光子と電子の波

束縛状態とエネルギー準位の演習

著者：柚木芹香

境界条件，確率，光の収支を結びつけましょう．計算では $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $ℏ = h / (2 π)$ ， $1 eV = 1.60 \times 10^{- 19} J$ を使います．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

$0 < x < L$ の箱の中の粒子が基底状態で，波動関数は $ψ = C \sin (π x / L)$ です．壁で $ψ = 0$ ，外には粒子がおらず， $C > 0$ とします．左端から $L / 4$ までを検出します．

規格化 $\int_{0}^{L} {| ψ |}^{2} d x = 1$ から $C$ を求めよ．
検出確率を求め，一様分布と比較せよ． $\sin^{2} u = (1 - \cos 2 u) / 2$ を使ってよいとします．

**［図：箱の左側の検出領域］**
0＜x＜Lの箱の左端からL/4までが検出領域である．壁と検出領域の境界を示す．

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考え方

波動関数の絶対値の2乗を積分する．

恒等式の余弦項の積分は0なので， $\int_{0}^{L} \sin^{2} (π x / L) d x = L / 2$ ．従って $C^{2} L / 2 = 1$ ， $C = \sqrt{2 / L}$ である．
求める確率は

P = \frac{2}{L} \int_{0}^{L / 4} \sin^{2} (π x / L) d x = {[\frac{x}{L} - \frac{\sin (2 π x / L)}{2 π}]}_{0}^{L / 4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 π} \approx 0.0908 .

一様分布の $P = 1 / 4$ より小さく，壁の近くで確率密度が低い． $C^{2}$ は長さの逆数であり，確率は無次元になる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の粒子を幅 $L$ の箱に入れます．壁は粒子を通さず，箱内のポテンシャルは0です．波長は $λ_{n} = 2 L / n$ ， $n = 1, 2, \dots$ です．壁を動かし，量子数 $n = 2$ を保ち幅を $3 L / 2$ にする模型です．変形中に光は出入りしません．

$E_{n} = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ を波長から導き，粒子が壁にした仕事を求めよ．
$n = 2$ から $n = 3$ への吸収波長は，幅を変えると何倍になるか．

**［図：右壁を動かして広げる箱］**
初め幅Lの箱を，一方の壁を動かして幅3L/2へ広げる．量子数n＝2を保ち，変形中に光は出入りしない．

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考え方

エネルギーの減少分が壁への仕事になる．

$p = h / λ_{n} = n h / (2 L)$ より $E_{n} = p^{2} / (2 m) = n^{2} h^{2} / (8 m L^{2})$ ．初め $E_{2} = h^{2} / (2 m L^{2})$ ，広げた後は $4 E_{2} / 9$ ．従って仕事は $W_{wall} = 5 E_{2} / 9 = 5 h^{2} / (18 m L^{2})$ である．
エネルギー差は $Δ E = E_{3} - E_{2} = 5 h^{2} / (8 m L^{2})$ ，光子の波長は $λ_{γ} = h c / Δ E$ ．広げると $Δ E$ が $4 / 9$ 倍なので $λ_{γ}$ は $9 / 4$ 倍になる．幅の変化中も $n$ を保つ模型の結果である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

2同位体の分子の振動を，相対変位 $x$ の運動方程式 $m_{i} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k_{i} x$ で表します． $m_{i}$ は有効質量です．隣接準位間の吸収波長は次のとおりで，質量の誤差は無視します．

分子	$m_{i}$ （ $kg$ ）	吸収波長
A	$2.00 \times 10^{- 26}$	$(10.00 \pm 0.05) μ m$
B	$2.88 \times 10^{- 26}$	$(12.00 \pm 0.06) μ m$

準位は $E_{n} = (n + 1 / 2) ℏ ω_{i}$ ， $n = 0, 1, \dots$ ， $ω_{i} = \sqrt{k_{i} / m_{i}}$ とします．

$k_{i}$ と測定波長の関係を導き，両分子で共通のばね定数を使えるか．
零点エネルギーとばね定数の相対不確かさを求めよ． $Δ k_{i} / k_{i} \approx - 2 Δ λ / λ$ を使ってよいとします．

**［図：同位体分子の振動模型と入射光］**
分子A，Bを2原子とばねで表す．xは平衡位置からの相対変位，miは有効質量，kiはばね定数である．入射光の測定波長を示す．

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考え方

準位間隔を吸収から決め，振動子の模型で零点エネルギーへ換算する．

隣接準位間では $h c / λ = ℏ ω_{i}$ ，従って $ω_{i} = 2 π c / λ$ ， $k_{i} = m_{i} {(2 π c / λ)}^{2}$ ．Aから $k_{A} = 7.11 \times 10^{2} N m^{- 1}$ ．Bでは

\frac{k_{B}}{k_{A}} = \frac{m_{B}}{m_{A}} {(\frac{λ_{A}}{λ_{B}})}^{2} = 1.44 {(\frac{10.00}{12.00})}^{2} = 1 .

共通のばね定数に合う．

$E_{0} = ℏ ω_{i} / 2 = h c / (2 λ)$ より，Aは $0.0622 eV$ ，Bは $0.0518 eV$ ．波長の不確かさは両方0.5 %だから， $k_{i}$ は約1 %である．これは測定の不確かさで，模型の誤差を含まない．広がりと結合長の比が小さい範囲で二次のポテンシャルを使う．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子を $0 < x < L_{x}$ ， $0 < y < L_{y}$ の2次元の箱に入れます．箱内のポテンシャルは0で，4辺で $ψ = 0$ です．波動関数は $\sin (n_{x} π x / L_{x}) \sin (n_{y} π y / L_{y})$ に比例し， $n_{x}, n_{y}$ は正の整数です．エネルギーは両方向の和です．

準位を導き，正方形 $L_{x} = L_{y} = L$ の低い3準位と量子数を求めよ．等エネルギーの異なる状態を縮退と呼びます．
$L_{x} = L$ ， $L_{y} = L (1 + ϵ)$ ， $0 < ϵ$ が十分小さいとします． $(n_{x}, n_{y}) = (1, 2), (2, 1)$ のエネルギー差を一次まで求めよ．
基底状態からこの2状態への吸収波長の比を求めよ．

**［図：正方形の箱と縦に伸ばした箱］**
左は縦横ともLの正方形の箱である．右は横L，縦L(1＋ε)の箱である．辺の長さとx，y軸を示す．

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考え方

各方向のエネルギーを加える．

$p_{x} = n_{x} h / (2 L_{x})$ ， $p_{y} = n_{y} h / (2 L_{y})$ より

E = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2}}{2 m} = \frac{h^{2}}{8 m} (\frac{n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}} + \frac{n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}) .

$A = h^{2} / (8 m L^{2})$ とおくと，低い3準位は $2 A, 5 A, 8 A$ ．量子数は $(1, 1)$ ， $(1, 2), (2, 1)$ ， $(2, 2)$ である．第2準位は2重に縮退する．

$q = {(1 + ϵ)}^{- 2} \approx 1 - 2 ϵ$ とおく． $E_{1, 2} = A (1 + 4 q)$ ， $E_{2, 1} = A (4 + q)$ より， $E_{2, 1} - E_{1, 2} = 3 A (1 - q) \approx 6 A ϵ$ ． $(1, 2)$ の方が低い．
基底は $A (1 + q)$ ．差は $3 A q, 3 A$ なので， $λ_{1, 2} / λ_{2, 1} = {(1 + ϵ)}^{2} \approx 1 + 2 ϵ$ ． $ϵ \to 0$ で2本は重なる．近似には $ϵ$ が十分小さいことが必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

核子を一辺 $L = 8.0 fm$ の立方体に閉じ込めます． $1 fm = 10^{- 15} m$ ，質量 $m_{N} = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ とします．3方向の箱のエネルギーを加えます．箱内のポテンシャルは0で，核力を省きます．

基底エネルギーを求めよ．各方向で $Δ p \sim h / L$ とする不確定性の見積もりと比較せよ．
$L$ を2倍にするとエネルギーはどう変わるか． $L = 2.0 fm$ まで狭めた場合も求め，非相対論的近似を評価せよ．

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考え方

幅の逆2乗とエネルギーの桁に注目する．

各方向の波長は $2 L$ ，運動量の大きさは $h / (2 L)$ だから $E_{0} = 3 h^{2} / (8 m_{N} L^{2}) = 9.6 \times 10^{6} eV$ ．不確定性からは $K \sim 3 {(h / L)}^{2} / (2 m_{N}) = 4 E_{0} \sim 3.9 \times 10^{7} eV$ ．桁は一致する．
$E_{0} \propto L^{- 2}$ なので幅2倍なら $E_{0} / 4$ ．幅を4分の1にすると $16 E_{0} = 1.5 \times 10^{8} eV$ となる． $m_{N} c^{2} = 9.4 \times 10^{8} eV$ に対する比は初め約0.010，狭めた後は約0.16である．初めはよいが，狭めた後は補正が必要になる．

ポイント教える人へ

規格化と部分領域の確率を積分で説明させます．
量子数の保持と光による遷移を区別させます．
準位間隔と零点エネルギー，測定誤差を問います．
対称性と縮退を量子数から確かめます．