物理の見方

見積もりの数学

著者：柚木芹香

見積もりでは，下限と上限で挟んだあと，その真ん中をどう選ぶかが問題になります．この節では，そのための道具を整え，例題で使います．

定理数学の道具：幾何平均と対数の目安

幾何平均． 正の数 $a, b$ に対し， $\sqrt{a b}$ を幾何平均といいます．「下限が $a$ ，上限が $b$ 」と分かったとき，見積もりの中心値には算術平均 $\frac{a + b}{2}$ ではなく幾何平均を選びます．

理由は，見積もりの誤差を「何倍ずれたか」で測るからです．たとえば下限 $10$ ，上限 $1000$ のとき，算術平均 $505$ は下限の約 $50$ 倍で，挟み方が不ぞろいです．幾何平均 $\sqrt{10 \times 1000} = 100$ は，下限の $10$ 倍，上限の $\frac{1}{10}$ 倍で，どちら側にも同じ倍率の余裕があります．

対数の目安． 常用対数（ $10^{y} = x$ となる $y$ を $\log_{10} x$ と書く）をとると $\log_{10} \sqrt{a b} = \frac{1}{2} (\log_{10} a + \log_{10} b)$ となります．幾何平均は対数の算術平均です．掛け算が指数の足し算になることを使うと，次の目安が得られます．

$2^{10} = 1024 \approx 10^{3}$ より， $2 \approx 10^{0.3}$ ．したがって $5 = 10 / 2 \approx 10^{0.7}$ ．
${3.16}^{2} \approx 10$ より， $\sqrt{10} \approx 3$ ．すなわち $3 \approx 10^{0.5}$ ．

これで $2 \times 10^{3} \times 3 \times 10^{4} \approx 10^{0.3 + 0.5 + 7} = 10^{7.8} \approx 6 \times 10^{7}$ のように暗算できます．

練習 1． $20$ と $5000$ の幾何平均を求めよ．答え： $\sqrt{10^{5}} = 10^{2.5} \approx 3 \times 10^{2}$ ．

練習 2． $2^{20}$ はおよそ $10$ の何乗か．答え： $20 \times 0.3 = 6$ より約 $10^{6}$ （実際は $1.05 \times 10^{6}$ ）．

練習 3． $0.1 m$ と $1 km$ の幾何平均を求めよ．答え： $\sqrt{0.1 \times 1000} m = 10 m$ ．

練習 4． 対数の目安を使って， $4 \times 10^{3} \times 5 \times 10^{- 2}$ と $\sqrt{2 \times 10^{7}}$ を暗算せよ．答え： $4 = 2^{2} \approx 10^{0.6}$ なので $10^{0.6 + 3 + 0.7 - 2} = 10^{2.3} \approx 2 \times 10^{2}$ （実際は $200$ ）． $\sqrt{10^{7.3}} = 10^{3.65}$ ， $10^{0.65}$ は $4 \approx 10^{0.6}$ と $5 \approx 10^{0.7}$ の間なので，約 $4.5 \times 10^{3}$ （実際は $4.47 \times 10^{3}$ ）．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

縦 $9 m$ ，横 $7 m$ ，高さ $3 m$ の教室がある．中の空気の質量を見積もり，体重 $60 kg$ の人ひとりの質量と比べよ．さらに，ふつうの教室の大きさの範囲では結論が変わらないことを，上下の限界をとって確かめよ．

解答を見る

考え方 質量＝密度×体積に分解する．教室の寸法は人によって違うので，小さめの教室と大きめの教室で挟み，結論が動かないかを見る．

体積は $9 \times 7 \times 3 = 189 \approx 1.9 \times 10^{2} m^{3}$ ．空気の密度は $1.2 kg m^{- 3}$ なので，質量は

1.2 \times 189 \approx 2.3 \times 10^{2} kg

である．人ひとりの $60 kg$ と比べると $230 / 60 \approx 4$ 倍で，空気のほうが重い．

上下の限界をとる．小さめの教室として $5 \times 6 \times 2.5 = 75 m^{3}$ をとると，質量は $1.2 \times 75 = 90 kg$ ．大きめの教室として $12 \times 10 \times 3.5 = 420 m^{3}$ をとると，質量は $1.2 \times 420 \approx 5.0 \times 10^{2} kg$ ．どちらの場合も $60 kg$ を上回る．したがって「教室の空気は人ひとりより重い」という結論は，ふつうの教室ならどれでも成り立つ．二つの限界の幾何平均 $\sqrt{90 \times 500} \approx 2.1 \times 10^{2} kg$ は，最初の見積もりとよく合う．

答え：約 $2 \times 10^{2} kg$ ，人ひとりの約 $4$ 倍．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

日本の全人口（ $1.2 \times 10^{8}$ 人）が，同時にその場で高さ $0.4 m$ 跳び上がったとする．このとき地球は，反対向きにどれだけ動くか見積もれ．地球を一つの硬い塊とみなし，その動きが無視できる大きさかどうかを判断せよ．ただし，後の章で学ぶ運動量保存の法則「外から力を受けない物体系では，（質量）×（速度）の総和が変わらない」を使ってよい．

**［図：人びとと地球］**
人びとの上向きの速さvと地球の反対向きの速さVを模式的に示す．矢印の長さは速さの比ではない．

解答を見る

考え方 人びとが上向きにもつ運動量と同じ大きさの運動量を，地球が下向きにもつ．人間と地球の質量の比を作れば，地球の動きは人間の動きにその比を掛けたものになる．

1 人 $60 kg$ で，全員の質量は $m = 60 \times 1.2 \times 10^{8} \approx 7 \times 10^{9} kg$ ．高さ $h = 0.4 m$ まで上がる跳び出しの速さは，後の章で学ぶ等加速度運動の式から $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.4} \approx 2.8 m s^{- 1}$ である．運動量保存より，地球（質量 $M = 6.0 \times 10^{24} kg$ ）が下向きにもつ速さ $V$ は

M V = m v \Rightarrow V = \frac{m}{M} v = \frac{7 \times 10^{9}}{6 \times 10^{24}} \times 2.8 \approx 3 \times 10^{- 15} m s^{- 1}

である．人びとの重心が最高点で $0.4 m$ 上がっているとき，地球の重心は同じ比で逆向きに動いているから，その移動量は

\frac{m}{M} \times 0.4 m \approx 1.2 \times 10^{- 15} \times 0.4 \approx 5 \times 10^{- 16} m

となる．

これは原子核の大きさ（ $10^{- 15} m$ 程度）よりも小さい．念のため上限をとり，世界の全人口 $8 \times 10^{9}$ 人が跳んでも，移動量は $3 \times 10^{- 14} m$ で，原子の大きさ（ $10^{- 10} m$ ）の千分の一以下である．

答え：地球の動きは約 $5 \times 10^{- 16} m$ ．無視できる．

ポイントここまでのまとめ

下限 $a$ と上限 $b$ が分かったら，中心値には幾何平均 $\sqrt{a b}$ を選ぶ．どちら側にも同じ倍率の余裕が残る．
対数の目安は $2 \approx 10^{0.3}$ ， $3 \approx 10^{0.5}$ ， $5 \approx 10^{0.7}$ ．掛け算を指数の足し算にして暗算できる．
上下の限界で挟み，結論が変わらないことを確かめるのが見積もりの核心である．
桁違いに小さいものは捨てられる．人類が跳んでも地球の動きは約 $5 \times 10^{- 16} m$ で，無視できる．