物理の見方

次元解析と冪の計算

著者：柚木芹香

前の節で，次元が合わない式は間違いだと確かめました．この節では，その向きを逆にして，次元から式の形を絞り込みます．

次元解析：式の形を当てる

次元が合うことを逆に使うと，式の形を絞り込めます．

ポイント次元解析の手順

求めたい量が，どの量に関係しそうかを挙げる．
求めたい量を，関係する量のべき乗の積 $C x_{1}^{a} x_{2}^{b} \dots$ とおく（ $C$ は無次元の定数）．
両辺の $L, M, T$ の指数を別々に比べ，指数の連立方程式を解く．

$L, M, T$ を別々に比べてよいのは，どの単位を取り替えても式が成り立つ必要があるからです．長さの単位だけを $m$ から $cm$ に変えても，式は同じ形で成り立たねばなりません．

次元解析で決まるのは指数だけで，無次元の係数 $C$ は決まりません．重要な量を入れ忘れると，答えも誤ります．

無次元量．角度（弧÷半径），長さの比，質量の比などは次元がありません．無次元量は単位の取り方によらず，数値そのものに意味があります．関係する量の中に無次元量が含まれると，その関数の形までは次元解析では決まりません．たとえば振り子の振れの角度 $θ_{0}$ は無次元なので，一般には $T = C \sqrt{l / g} f (θ_{0})$ となり， $f$ は別に調べます．

定理数学の道具：冪の計算と指数の比較

次元解析で使う数学は，冪の計算と連立方程式です． $a > 0$ とします．

a^{m} a^{n} = a^{m + n}, (a^{m})^{n} = a^{m n}, a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, a^{1 / 2} = \sqrt{a}

次元の比較では， $L, M, T$ それぞれの指数が両辺で等しい，という連立方程式を作ります．たとえば $T = C l^{a} m^{b} g^{c}$ の次元を比べましょう． $[g] = L T^{- 2}$ だから

T^{1} = L^{a} M^{b} (L T^{- 2})^{c} = L^{a + c} M^{b} T^{- 2 c}

$T$ の指数から $- 2 c = 1$ ， $L$ の指数から $a + c = 0$ ， $M$ の指数から $b = 0$ となります．

練習． (1) $x^{3} \cdot x^{- 5} \div x^{1 / 2}$ を簡単にせよ．(2) $p + q = 1, - q = - 2$ を解け．(3) $8^{2 / 3}$ と ${(\frac{1}{27})}^{- 1 / 3}$ を求めよ．(4) $\sqrt{a^{3}} \cdot a^{- 1 / 2}$ を簡単にせよ．(5) $2 p + q = 1, p - q = 2$ を解け．(6) $(L T^{- 1})^{2} \div (L T^{- 2})$ を簡単にせよ．

答え：(1) $x^{3 - 5 - 1 / 2} = x^{- 5 / 2}$ ．(2) $q = 2, p = - 1$ ．(3) $8^{2 / 3} = (8^{1 / 3})^{2} = 4$ ， $27^{1 / 3} = 3$ ．(4) $a^{3 / 2 - 1 / 2} = a$ ．(5) 足して $3 p = 3$ より $p = 1, q = - 1$ ．(6) $L^{2 - 1} T^{- 2 + 2} = L$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $l$ の軽い糸に質量 $m$ のおもりをつけた振り子が小さく振れるとき，周期 $T$ は $l, m, g$ だけで決まるとする．

**［図：振り子の糸とおもり］**
長さlの糸に質量mのおもりをつけ，小さく傾けた振り子を示す．

次元解析で $T$ の $l, m, g$ への依存の形を求めよ．
$l = 0.25 m$ で $T = 1.00 s$ と測れた．係数 $C$ を求めよ（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．
周期が $2.0 s$ の振り子の長さを求めよ．

解答を見る

考え方 $T = C l^{a} m^{b} g^{c}$ とおき， $L, M, T$ の指数を比べる． $C$ は実験値から決める．

上の連立方程式を解く． $b = 0$ ， $c = - \frac{1}{2}$ ， $a = - c = \frac{1}{2}$ である．よって

T = C \sqrt{\frac{l}{g}}

である．質量には依存しない．

$C = T \sqrt{g / l} = 1.00 \times \sqrt{9.8 / 0.25} = 6.26$ である． $2 π = 6.28$ に近い．
$l = g T^{2} / C^{2} = 9.8 \times {2.0}^{2} / {6.26}^{2} \approx 1.0 m$ である．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

高さ $h$ から石を静かに放したとき，落下にかかる時間 $t$ を考える．空気抵抗は無視でき， $t$ は $h$ ，石の質量 $m$ ， $g$ だけで決まるとする．

$t$ の形を次元解析で求めよ．
$h = 4.9 m$ から落とすと $t = 1.00 s$ だった． $h = 19.6 m$ では何秒か．

**［図：静かに放した石］**
地面から高さhの石を静かに放す．重力加速度gは下向き．

解答を見る

考え方 (1) は振り子と同じ手順．(2) は係数 $C$ を求めなくても，比を取れば消える．

$t = C h^{a} m^{b} g^{c}$ とおく． $M$ から $b = 0$ ． $T$ から $- 2 c = 1$ ， $L$ から $a + c = 0$ だから $c = - \frac{1}{2}, a = \frac{1}{2}$ である．

t = C \sqrt{\frac{h}{g}}

石の質量には依らない．空気抵抗を無視するモデルの中では，重い石も軽い石も同時に落ちる（このモデルをどこまで使ってよいかは，この章の「モデルと問題の解き方」の節で確かめる）．

高さが4倍だから，時間は $\sqrt{4} = 2$ 倍で $t = 2.00 s$ である．

ポイントここまでのまとめ

次元解析は，求める量を $C x_{1}^{a} x_{2}^{b} \dots$ とおき， $L, M, T$ の指数を別々に比べて連立方程式を解く方法である．
決まるのは指数だけで，無次元の係数 $C$ は決まらない．無次元量が関係すると，その関数の形も決まらない．
振り子の周期は $T = C \sqrt{l / g}$ ，落下時間は $t = C \sqrt{h / g}$ で，どちらも質量によらない．
係数は，1回の測定か比を取ることで，別に処理する．