原子核と素粒子

質量欠損と結合エネルギーの演習

著者：柚木芹香

原子核か中性原子かをそろえて質量を比べてください．核子あたりの値と全体の値を区別します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

陽子数6の中性の炭素12原子の質量は $12 u$ です．中性の水素原子の質量は $m_{H} = 1.007825 u$ ，中性子の質量は $m_{n} = 1.008665 u$ ，電子の質量は $m_{e} = 0.00054858 u$ とします． $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ とし，原子内の電子の結合エネルギーは無視します．

炭素核の質量 $M$ と陽子の質量 $m_{p}$ を表してください．
質量欠損 $Δ m$ ，結合エネルギー $B$ ，核子1個あたりの値を求めてください．

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考え方 炭素原子と6個の水素原子を比べると，電子6個の質量が相殺する．

$M = 12 u - 6 m_{e}$ ．また $m_{p} = m_{H} - m_{e}$ である．
$Δ m = 6 m_{p} + 6 m_{n} - M = 6 m_{H} + 6 m_{n} - 12 u = 0.098940 u$ ．したがって $B = Δ m c^{2} = 92.16 MeV$ ， $B / 12 = 7.680 MeV$ ． $Δ m > 0$ で，分解には正のエネルギーが要る．電子の結合エネルギーと $B$ の比が十分小さい範囲での近似である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

核子1個あたりの結合エネルギー $b = B / A$ を表に示します．

核種	$A$	$Z$	$b$ （ $MeV$ ）
炭素12	12	6	7.68
マグネシウム24	24	12	8.26
鉄56	56	26	8.79

全結合エネルギーが最小の核を求めてください．
マグネシウム核を炭素核2個に分け，静止して十分離すための供給エネルギーを求めてください．分解の $Q$ 値と逆向きの収支も答えてください． $Q$ は変化前から変化後の総静止エネルギーを引いた値です．

**［図：核子1個あたりの結合エネルギー］**
横軸A，縦軸bに，炭素12，マグネシウム24，鉄56の表の値7.68，8.26，8.79 MeVを置いた図．

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考え方 自由核子を基準に質量の低下を数え，分解前後で核子の種類と数をそろえる．

全体の値は順に $12 \times 7.68 = 92.16 MeV$ ， $24 \times 8.26 = 198.24 MeV$ ， $56 \times 8.79 = 492.24 MeV$ なので炭素核である．
自由核子の質量の和を $M_{0}$ とすると，始状態は $M_{0} c^{2} - 198.24 MeV$ ，終状態は $M_{0} c^{2} - 2 \times 92.16 MeV$ ．供給量は差の $13.92 MeV \approx 13.9 MeV$ となる．したがって分解の $Q = - 13.9 MeV$ であり，逆向きには同量を放出できるが，起こりやすさはこの収支だけでは決まらない． $b$ が等しい核どうしならこの差が0になることも確かめられる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

原子番号12の中性原子の仮想測定値を示します．表の $\pm$ は真の値を含む誤差の上限とし，各誤差は独立に変化できます．電子の結合エネルギーは無視します． $m_{n} = 1.008665 u$ ， $(1 u) c^{2} = 931.5 MeV$ とします．

$A$	原子質量 $M_{a}$ （ $u$ ）
24	$23.985000 \pm 0.000010$
25	$24.984600 \pm 0.000010$
26	$25.984220 \pm 0.000010$

$A = 24$ から25への結合エネルギーの増加 $s$ を，中央の値と誤差の上限で求めてください．
「結合エネルギーは中性子1個につき $s$ ずつ増す」という模型は，この測定で否定できますか．3点目を予測してください．

**［図：原子質量の測定点と誤差棒］**
質量数24，25，26の測定値を横軸A，縦軸M_a/u−Aで示す．誤差棒は各測定の誤差の上限を表す．

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考え方 電子数が同じなので，隣接する原子質量の差と中性子の質量から結合の変化が分かる．誤差の上限は絶対値を足す．

$s = [m_{n} - (M_{a} (25) - M_{a} (24))] c^{2} = 0.009065 u c^{2} = 8.444 MeV$ ．2つの質量の誤差の和から $δ s = 0.000020 \times 931.5 MeV = 0.01863 MeV$ ．したがって $s = (8.444 \pm 0.019) MeV$ である．
一定増加なら質量も等差数列になり， $M_{a, pred} (26) = 2 M_{a} (25) - M_{a} (24) = 25.984200 u$ ．予測誤差の上限は $3.0 \times 10^{- 5} u$ ．測定との差は $2.0 \times 10^{- 5} u$ であり，誤差の和 $4.0 \times 10^{- 5} u$ 以下なので否定できない．誤差が0なら差を検出できるが，今回は模型を証明したわけでもない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

太陽の光の全放射仕事率を $L = 3.8 \times 10^{26} W$ とします．消費した水素の質量の割合 $η = 0.0070$ が静止質量の減少となり，全て光へ変わる水素燃焼の模型を使います． $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ，利用可能な水素は $M_{H} = 1.4 \times 10^{29} kg$ ， $1 yr = 3.16 \times 10^{7} s$ とします．

質量減少率と水素消費率を求めてください．
$L$ が一定なら，この水素で何年放射できますか．質量減少を消費量と同一視した誤りも述べてください．

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考え方 質量減少は $L / c^{2}$ だが，消費した水素の多くは生成物として残る．

質量減少率は $L / c^{2} = 4.2 \times 10^{9} kg s^{- 1}$ ，水素消費率は $L / (η c^{2}) = 6.0 \times 10^{11} kg s^{- 1}$ となる．
時間は $t = M_{H} η c^{2} / L = 2.3 \times 10^{17} s = 7.3 \times 10^{9} yr$ ．質量減少率を消費率とすると時間を $1 / η$ 倍，約140倍長く見積もる． $L / c^{2}$ の単位は質量毎時間であり， $η \to 0$ では同じ光を出すための消費率が増すことも確かめられる．一定の $L$ と光への全変換を仮定した見積もりである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R = r_{0} A^{1 / 3}$ の球形核を液滴として考えます．核子1個につき $a_{v}$ だけ結合が強まり，表面積あたり $σ$ だけ結合が弱まるとします．一様な電荷 $Z e$ の球の静電エネルギーを $U_{C} = 3 k_{e} (Z e)^{2} / (5 R)$ と与え，結合から差し引きます． $a_{v} = 15.5 MeV$ ， $r_{0} = 1.20 fm$ ， $k_{e} e^{2} = 1.44 MeV fm$ ， $a_{s} = 4 π r_{0}^{2} σ = 17.0 MeV$ です．

$B = a_{v} A - a_{s} A^{2 / 3} - a_{c} Z^{2} A^{- 1 / 3}$ の形を導き， $a_{c}$ を求めてください．
$Z = A / 2$ に限り， $A$ を連続量として $b = B / A$ が最大となる $A$ と $b$ を求めてください．自己相互作用を除く $Z (Z - 1)$ を $Z^{2}$ で近似した相対的な違いも，求めた $A$ で見積もってください．

**［図：液滴模型の球形核］**
半径R，総電荷Zeの球形核．内部の核子と表面近くの核子を区別した模式図．

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考え方 核子数，表面積，電気的な損失は質量数への依存が異なる．核子1個あたりに直して極値を求める．

体積項は $a_{v} A$ ，表面の損失は $4 π R^{2} σ = a_{s} A^{2 / 3}$ ．電気的な損失は $U_{C} = (3 k_{e} e^{2} / (5 r_{0})) Z^{2} A^{- 1 / 3}$ なので，よって指定の形になり， $a_{c} = 3 k_{e} e^{2} / (5 r_{0}) = 0.720 MeV$ である．
$b = a_{v} - a_{s} A^{- 1 / 3} - (a_{c} / 4) A^{2 / 3}$ より $\frac{d b}{d A} = A^{- 4 / 3} (a_{s} / 3 - a_{c} A / 6)$ ．微分が正から負になる $A_{*} = 2 a_{s} / a_{c} = 47.2$ で最大となり， $b_{*} = 15.5 - 17.0 A_{*}^{- 1 / 3} - 0.180 A_{*}^{2 / 3} = 8.45 MeV$ である． $Z^{2}$ を基準にした補正の割合は $1 / Z = 2 / A_{*} = 0.0424$ ，約4.2 %となる．近似には $1 / Z$ が十分小さいことが必要である．小さい核では表面項，大きい核ではクーロン項が効くが，整数条件と陽子・中性子比の効果は省いており，実際の核種までは決まらない．

ポイント教える人へ

原子質量か核質量か，電子数まで確認させます．
$Q$ と外から供給するエネルギーの符号の違いを説明させます．
測定と模型が両立することと，模型が証明されたことを区別します．
液滴模型の3項と，連続量・一様電荷の近似の限界を問います．