物理の見方

見積もり

著者：柚木芹香

問い

教室に満ちている空気を残らず集めて，はかりに載せたとします．その質量は，教室にいる人ひとりより重いでしょうか，軽いでしょうか．重いとすれば，何倍くらいでしょうか．

実際にはかる必要はありません．まず直感で「重い」か「軽い」かを決め，次に「何 kg くらいか」を一つ書いてみましょう．

考えてみる

多くの人は「空気は手で持っても何も感じないのだから，質量はほとんどない」と思います．しかし感じないことと，質量がないことは別です．

では数字にするには何が要るでしょうか．質量は「密度×体積」で決まります．体積は教室の縦・横・高さの積です．密度は，水が $1 L$ で $1 kg$ であることを手がかりに，空気が水よりどれだけ軽いかを考えればよいことになります．空気は水のおよそ千分の一の軽さです．そうすると，教室の体積がおよそ $200 m^{3}$ （ $= 2 \times 10^{5} L$ ）なら，水なら $2 \times 10^{5} kg$ ですが，空気はその千分の一強で，数百 kg 程度になりそうです．

人ひとりが $60 kg$ ですから，空気のほうが何倍も重いと見当がつきます．

この「見当をつける」作業に筋道をつけるのがこの節の主題です．数値は次の節の例題 1 で確かめます．

見積もりの作法

定義フェルミ問題

正確なデータがなくても，知っている数字だけを組み合わせて，量の桁（ $10$ の何乗くらいか）を求める問題．物理学者フェルミが好んで出したことから，こう呼ばれる．

フェルミ問題には，次の三つの作法があります．

分解する．知らない量を，知っている量の積や和に分けます．教室の空気の質量なら「密度×縦×横×高さ」です．
桁で押さえる．各量は有効数字 1 桁，ときには「 $10$ の何乗か」だけで十分です．教室の縦が $8.7 m$ か $9.2 m$ かは，答えの桁を変えません．
上下の限界をとる．「これより大きいことはない」「これより小さいことはない」という値で挟みます．挟んだ結果が結論を変えないなら，細かい数字は要りません．

見積もりに価値があるのは，次の理由からです．

検算になる．精密な計算の結果が，見積もりと桁で食い違えば，どこかに誤りがあります．単位換算のミスは，たいてい $10^{3}$ 倍のずれになります．
研究の第一歩になる．実験を計画するとき，現象が何秒続くのか，装置がどれくらいの大きさかを，測る前に知る必要があります．
何を無視してよいかが分かる．次の節の例題 2 のように桁違いに小さいものは，捨てても結論は変わりません．これは，この章の最後の「モデルと問題の解き方」の節の土台です．

見積もりに使う数字の目安を表にします．

量	目安
水の密度	$1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$
空気の密度（ $20^{\circ} C$ ， $1 atm$ ）	$1.2 kg m^{- 3}$
成人の質量，身長	$6 \times 10^{1} kg$ ， $1.7 m$
東京ドームの容積	$1.2 \times 10^{6} m^{3}$
地球の半径	$6.4 \times 10^{6} m$
地球の表面積	$5.1 \times 10^{14} m^{2}$
地球の質量	$6.0 \times 10^{24} kg$
日本の人口，世界の人口	$1.2 \times 10^{8}$ 人， $8 \times 10^{9}$ 人
1 日，1 年	$8.6 \times 10^{4} s$ ， $3.2 \times 10^{7} s$
快晴の正午に地表へ届く太陽光	約 $1 kW m^{- 2}$

ポイント空気の密度はどこから来るか

気体 $1 mol$ の体積は， $20^{\circ} C$ ， $1 atm$ でおよそ $24 L$ ，空気 $1 mol$ の質量は約 $29 g$ です．密度は $29 g / 24 L \approx 1.2 kg m^{- 3}$ となり，表の値と合います．

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教室の体積を約 $200 m^{3}$ ，空気の密度を $1.2 kg m^{- 3}$ とすると，空気の質量は約 $2 \times 10^{2} kg$ です．人ひとり（ $60 kg$ ）の数倍で，空気のほうが重いといえます．教室の大きさが倍違っても，この結論は変わりません．

ポイントここまでのまとめ

見積もりは，知らない量を知っている量の積や和に分け，桁で押さえ，上下の限界で挟む作業である．
見積もりは検算になり，実験の計画の第一歩になり，何を無視してよいかを教えてくれる．
数字は有効数字 1 桁でよい．手がかりになる量（水の密度，地球の大きさ，1 年の秒数など）をいくつか覚えておく．
教室の空気は約 $2 \times 10^{2} kg$ で，人ひとりより数倍重い．