物理の見方

単位と次元の演習

著者：柚木芹香

単位の換算と，次元による検算・式の形の予想を練習します．式を立てる前に，各量の次元を $L, M, T$ で書き出す習慣をつけてください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

次の換算をせよ．(a) $108 km / h$ を $m s^{- 1}$ で．(b) $1.00 g {cm}^{- 3}$ を $kg m^{- 3}$ で．(c) $1 kWh$ を $J$ で．(d) 光が1年（ $3.16 \times 10^{7} s$ ）に進む距離を $m$ で（光速 $3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ）．

解答を見る

考え方 1に等しい比を掛ける．

(a) $108 \times 1000 / 3600 = 30 m s^{- 1}$ ．(b) $1.00 g = 10^{- 3} kg$ ， $1 {cm}^{3} = 10^{- 6} m^{3}$ だから $10^{- 3} / 10^{- 6} = 1.00 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ．(c) $1 kWh = 1000 W \times 3600 s = 3.6 \times 10^{6} J$ ．(d) $3.00 \times 10^{8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.48 \times 10^{15} m$ （およそ $9.5 \times 10^{15} m$ ）．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

次の式のうち，次元が合わないものはどれか．理由も述べよ．ただし $x$ は位置， $v, v_{0}$ は速さ， $a$ は加速度， $t$ は時刻， $m$ は質量， $K$ はエネルギー， $F$ は力， $r$ は半径， $l$ は長さ， $A$ は長さ， $T$ は振り子の周期， $g$ は重力加速度で， $ω$ の次元は $T^{- 1}$ とする．

(a) $v = v_{0} + a t^{2}$ 　(b) $K = \frac{1}{2} m v$ 　(c) $T = 2 π \sqrt{g / l}$ 　(d) $x = A \sin (ω t)$ 　(e) $F = \frac{m v^{2}}{r}$

解答を見る

考え方 各項の次元を $L, M, T$ で書いて比べる．

(a) 右辺第2項は $L T^{- 2} \cdot T^{2} = L$ で， $v$ の次元 $L T^{- 1}$ と合わない．誤り．(b) 右辺は $M L T^{- 1}$ ， $K$ は $M L^{2} T^{- 2}$ で合わない．誤り．(c) $\sqrt{g / l}$ は $T^{- 1}$ で，周期 $T$ と合わない（ $l / g$ が正しい）．誤り．(d) $ω t$ は無次元で， $A$ は長さなので合う．(e) $M L^{2} T^{- 2} / L = M L T^{- 2}$ で力と合う．よって誤りは (a)(b)(c) である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，ばね定数 $k$ のばねにつないだ質量 $m$ の物体が振動している．ばね定数の次元は， $F = k x$ から $[k] = M T^{- 2}$ である．

周期 $T$ が $m$ と $k$ だけで決まるとして，その形を求めよ．
$m$ を4倍， $k$ を9倍にすると，周期は何倍か．
$m = 0.20 kg$ ， $k = 8.0 N m^{- 1}$ で $T = 0.99 s$ だった．係数 $C$ を求めよ．
振幅 $A$ （長さ）も関係するとして次元解析すると，周期は振幅によるか．

**［図：ばねにつないだ物体］**
ばね定数kのばねと質量mの物体．自然長の位置からの変位Aを示す．

解答を見る

考え方 (4) は $A$ だけが長さの次元をもつことに注目する．

$T = C m^{a} k^{b}$ ． $M$ から $a + b = 0$ ， $T$ から $- 2 b = 1$ ．よって $b = - \frac{1}{2}, a = \frac{1}{2}$ ， $T = C \sqrt{m / k}$ である．
$\sqrt{4 / 9} = \frac{2}{3}$ 倍である．
$\sqrt{0.20 / 8.0} = 0.158$ だから $C = 0.99 / 0.158 = 6.26 \approx 2 π$ である．
$T = C m^{a} k^{b} A^{d}$ とおくと， $L$ の次元をもつのは $A$ だけなので $d = 0$ である．周期は振幅によらない（等時性）．ただし鉛直につるすと $g$ も長さを含み，無次元の組 $k A / (m g)$ ができるので，次元解析だけでは結論できない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

波長 $λ$ の水面の波が，水深に比べて十分に短く，表面張力と粘性が無視できる場合を考える（深い水の波）．速さ $v$ が $λ$ ，重力加速度 $g$ ，水の密度 $ρ$ だけで決まるとして， $v$ の形を求めよ．また，実際は $v = \sqrt{g λ / 2 π}$ として，波長 $25 m$ のうねりの速さと周期を求めよ．

解答を見る

考え方 $ρ$ だけが質量を含む点に注目する．

$v = C λ^{a} g^{b} ρ^{c}$ とおく． $M$ の指数から $c = 0$ ． $T$ の指数から $- 2 b = - 1$ ， $L$ の指数から $a + b = 1$ ．よって $b = a = \frac{1}{2}$ ， $v = C \sqrt{g λ}$ で，密度に依らない．

$λ = 25 m$ では $v = \sqrt{9.8 \times 25 / (2 π)} \approx 6.2 m s^{- 1}$ ．周期は $T = λ / v \approx 25 / 6.24 \approx 4.0 s$ である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ の太陽のまわりを，半径 $r$ の円軌道で回る惑星の公転周期 $T$ が， $r$ ， $M$ ，万有引力定数 $G$ （次元は $L^{3} M^{- 1} T^{- 2}$ ）だけで決まるとする．(1) $T$ の形を求めよ．(2) 太陽からの距離が地球の $5.2$ 倍である木星の周期を求めよ．(3) 係数が $2 π$ として，地球（ $r = 1.50 \times 10^{11} m$ ， $T = 3.16 \times 10^{7} s$ ）から $G M$ を求めよ．

**［図：太陽と惑星の軌道］**
質量Mの太陽を中心とする半径rの円軌道．周期をTとする．

解答を見る

考え方 指数の連立方程式を三つ作る．惑星の質量は太陽に比べ無視できる（無次元の比 $m / M$ が $1$ よりずっと小さい）ので入れない．

$T = C r^{a} G^{b} M^{c}$ とおく． $L$ ： $a + 3 b = 0$ ． $M$ ： $- b + c = 0$ ． $T$ ： $- 2 b = 1$ ．よって $b = - \frac{1}{2}, c = - \frac{1}{2}, a = \frac{3}{2}$ で

T = C \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}

である． $T^{2} \propto r^{3}$ （ケプラーの第3法則）が出る．

$T \propto r^{3 / 2}$ だから，地球の $1$ 年に対して ${5.2}^{3 / 2} = 5.2 \times 2.28 \approx 11.9$ 年である．
$G M = 4 π^{2} r^{3} / T^{2} = 39.5 \times (1.50 \times 10^{11})^{3} / (3.16 \times 10^{7})^{2} \approx 1.3 \times 10^{20} m^{3} s^{- 2}$ である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

水素原子の半径 $a$ を，プランク定数 $h$ （次元は $M L^{2} T^{- 1}$ ），電子の質量 $m_{e}$ ，電気素量 $e$ ，真空の誘電率 $ε_{0}$ から作りたい．クーロンの法則 $F = e^{2} / (4 π ε_{0} r^{2})$ より， $[e^{2} / ε_{0}] = M L^{3} T^{- 2}$ である．次元解析で $a$ の形を求め，数値を計算せよ（ $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $m_{e} = 9.11 \times 10^{- 31} kg$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $ε_{0} = 8.85 \times 10^{- 12} F m^{- 1}$ ）．実際の値は $5.3 \times 10^{- 11} m$ である．

**［図：水素原子の長さの尺度］**
原子核と電子の距離aを模式的に示す．軌道の模型は長さの尺度を表すためのもの．

解答を見る

考え方 $e$ と $ε_{0}$ は $e^{2} / ε_{0}$ の形でしか現れないと考えて，三つの量の積を作る．

$a = C h^{p} m_{e}^{q} (e^{2} / ε_{0})^{s}$ とおく． $L$ ： $2 p + 3 s = 1$ ． $M$ ： $p + q + s = 0$ ． $T$ ： $- p - 2 s = 0$ ． $p = - 2 s$ を $L$ に入れて $- s = 1$ ，よって $s = - 1, p = 2, q = - 1$ である．

a = C \frac{ε_{0} h^{2}}{m_{e} e^{2}}

数値は $\frac{8.85 \times 10^{- 12} \times (6.63 \times 10^{- 34})^{2}}{9.11 \times 10^{- 31} \times (1.60 \times 10^{- 19})^{2}} \approx 1.7 \times 10^{- 10} m$ である．実際の値は $C = 1 / π$ に相当し，桁が合っている．

ポイント教える人へ

先に振り子の式を教えず，「質量は効くか」とだけ聞く．直感は割れる．次元で「質量を消せない」と示すと，理由が見える．
つまずきは， $g$ の次元（ $L T^{- 2}$ ）， $\sqrt{}$ と指数 $\frac{1}{2}$ の対応，連立方程式の立て方である． $L, M, T$ ごとに指数の式を1本ずつ書かせる．
次元解析は係数を与えない．「次元が合えば正しい」と誤解させず， $2 π$ や $\frac{1}{2}$ は別の方法で決めると伝える．
確かめ：任意の式を渡して，次元の合否を理由つきで述べられるか，未知の式について「関係しそうな量」を自分で挙げられるかを見る．