原子核と素粒子

結合エネルギーの例題

著者：柚木芹香

前の節で，原子核の質量は陽子と中性子の質量の和より小さく，その差が結合エネルギーになることを見ました．この節では，質量の表から結合エネルギーと反応の $Q$ 値を計算し，原子核の反応と化学反応で出るエネルギーの大きさを比べます．どの例題でも，原子の質量を使うときは電子の数が両辺でそろっているかを確かめます．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

中性の原子の質量を，水素 $m_{H} = 1.007825 u$ ，重水素 $M_{D} = 2.014102 u$ ，ヘリウム $M_{He} = 4.002603 u$ とし，中性子の質量を $m_{n} = 1.008665 u$ ， $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ とする．電子の結合エネルギーは無視する．

ヘリウムの原子核 $_{2}^{4} He$ の質量欠損，結合エネルギー $B_{He}$ ，核子1個あたりの結合エネルギーを求めよ．
重水素の原子核 $_{1}^{2} H$ の結合エネルギー $B_{D}$ を求めよ．
重水素の原子核2個が結びついてヘリウムの原子核1個になる反応の $Q$ 値を求めよ．また，同じ値を原子の質量から直接求めて確かめよ．

**［図：自由な核子，重水素，ヘリウムのエネルギー準位］**
上から自由な陽子2個と中性子2個，重水素の原子核2個，ヘリウムの原子核の順に準位を示す．最上段から重水素の段までの差を2B_D，最上段からヘリウムの段までの差をB_Heと記す．準位の間隔は模式的に示す．

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考え方 原子の質量を使うので，陽子の質量の代わりに水素原子の質量を使う． $Z$ 個の水素原子とヘリウム原子は電子の数が同じなので，電子の質量が打ち消し合う．反応の $Q$ 値は，陽子と中性子の数が変わらないので結合エネルギーの差で求まる．

解答

ヘリウムは $Z = 2$ ， $A - Z = 2$ なので

Δ m = 2 m_{H} + 2 m_{n} - M_{He} = (2.015650 + 2.017330 - 4.002603) u = 0.030377 u

である．よって $B_{He} = 0.030377 \times 931.5 MeV = 28.30 MeV$ ，核子1個あたりは $\frac{0.030377 \times 931.5}{4} MeV = 7.074 MeV$ である．

重水素は $Z = 1$ ， $A - Z = 1$ なので $Δ m = m_{H} + m_{n} - M_{D} = 0.002388 u$ ， $B_{D} = 2.224 MeV$ である．核子1個あたりでは $1.112 MeV$ で，ヘリウムの約6分の1しかない．
反応の前後とも陽子2個と中性子2個なので，自由な核子の静止エネルギーが打ち消し合い

Q = B_{He} - 2 B_{D} = (28.30 - 2 \times 2.224) MeV = 23.85 MeV

である．原子の質量で直接計算すると，重水素原子2個とヘリウム原子1個はどちらも電子を2個もつので， $Q = (2 M_{D} - M_{He}) c^{2} = (4.028204 - 4.002603) \times 931.5 MeV = 0.025601 \times 931.5 MeV = 23.85 MeV$ となり，一致する．

確かめ $Q > 0$ なので発熱反応であり，結合エネルギーの総和が $4.45 MeV$ から $28.30 MeV$ に増える向きと合う．質量の減り方の割合は $0.025601 / 4.028204 = 6.4 \times 10^{- 3}$ で，前の節で述べた原子核の $B / (M c^{2})$ の桁 $10^{- 3}$ から $10^{- 2}$ に入る．電子の結合エネルギーは数十 eV で， $Q$ と比べて $10^{- 6}$ 程度なので無視してよい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

静止したウラン235の原子核 $_{92}^{235} U$ が，ほとんど止まっている中性子を1個吸収して分裂し，バリウム141 $_{56}^{141} Ba$ とクリプトン92 $_{36}^{92} Kr$ と中性子3個になる反応を考える．中性の原子の質量は，ウラン235 が $235.043930 u$ ，バリウム141 が $140.914403 u$ ，クリプトン92 が $91.926173 u$ である． $m_{n} = 1.008665 u$ ， $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ ， $1 u = 1.6605 \times 10^{- 27} kg$ ， $1 MeV = 1.602 \times 10^{- 13} J$ とする．電子の結合エネルギーは無視する．

この反応の $Q$ 値を求めよ．
核子1個あたりの結合エネルギーは，ウラン235 が $7.591 MeV$ ，バリウム141 が $8.326 MeV$ ，クリプトン92 が $8.513 MeV$ である．これから $Q$ を求め，(1) と比べよ．
ウラン235 が $1.0 kg$ すべてこの反応で分裂したときに出るエネルギーを求めよ．

**［図：中性子を吸収したウラン235の核分裂］**
左では中性子nがウラン235の原子核へ近づく．中央では吸収後のウラン236の原子核が大きく変形する．右ではバリウム141とクリプトン92の原子核，中性子nが3個，外向きに飛び去る．粒子の配置と大きさは模式的に示す．

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考え方 電子の数は，反応の前がウランの92個，後がバリウムの56個とクリプトンの36個で合わせて92個なので，原子の質量のまま比べてよい．結合エネルギーで求めるときは，飛び出した自由な中性子の結合エネルギーが0であることに気をつける．

解答

反応の前の質量の和は $235.043930 + 1.008665 = 236.052595 u$ ，後の和は $140.914403 + 91.926173 + 3 \times 1.008665 = 235.866571 u$ である．差は $0.186024 u$ なので

Q = 0.186024 \times 931.5 MeV = 173.3 MeV

である．

陽子の総数（92）と中性子の総数（144）は反応の前後で変わらないので， $Q$ は結合エネルギーの総和の差である．吸収される中性子と飛び出す中性子3個は結合エネルギー0として数える．

Q = 141 \times 8.326 + 92 \times 8.513 - 235 \times 7.591 = (1174.0 + 783.2 - 1783.9) MeV = 173.3 MeV

となり，(1) と一致する．

1個のウラン235 の質量は $235.04 \times 1.6605 \times 10^{- 27} kg = 3.903 \times 10^{- 25} kg$ なので， $1.0 kg$ に含まれる原子核の数は $2.562 \times 10^{24}$ 個である．1回あたり $173.3 \times 1.602 \times 10^{- 13} J = 2.776 \times 10^{- 11} J$ なので，全体で

2.562 \times 10^{24} \times 2.776 \times 10^{- 11} J = 7.1 \times 10^{13} J

である．

確かめ 「核子1個あたり約 $0.8 MeV$ 強まる」という前の節の大まかな見方で $235 \times (8.4 - 7.59) MeV \approx 190 MeV$ としても桁は合う．ただし自由な中性子3個は結合に加わらず，分裂後に原子核に束縛されるのは $233$ 個なので，(2) のように前後の結合エネルギーの総和の差を取る必要がある．質量の減り方の割合は $0.186 / 236.05 = 7.9 \times 10^{- 4}$ である．この $Q$ 値は，分裂片が基底状態に落ち着くまでに出る運動エネルギーと放射のエネルギーの総和である．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

水素 $1 mol$ が酸素と反応して水 $1 mol$ （ $18 g$ ）ができるとき， $2.86 \times 10^{5} J$ の熱が出る．反応前後の物質全体は静止しており，熱はすべて系の外へ逃げ，熱以外のエネルギーの出入りはないものとする． $N_{A} = 6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $1 eV = 1.602 \times 10^{- 19} J$ とする．

水分子1個ができるときに出るエネルギーは何 eV か．例題1 のヘリウムの原子核の結合エネルギーと比べよ．
この反応で，反応する物質（水素と酸素，合わせて $18 g$ ）の質量は何 kg 減るか．もとの質量に対する割合も求め，質量の変化を天秤で確かめられるかを述べよ．
反応する物質 $1 kg$ あたりに出るエネルギーを，この化学反応，例題2 の核分裂（ウラン $1 kg$ あたり $7.1 \times 10^{13} J$ ），太陽の中で水素4個がヘリウム1個になる核融合（ $1 kg$ あたり $6.4 \times 10^{14} J$ ）で比べよ．

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考え方 1 mol あたりの量を $N_{A}$ で割れば1分子あたりになる．質量の減少は，系の外へ出ていったエネルギーを $c^{2}$ で割ったものである．

解答

1分子あたりのエネルギーは

\frac{2.86 \times 10^{5} J}{6.02 \times 10^{23}} = 4.75 \times 10^{- 19} J = 2.97 eV

である．ヘリウムの原子核の結合エネルギー $28.3 MeV = 2.83 \times 10^{7} eV$ はこの約 $1 \times 10^{7}$ 倍である．

質量の減少は

Δ m = \frac{2.86 \times 10^{5} J}{(3.00 \times 10^{8} m s^{- 1})^{2}} = 3.18 \times 10^{- 12} kg

で，もとの $1.8 \times 10^{- 2} kg$ に対する割合は $1.8 \times 10^{- 10}$ である．通常の化学実験で用いる天秤では，この質量の変化を確かめることはできない．化学で質量保存の法則が成り立つのはこのためである．

化学反応では $2.86 \times 10^{5} J / 0.018 kg = 1.6 \times 10^{7} J {kg}^{- 1}$ である．核分裂はこの $7.1 \times 10^{13} / 1.6 \times 10^{7} \approx 4 \times 10^{6}$ 倍，核融合は $6.4 \times 10^{14} / 1.6 \times 10^{7} \approx 4 \times 10^{7}$ 倍である．

確かめ 1 kg あたりのエネルギーを $c^{2} = 9.0 \times 10^{16} J {kg}^{- 1}$ で割ると，それぞれ質量の減り方の割合になる．化学反応で $1.8 \times 10^{- 10}$ ，核分裂で $7.9 \times 10^{- 4}$ ，核融合で $7.1 \times 10^{- 3}$ で，(2) と例題2，前の節の「水素の約 0.7 %」と合う．エネルギーの比は，化学結合が電子の結合（eV）で，原子核の結合が核力による結合（MeV）であることを反映している．

ポイントここまでのまとめ

原子の質量で計算するときは，陽子の代わりに水素原子の質量を使い，反応の両辺で電子の数がそろっているかを確かめる．
陽子と中性子の数がそれぞれ変わらない反応では $Q = \sum_{後} B - \sum_{前} B$ ．自由な核子の結合エネルギーは0として数える．
ウラン235 の分裂1回で約 $170$ から $200 MeV$ ，質量の約 0.08 % がエネルギーとして出る．水素の核融合では約 0.7 % である．
化学反応の質量の変化は $10^{- 10}$ 程度で天秤では測れず，核反応の $10^{6}$ から $10^{7}$ 分の1のエネルギーしか出ない．