ゆらぎと拡散（発展）

ブラウン運動とランダムウォークの演習

著者：柚木芹香

平均変位，平均2乗変位，分散を区別してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

歩幅 $l = 0.30 μ m$ の粒が，原点から独立に左右へ等確率で進みます．

64歩後の平均変位，平均2乗変位，その平方根を求めてください．
進んだ道のりを求め，(1)との違いを説明してください．

**［図：往復する道のりと変位］**
直線上を6歩往復する一例を，上から順に段をずらして描いた．各矢印の長さは歩幅 l である．道のりはすべての歩幅の和で，変位 x は出発点から終点までの符号付きの差である．問題の64歩でも，同じ区別を用いる．

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考え方 変位は逆向きの歩で相殺されるが，道のりは歩幅を足す．

1歩の平均が0なので $⟨ x ⟩ = 0$ ．独立な歩の分散を足すと $⟨ x^{2} ⟩ = 64 l^{2} \approx 5.8 μ m^{2}$ ，平方根は $8 l = 2.4 μ m$ である．
道のりは $64 l \approx 19 μ m$ ．2乗平均平方根は広がりの目安で，各粒の到達距離ではない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

歩幅 $l$ の粒が，原点から独立に左右へ等確率で6歩進みます．

原点に戻る確率を求めてください．
独立な $M$ 個の粒の最終位置の平均を $\bar{x}$ とします．その標準偏差を $l / 5$ 以下にするための最小の $M$ を求めてください．

**［図：6歩後の終点分布と複数粒子の平均位置］**
上段は6歩後に可能な7つの位置で，棒の高さと数は64通りの歩みの内訳 1，6，15，20，15，6，1 を表す．下段は独立な複数の粒の終点と，それらを平均した位置 x̄ の例である．標本平均は必ず原点になるわけではなく，終点の格子の間にもなりうる．

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考え方 平均の分散は，独立な和の分散を個数の2乗で割る．

右へ $k$ 回進むと $x = (2 k - 6) l$ ．原点は $k = 3$ なので確率は $(\binom{6}{3}) / 2^{6} = 5 / 16$ ．
各粒の分散は $6 l^{2}$ ，独立な和の分散は $6 M l^{2}$ ．したがって平均の標準偏差は $l \sqrt{6 / M}$ であり， $6 / M \leq 1 / 25$ より最小は150個である．標準偏差は和では $\sqrt{M}$ 倍，平均では $1 / \sqrt{M}$ 倍となる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

温度 $T$ ，粘性率 $η$ の液体中で，半径 $a$ ，密度 $ρ$ の球形の粒が熱平衡にあります．ストークスの法則が成り立ちます．

質量 $m$ と，等分配則から速さの2乗平均平方根を求めてください．
$T, η, ρ$ を保って半径を半分にすると，速さと同じ時間の1方向の広がりは何倍になるでしょうか．

**［図：球の大きさと速さ・広がり］**
同じ温度 T，液体の粘性率 η，粒の密度 ρ で，半径 a と a/2 の球を比べる．上段の青い矢印は瞬間の速度の一例で，その向きと大きさはゆらぐ．下段は同じ長い時間 t の1方向の終点の散らばりで，原点から片側への寸法線は広がり √⟨x²⟩ の目安を示す．瞬間の速さと長時間の広がりを区別する．

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考え方 速さは質量，長時間の広がりは移動度で決まる．

$m = 4 π ρ a^{3} / 3$ ．等分配則 $m ⟨ v^{2} ⟩ / 2 = 3 k_{B} T / 2$ より $\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} = \sqrt{3 k_{B} T / m}$ ．これは平均の速さ $\bar{v}$ とは異なる．
質量は $1 / 8$ 倍なので速さは $2 \sqrt{2}$ 倍． $μ_{m} = 1 / (6 π η a)$ は2倍となり， $⟨ x^{2} ⟩ = 2 μ_{m} k_{B} T t$ も2倍，広がりの平方根は $\sqrt{2}$ 倍である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

静かな液体中の粒の1方向の位置を時間間隔 $Δ t$ で記録したものをA，その4枚ごとを残したものをBとします．間隔はどちらも速度の記憶が消える時間より十分長く，測定誤差は無視します．

記録間の平均2乗変位と，推定する $D$ を比較してください．
同じ時間の記録点を結ぶ道のりと見かけの速度に，間引きが与える影響を説明してください．

**［図：同じ記録を4区間ごとに間引く］**
青いAは間隔 Δt ごとの1方向の位置 x の記録で，橙色のBはAの点を4区間ごとに残して結んだもの．共通の点を橙色の輪で示した．道のりは各区間の |Δx| の和であり，時間軸を含む図上の折れ線の長さではない．Bは記録点の間の往復を省く．

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考え方 平均2乗変位は時間に比例する．折れ線では間の往復を省く．

$⟨ (Δ x)^{2} ⟩ = 2 D Δ t$ より，Bの値はAの4倍．時間間隔も4倍なので，両者の $D$ は等しい．
三角不等式から，Bの道のりはA以下である．Bの変位の2乗平均平方根は2倍なので，見かけの速度の2乗平均平方根は半分になる．記録間の往復は省かれ，この速度は瞬間の速さではない．速度の記憶が残る短時間では，拡散の式も使えない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

各歩が独立で，右へ $l$ 進む確率が $3 / 5$ ，左へ進む確率が $2 / 5$ の歩行を考えます．原点から100歩進み， $l = 0.50 μ m$ とします．

1歩の変位 $s$ の平均と分散から，最終位置の平均と分散を求めてください．
2乗平均平方根と標準偏差を求め， $⟨ x^{2} ⟩ = N l^{2}$ を使えない理由を説明してください．

**［図：偏りのある歩行の中心と広がり］**
1歩で右へ l 進む確率は3/5，左へ l 進む確率は2/5である．100歩後の終点分布の中心 ⟨x⟩ は原点Oより右に移る．標準偏差 σ_x は分布の中心を基準にした幅で，原点を基準にした2乗平均平方根とは異なる．⟨x²⟩ は分散と平均の2乗の和になる．

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考え方 分散を足し，平均の2乗を戻す．

$⟨ s ⟩ = l / 5$ ， $⟨ s^{2} ⟩ = l^{2}$ より，1歩の分散は $24 l^{2} / 25$ ．したがって $⟨ x ⟩ = 20 l = 10 μ m$ ，分散は $96 l^{2} = 24 μ m^{2}$ ．
$⟨ x^{2} ⟩ = ⟨ x ⟩^{2} + 96 l^{2} = 496 l^{2}$ ．2乗平均平方根は $\sqrt{496} l \approx 11 μ m$ ，標準偏差は $\sqrt{96} l \approx 4.9 μ m$ ．異なる歩でも $⟨ s_{i} s_{j} ⟩ = ⟨ s_{i} ⟩ ⟨ s_{j} ⟩ = (l / 5)^{2}$ で0ではない．独立性だけでは交差項は消えない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

ペランにならい，半径 $a = 0.40 μ m$ の球を， $T = 300 K$ ， $η = 1.0 \times 10^{- 3} Pa s$ の液体中で観測します．4.0秒間の平面内の変位の模擬データ $⟨ x^{2} + y^{2} ⟩ = 8.8 μ m^{2}$ を得ました．運動は等方的で，流れと測定誤差は無視します．気体定数は $8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ です．

1方向の値に直し， $k_{B}$ とアボガドロ数 $N_{A}$ を推定してください．
式に半径の代わりに直径を入れると，推定値は何倍になるでしょうか．

**［図：平面の変位と球の半径・直径］**
左は観測面の x 軸と y 軸，出発点Oから終点への1粒の変位の例である．点線で変位の成分 x，y を示す．問題の ⟨x²＋y²⟩＝8.8 μm² は多数の粒の平均で，この1粒の値ではない．右は中心から表面までの半径 a と，全幅の直径 2a を示す．

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考え方 成分を分け，移動度をアインシュタインの関係に入れる．

等方性より $⟨ x^{2} ⟩ = 4.4 \times 10^{- 12} m^{2}$ ． $μ_{m} = 1 / (6 π η a)$ なので

k_{B} = \frac{3 π η a ⟨ x^{2} ⟩}{T t} \approx 1.4 \times 10^{- 23} J K^{- 1}

である．気体定数 $N_{A} k_{B}$ を丸める前の $k_{B}$ で割ると $N_{A} \approx 6.0 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ を得る．

$k_{B}$ は $a$ に比例し， $N_{A}$ は反比例する．直径を入れると $k_{B}$ は2倍， $N_{A}$ は半分となる．

ポイント教える人へ

「平均変位0なら静止か」と問い，道のりと広がりを区別させる．
標準偏差を足すつまずきには，和と平均の分散を計算させる．
観測の間隔で見かけの速度が変わる理由を説明させる．
偏りの交差項と，平面の測定値を2で割る理由で理解を確かめる．