光子と電子の波

原子の準位とスペクトルの演習

著者：柚木芹香

準位差と反跳を調べます．共通の定数は $B = 13.6 eV$ ， $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ です．波長と準位差の換算には $h c \approx 1.24 \times 10^{- 6} eV m$ を使います．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水素原子の準位を $E_{n} = - B / n^{2}$ とします．電離後の静止電子を基準0とし，反跳を無視します．

$n = 2$ の原子を電離する最小エネルギーと，電離できる光の最長波長を求めよ．
$n = 2$ の原子が $5.00 eV$ の光子で電離するとき，放出電子の運動エネルギーを求めよ．

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考え方 準位を0まで引き上げるエネルギーを求める．

$E_{2} = - B / 4 = - 3.40 eV$ より，最小エネルギーは $B / 4 = 3.40 eV$ ． $h c / λ \geq B / 4$ だから

λ_{max} = \frac{h c}{B / 4} = 365 nm .

エネルギー保存は $- 3.40 + 5.00 = K$ （各エネルギーを $eV$ で表す）より $K = 1.60 eV$ ．しきい値で $K = 0$ となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

多数の水素原子を $n = 5$ に励起します． $E_{n} = - B / n^{2}$ とし，低い準位への全遷移が可能とします．反跳を無視します．

集団が基底状態に戻るまでに，最大何種類の遷移が含まれるか．終点3のパッシェン系列の波長も求めよ．
始点を高くした極限で，この系列の最短波長を求めよ．

**［図：水素原子の準位と初期状態］**
水素原子の準位n＝1〜5を示す．初めはn＝5に励起されている．準位の高さは模式的である．

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考え方 途中の準位からの発光も数え，終点で系列を分類する．

準位の組は $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ 種類．終点3の始点は4，5で， $h c / λ = B (1 / 9 - 1 / n^{2})$ より

λ_{4 \to 3} = \frac{h c}{B (1 / 9 - 1 / 16)} = 1.88 \times 10^{3} nm, λ_{5 \to 3} = \frac{h c}{B (1 / 9 - 1 / 25)} = 1.28 \times 10^{3} nm .

$n \to \infty$ で準位差は $B / 9$ に近づく．限界は $λ_{min} = 9 h c / B = 821 nm$ ．有限の始点ではより長波長になる．

演習 3

東京大 1990 後期（改題） ★★☆☆☆

エネルギー $K_{0} = 13.00 eV$ の電子を，基底状態の水素原子の希薄な標的に入射します．散乱電子に次の山を観測しました．原子の反跳と熱運動，2回以上の衝突を無視します．準位は $E_{n} = - B / n^{2}$ です．

山	散乱電子のエネルギー
A	$13.00 eV$
B	$2.80 eV$
C	$0.91 eV$

各山が弾性散乱か励起かを判定し，励起後の $n$ を求めよ．
基底状態へ直接戻る光の波長を求めよ．入射エネルギーを $11.00 eV$ に下げたときの励起の山も求めよ．

**［図：水素標的への電子の入射と検出］**
電子源からエネルギーK0＝13.00 eVの電子を，基底状態の水素標的へ入射させる．標的を通った散乱電子を検出器で測定する．

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考え方 電子の損失を準位差と照合する．

$Δ E = K_{0} - K$ はA，B，Cで順に $0, 10.20, 12.09 eV$ ．Aは弾性散乱，残りは $Δ E = B (1 - 1 / n^{2})$ を使って

n = \frac{1}{\sqrt{1 - Δ E / B}}

から，Bが $n = 2$ ，Cが丸めの範囲で $n = 3$ である．

$λ = h c / Δ E$ より順に $122 nm$ ， $103 nm$ ．入射を下げると $n = 3$ の励起はエネルギー不足となり， $n = 2$ の山が $11.00 - 10.20 = 0.80 eV$ に残る．準位差は入射エネルギーによらない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

金属の内殻電子を，核電荷 $(Z - 1) e$ をもつ水素型の模型で扱います．準位は $E_{n} = - B (Z - 1)^{2} / n^{2}$ です． $n = 1$ の空席へ $n = 2$ の電子が移る特性X線の波長を $0.211 nm$ と測定しました．

この模型での $Z$ を求めよ．
静止電子を加速して $n = 1$ の電子を無限遠へ取り出すのに必要な最小加速電圧を求めよ．反跳を無視する．

**［図：内殻の空席と測定されたX線］**
電離後の静止電子の基準を0とし，準位n＝1の空席とn＝2の電子を示す．電子が空席へ移る特性X線の測定波長は0.211 nmである．準位の高さは模式的である．

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考え方 X線の準位差と空席を作るエネルギーを区別する．

$h c / λ = 3 B (Z - 1)^{2} / 4$ より， $Z = 1 + \sqrt{4 h c / (3 B λ)} \approx 25.0$ ．整数値から $Z = 25$ ．
束縛エネルギーは $- E_{1} = B \times 24^{2} = 7.83 \times 10^{3} eV$ ． $e V_{min} = - E_{1}$ より $V_{min} = 7.83 \times 10^{3} V$ ．X線はその $3 / 4$ のエネルギーなので，それだけでは空席を作れない．両準位で同じ有効電荷を使う近似である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

静止した水素が $n = 3$ から1へ光子を1個放出します．準位差は $Δ = 12.1 eV$ ，原子質量は $M = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ です．寿命 $τ = 1.00 \times 10^{- 8} s$ による自然幅を $δ E \sim ℏ / τ$ で見積もります．

光子エネルギーを $E_{γ}$ として，保存式を立てよ． $Δ / (M c^{2})$ が小さいとき，反跳エネルギーと光子のずれを求めよ．
反跳によるずれと自然幅の比を求め，反跳を線幅に対して無視できるか述べよ．

**［図：静止原子からの発光と反跳］**
左はn＝3の静止水素原子である．右は光子を放出してn＝1となった原子を示す．光子の進行方向と原子の反跳方向を矢印で示す．

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考え方 反跳を準位差と線幅に対して比較する．

反跳運動量は $p = E_{γ} / c$ ．非相対論的な運動エネルギーから

Δ = E_{γ} + \frac{E_{γ}^{2}}{2 M c^{2}} .

補正項で $E_{γ} \approx Δ$ と置き， $K_{r} \approx Δ^{2} / (2 M c^{2}) = 7.79 \times 10^{- 8} eV$ ．よって $E_{γ} \approx Δ - K_{r}$ である．

$δ E \sim h / (2 π τ) = 6.59 \times 10^{- 8} eV$ より $K_{r} / δ E \sim 1.2$ ．ずれは自然幅と同程度である． $Δ / (M c^{2}) = 1.29 \times 10^{- 8}$ であり，反跳速度と $c$ の比も同程度で，非相対論的な近似はよい．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

電荷 $- e$ ，質量 $m_{μ} = 207 m$ の重い粒子を，電荷 $+ e$ ，質量 $M = 1836 m$ の陽子に束縛します． $m$ は電子の質量です．両粒子は点で，重心は静止し，核構造や粒子の崩壊を無視します．相対距離を $r$ ，相対速度を $v$ ， $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とします．固定核模型の半径 $a_{0} = 5.29 \times 10^{- 11} m$ を使ってよい．

運動方程式から，換算質量 $μ = m_{μ} M / (m_{μ} + M)$ を導け．
$μ v^{2} / r = k e^{2} / r^{2}$ ， $μ v r = n ℏ$ を使い，基底状態の相対距離と $n = 2$ から1への準位差を求めよ．陽子を固定すると準位差を何倍に見積もるか．

**［図：陽子と重い粒子の相対距離］**
静止した重心の両側に陽子と重い粒子を配置する．陽子の質量M＝1836m，電荷＋e，粒子の質量mμ＝207m，電荷−eと，相対距離rを示す．

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考え方 電子の場合との質量比で比較する．

粒子から陽子への単位ベクトルを $u$ とすると，加速度は順に $k e^{2} u / (m_{μ} r^{2})$ ， $- k e^{2} u / (M r^{2})$ ．相対位置の加速度は $- k e^{2} (1 / m_{μ} + 1 / M) u / r^{2}$ なので， $1 / μ = 1 / m_{μ} + 1 / M$ である．
量子条件から $v = n ℏ / (μ r)$ を代入して $r_{n} = n^{2} ℏ^{2} / (μ k e^{2}) = n^{2} a_{0} m / μ$ ．また $K = k e^{2} / (2 r)$ ， $U = - k e^{2} / r$ より $E_{n} = - k e^{2} / (2 r_{n}) = - B (μ / m) / n^{2}$ ． $μ / m = 207 \times 1836 / (207 + 1836) = 186$ だから， $r_{1} = 0.284 pm$ ， $E_{2} - E_{1} = 3 B μ / (4 m) = 1.90 \times 10^{3} eV$ ．固定核では $μ$ を $207 m$ に置くため $207 / 186 = 1.11$ 倍．固定核近似には $m_{μ} / M$ が十分小さい必要があり，ここでは0.113で補正が効く．

ポイント教える人へ

電離と隣の準位への励起を区別させます．
集団の線の種類と1原子の光子数を区別させます．
衝突電子の山を，入射エネルギーを変えた予測で確かめます．
反跳の比較基準と固定核近似の質量比を説明させます．