからの時間	速さ
$0 s$	$0 m s^{- 1}$
$1 s$	$9.8 m s^{- 1}$
$2 s$	$19.6 m s^{- 1}$
$3 s$	$29.4 m s^{- 1}$

「9.8 メートルずつ落ちる」のではなく，「速さが 9.8 $m s^{- 1}$ ずつ増える」のです．1秒で増える速さが一定ですから，たとえば $0.5 s$ なら $4.9 m s^{- 1}$ です．

ポイント加速度の単位の読み方

$m s^{- 2}$ は「 $m s^{- 1}$ 毎秒」と読む．数値は，1秒あたりの速度の変化量である（鉛直落下のように向きが変わらなければ，速さの変化量）． $g = 9.8 m s^{- 2}$ なら，1秒ごとに速さが $9.8 m s^{- 1}$ 増える．

次元

単位を取り去り，量の「種類」だけを見たものが次元です．長さ，質量，時間の次元を $L, M, T$ で表し，量 $x$ の次元を $[x]$ と書きます．

定義次元

ここで扱う力学の量は， $[x] = L^{a} M^{b} T^{c}$ の形に書ける．次元はこの右辺の積であり，指数 $a, b, c$ はその中の情報である．指数がすべて0の量を無次元量という（電流や温度などを含めると，基本の次元がさらに増える）．

量	次元
速さ	$L T^{- 1}$
加速度（ $g$ も同じ）	$L T^{- 2}$
力	$M L T^{- 2}$
エネルギー	$M L^{2} T^{- 2}$
圧力	$M L^{- 1} T^{- 2}$
角度，摩擦係数	無次元

法則次元のきまり

足し算・引き算・等号は，同じ次元の量どうしでしか成り立たない．
掛け算・割り算では，次元の指数が足し引きされる．
指数関数，対数，三角関数の中身は，無次元でなければならない．

したがって，次元が合わない式は必ず間違いです．検算に使えます．たとえば $x = \frac{1}{2} a t$ は，左辺が $L$ ，右辺が $L T^{- 1}$ で合わないので誤りです．逆に，次元が合っていても正しいとは限りません．係数（ $\frac{1}{2}$ など）は次元からは決まらないからです．

問いに戻る

「考えてみる」の筋道は，次元の言葉で書き直せます．周期 $T$ は時間 $T$ で，質量 $M$ を含むのは $m$ だけですから， $m$ は入りません． $l$ と $g$ から時間を作る組み合わせは $\sqrt{l / g}$ だけです．振り子の周期は $T = C \sqrt{l / g}$ の形で，振れの角度をそろえれば，糸が4倍なら周期は2倍，月（ $g$ が約 $1 / 6$ ）では約2.5倍になります． $C$ は無次元の数で，振れの角度には依存しうるうえ，次元解析では決まりません．振れが小さいとき $C = 2 π$ （のちの章で導きます）で， $l = 1.00 m$ なら $T = 2 π \sqrt{1.00 / 9.8} \approx 2.0 s$ です．

ポイントここまでのまとめ

物理量は「数×単位」．力学の単位は m，kg，s の積と商で作れる．
加速度の単位 $m s^{- 2}$ は，速度の単位 $m s^{- 1}$ を時間で割ったもの． $g = 9.8 m s^{- 2}$ は，空気抵抗を無視した鉛直落下で，1秒ごとに速さが $9.8 m s^{- 1}$ 増えることを表す．
量の種類だけを見たものが次元で，次元が合わない式は必ず間違い．ただし次元が合っても，係数までは決まらない．
振り子の周期は質量によらず，振れの角度をそろえれば $T = C \sqrt{l / g}$ の形になる．

問い

考えてみる

量は「数×単位」

加速度の単位：なぜ ms−2ms−2 か

次元

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加速度の単位：なぜ $m s^{- 2}$ か