見積もりの演習

考え方 1分→1日→1年→一生と，時間の単位を順に掛けていく．血液は（1回の量）×（回数）である．

1 日は $60\times 24=1440$ 分なので，1 日の心拍数は $70\times 1440\approx 1.0\times {10}^5$ 回．1 年は $365$ 日なので $1.0\times {10}^5\times 365\approx 3.7\times {10}^7$ 回．$80$ 年では $3.7\times {10}^7\times 80\approx 3\times {10}^9$ 回である．

送り出す血液は $70\mathrm{mL}=7\times {10}^{-5}{\mathrm{m}}^3$ に $3\times {10}^9$ を掛けて $2\times {10}^5{\mathrm{m}}^3$，東京ドームの約 $0.2$ 個分である．

答え：1 年で約 $4\times {10}^7$ 回，80 年で約 $3\times {10}^9$ 回．血液は約 $2\times {10}^5{\mathrm{m}}^3$．

考え方 （地球一周の長さ）÷（髪1本の長さ）で本数が出る．髪1本の長さは，上下の限界で挟んで決める．

赤道の長さは $2\pi R=2\pi \times 6.4\times {10}^6\approx 4.0\times {10}^7\mathrm{m}$．髪の毛 1 本の長さは $0.1\mathrm{m}$ から $0.5\mathrm{m}$ くらいなので，幾何平均に近い $0.2\mathrm{m}$ をとる．本数は

である．$1$ 人あたり ${10}^5$ 本なら，$2\times {10}^8/{10}^5=2\times {10}^3$ 人分，つまり 2000 人ほどの髪の毛で足りる．

答え：約 $2\times {10}^8$ 本，約 2000 人分．

考え方 雨の体積は（面積）×（降水量＝水の層の厚さ）である．長さの単位を m にそろえてから掛ける．

面積を m² にそろえる．$6\times {10}^2{\mathrm{km}}^2=6\times {10}^2\times {10}^6{\mathrm{m}}^2=6\times {10}^8{\mathrm{m}}^2$．降水量 $50\mathrm{mm}=0.05\mathrm{m}$ は，その面積の上に厚さ $0.05\mathrm{m}$ の水の層ができる量である．体積は

質量は，水の密度 ${10}^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ を掛けて $3\times {10}^{10}\mathrm{kg}$（$3\times {10}^7$ トン）である．東京ドームの容積 $1.2\times {10}^6{\mathrm{m}}^3$ で割ると，$3\times {10}^7/(1.2\times {10}^6)=25$ 個分となる．

答え：質量約 $3\times {10}^{10}\mathrm{kg}$，体積約 $3\times {10}^7{\mathrm{m}}^3$，東京ドーム約 25 個分．

考え方 必要な熱（質量×比熱×温度差）を，水に伝わる出力（面積×日射×割合）で割れば時間になる．

必要な熱は，水の質量 $2\times {10}^5\mathrm{g}$，比熱 $4.2\mathrm{J}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$，温度差 $30\mathrm{K}$ の積で

である．水に伝わる熱の出力は，$4{\mathrm{m}}^2\times 600\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\times 0.5=1.2\times {10}^3\mathrm{W}$．時間は

となる．

答え：約 6 時間．

考え方 水柱と大気の柱が同じ重さであることから，地表 $1{\mathrm{m}}^2$ あたりの空気の質量を出し，地球の表面積を掛ける．

地表の面積 $1{\mathrm{m}}^2$ の上に，水柱なら高さ $10\mathrm{m}$，すなわち体積 $10{\mathrm{m}}^3$ で質量 ${10}^4\mathrm{kg}$ の水がのる．大気の柱も同じ重さなので，面積 $1{\mathrm{m}}^2$ あたりの空気の質量は約 ${10}^4\mathrm{kg}$．地球の表面積は $4\pi R^2=4\pi \times (6.4\times {10}^6{)}^2\approx 5.1\times {10}^{14}{\mathrm{m}}^2$ なので，大気の質量は

である．地球の質量 $6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$ の約 ${10}^{-6}$ にすぎない．

密度が一様だとすると，$1{\mathrm{m}}^2$ の柱の質量は（密度）×（厚さ）なので，厚さは ${10}^4/1.2\approx 8\times {10}^3\mathrm{m}$，つまり約 $8\mathrm{km}$ になる．実際の大気は上空ほど薄くなりながら $100\mathrm{km}$ 以上続くが，この $8\mathrm{km}$ は質量の大部分が集まる「実質的な厚さ」を表す．

答え：約 $5\times {10}^{18}\mathrm{kg}$．一様密度なら厚さ約 $8\mathrm{km}$．

考え方 タイヤ1本の減る体積を（面積）×（減る深さ）で出し，台数と走行距離に広げていく．仮定はすべて書き出す．

仮定． タイヤの幅 $0.2\mathrm{m}$，外周 $2.0\mathrm{m}$（直径約 $0.65\mathrm{m}$），交換までに減る溝の深さ $6\mathrm{mm}$，溝などの空洞が占める割合 30 %，ゴムの密度 $1.1\times {10}^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$，交換までの走行距離 $4\times {10}^4\mathrm{km}$，年間走行距離 $8\times {10}^3\mathrm{km}$/台とする．

タイヤ 1 本の減る質量． 路面に触れる帯の面積は $0.2\times 2.0=0.4{\mathrm{m}}^2$．減る体積は $0.4\times 6\times {10}^{-3}=2.4\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^3$．実際にゴムがある部分は 70 % なので，質量は

である．

1 台あたり． 1 台は 4 本なので，寿命のあいだに約 $7.4\mathrm{kg}$ を失う．$4\times {10}^4\mathrm{km}$ あたり $7.4\mathrm{kg}$ だから，年間 $8\times {10}^3\mathrm{km}$ 走ると $7.4\times (8\times {10}^3)/(4\times {10}^4)\approx 1.5\mathrm{kg}$．

全体． $1.5\mathrm{kg}\times 8\times {10}^7=1.2\times {10}^8\mathrm{kg}$，すなわち約 ${10}^5$ トンである．仮定の各数値は 2 倍ほど動きうるので，桁（${10}^8$）までを信頼する．

答え：約 $1\times {10}^8\mathrm{kg}$（${10}^5$ トン）．