ゆらぎと拡散（発展）

ゆらぎの数学：平均・分散と独立な和

著者：柚木芹香

ランダムウォークで $⟨ x ⟩ = 0$ なのに $⟨ x^{2} ⟩$ が増えたのは，「平均は0のまま分散が増える」ということでした．平均と分散の扱い方をまとめ，ブラウン運動の式を導き直します．

定理数学の道具：平均・分散と独立な量の和

確率的に値が決まる量 $X$ の平均（期待値）を $⟨ X ⟩$ ，分散を $σ_{X}^{2} = ⟨ (X - ⟨ X ⟩)^{2} ⟩ = ⟨ X^{2} ⟩ - ⟨ X ⟩^{2}$ と書く．平均は和について線形で， $⟨ X + Y ⟩ = ⟨ X ⟩ + ⟨ Y ⟩$ はいつでも成り立つ． $X$ と $Y$ が独立なときは，さらに $⟨ X Y ⟩ = ⟨ X ⟩ ⟨ Y ⟩$ が成り立ち，

σ_{X + Y}^{2} = ⟨ (X + Y)^{2} ⟩ - ⟨ X + Y ⟩^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 (⟨ X Y ⟩ - ⟨ X ⟩ ⟨ Y ⟩) = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}

となる．独立な量の和では，標準偏差ではなく分散が足し算になる． 同じ分散 $σ^{2}$ の独立な量を $N$ 個足すと標準偏差は $\sqrt{N} σ$ ，いっぽう $N$ 個の平均は和を $N$ で割るので分散が $σ^{2} / N$ ，標準偏差は $σ / \sqrt{N}$ になる．

二項分布． 確率 $\frac{1}{2}$ で右か左へ進む $N$ 回の試行で，右へ $k$ 回進む確率は $P (k) = (\binom{N}{k}) / 2^{N}$ ．右へ進む回数の平均は $N / 2$ ，分散は $N / 4$ で，標準偏差は $\sqrt{N} / 2$ にすぎない． $N$ が大きいとこの分布は釣鐘形（正規分布）に近づく．位置は $x = (2 k - N) l$ だから $⟨ x ⟩ = 0$ ， $σ_{x}^{2} = (2 l)^{2} \cdot \frac{N}{4} = N l^{2}$ で，前の節の結果と一致する．

練習． (1) 1歩 $l$ の1次元ランダムウォークで，4歩後の位置が $+ 2 l$ である確率を求めよ．(2) 1回の測定の標準偏差が $σ$ のとき，何回測って平均すれば標準偏差を $σ / 20$ にできるか．

答え：(1) 右に3回，左に1回で $(\binom{4}{3}) / 2^{4} = \frac{1}{4}$ ．　(2) $σ / \sqrt{N} = σ / 20$ より $N = 400$ 回．

二項分布の標準偏差 $\sqrt{N} / 2$ が，前の節の「衝突回数のゆらぎは $\sqrt{N}$ 程度」の中身です． $N = 10^{12}$ 回の衝突なら不均衡は割合にして $10^{- 6}$ にすぎませんが，粒が軽ければこれが目に見える動きになります．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒の1方向の運動を

m \ddot{x} = - \frac{\dot{x}}{μ_{m}} + F (t)

で表す．第1項は水の抵抗， $F (t)$ は分子の衝突による不規則な力で，平均は0，異なる時刻の値の相関が続く時間は，速度の記憶が消える時間 $τ_{v} = m μ_{m}$ よりはるかに短いとする．すると，ある時刻の $x$ はそれ以前の $F$ を積み上げたものなので同時刻の $F$ と相関せず， $⟨ x F ⟩ = 0$ としてよい（力の式に $x$ が現れない，というだけでは理由になりません）．原点を出発した粒について， $τ_{v}$ より十分長い時間がたったあとの $⟨ x^{2} ⟩$ を，等分配則 $m ⟨ {\dot{x}}^{2} ⟩ = k_{B} T$ から求めなさい．

**［図：抵抗と不規則な力を受ける粒］**
液体中の粒が x 軸の正の向きへ速度 ẋ で動く瞬間を示す．抵抗 −ẋ/μ_m は速度と逆向きで，分子の衝突による力 F(t) はこの瞬間には正の向きだが，時々刻々向きと大きさが変わる．1方向のモデルなので，速度と2つの力はすべて x 軸に平行である．

解答を見る

考え方 両辺に $x$ を掛けてから平均をとる． $x \ddot{x} = \frac{d (x \dot{x})}{d t} - {\dot{x}}^{2}$ と書き直すのがかぎである．

両辺に $x$ を掛け，平均をとる． $⟨ x F ⟩ = 0$ だから

m \frac{d ⟨ x \dot{x} ⟩}{d t} - m ⟨ {\dot{x}}^{2} ⟩ = - \frac{⟨ x \dot{x} ⟩}{μ_{m}}

である．ここで $⟨ x \dot{x} ⟩ = \frac{1}{2} \frac{d ⟨ x^{2} ⟩}{d t}$ であり，十分に時間がたつと粒はどこから出発したかを忘れて $⟨ x \dot{x} ⟩$ は一定値に落ち着く．すると左辺の第1項が0になり，等分配則から

⟨ x \dot{x} ⟩ = μ_{m} m ⟨ {\dot{x}}^{2} ⟩ = μ_{m} k_{B} T

を得る．したがって $\frac{d ⟨ x^{2} ⟩}{d t} = 2 μ_{m} k_{B} T$ ，すなわち $⟨ x^{2} ⟩ = 2 μ_{m} k_{B} T t$ である．

求まったのは $t ≫ τ_{v}$ での傾きだけである．同じ模型を，原点出発・初速度は熱平衡として厳密に解くと

⟨ x^{2} ⟩ = 2 D [t - τ_{v} (1 - e^{- t / τ_{v}})], D = μ_{m} k_{B} T

で，傾きは $2 D$ に近づくが切片 $- 2 D τ_{v}$ が残る． $⟨ x^{2} ⟩ = 2 D t$ と書けるのは，これを無視できる長時間だけである．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

上で考えた半径 $a = 0.50 μ m$ の粒（ $m = 5.2 \times 10^{- 16} kg$ ， $η = 1.0 \times 10^{- 3} Pa s$ ， $T = 300 K$ ， $μ_{m} = 1 / (6 π η a)$ ）を，1秒間に30枚撮る顕微鏡で追う．

**［図：記録間隔で変わる見かけの速度］**
左右は同じ1方向の軌跡を，同じ時間範囲と尺度で描いたもの．左は間隔 Δt，右はその半分の間隔で記録し，右の記録点は左の記録点をすべて含む．細かい記録では往復が見え，拡散の範囲 Δt/2≫τ_v では，見かけの速度の2乗平均平方根は √2 倍になる．各区間の速度が必ず大きくなるという意味ではない．

速度の記憶が消える時間 $τ_{v} = m μ_{m}$ を求めなさい．
連続する2枚から $Δ x / Δ t$ を計算して「速度」とよぶと，どれくらいか．1方向の2乗平均平方根 $\sqrt{k_{B} T / m}$ と比べなさい．
$Δ t$ を短くしていくと，この見かけの速度はどうなるか．

解答を見る

考え方 抵抗だけの運動方程式 $m \dot{v} = - v / μ_{m}$ の時定数が $τ_{v}$ である．見かけの速度は $\sqrt{2 D Δ t} / Δ t$ で評価する（ $D = μ_{m} k_{B} T$ ）．

$μ_{m} = 1 / (6 π η a) = 1.1 \times 10^{8} m s^{- 1} N^{- 1}$ なので $τ_{v} = m μ_{m} \approx 5.5 \times 10^{- 8} s$ ．
$D = μ_{m} k_{B} T \approx 4.4 \times 10^{- 13} m^{2} s^{- 1}$ ， $Δ t = 1 / 30 s$ で $\sqrt{2 D Δ t} \approx 0.17 μ m$ だから，見かけの速度は約 $5 μ m s^{- 1}$ ．1方向の $\sqrt{k_{B} T / m} \approx 2.8 mm s^{- 1}$ の500分の1ほどである． $\sqrt{⟨ v^{2} ⟩} \approx 5 mm s^{- 1}$ は3方向を合わせた速さで，1成分の $\sqrt{3}$ 倍だから，比べる相手として適当でない．
$\sqrt{2 D Δ t} / Δ t = \sqrt{2 D / Δ t}$ は，式のうえでは $Δ t$ を短くするほどいくらでも大きくなる．しかし $⟨ (Δ x)^{2} ⟩ = 2 D Δ t$ 自体が $Δ t ≫ τ_{v}$ の近似である．例題1の厳密形を $τ_{v} ≫ Δ t$ で展開すると $⟨ (Δ x)^{2} ⟩ \approx (k_{B} T / m) (Δ t)^{2}$ で，短い間隔では粒はまっすぐ飛ぶから，見かけの速度は発散せず $\sqrt{k_{B} T / m}$ に落ち着く．際限なく大きくなるのは，慣性を捨てた理想の過程（ $τ_{v} \to 0$ ）の形式的な極限にすぎない．顕微鏡の $Δ t$ は $τ_{v}$ より6桁も長い．そこで測る「速度」は時間間隔で変わる量で，意味をもつのは $⟨ x^{2} ⟩$ である．

ポイントここまでのまとめ

分散は $σ_{X}^{2} = ⟨ X^{2} ⟩ - ⟨ X ⟩^{2}$ ．独立な量の和では分散が足し算になり，和の標準偏差は $\sqrt{N} σ$ ，平均の標準偏差は $σ / \sqrt{N}$ である．
二項分布の標準偏差 $\sqrt{N} / 2$ が，衝突回数のゆらぎとランダムウォークの $⟨ x^{2} ⟩ = N l^{2}$ の両方を説明する．
抵抗と不規則な力の運動方程式から，等分配則を橋渡しにして $⟨ x^{2} ⟩ = 2 μ_{m} k_{B} T t$ が出る．厳密には $⟨ x^{2} ⟩ = 2 D [t - τ_{v} (1 - e^{- t / τ_{v}})]$ で，この式は $t ≫ τ_{v} = m μ_{m}$ でだけ使える．
粒の「速度」は観測の時間間隔で変わる． $Δ t$ が $τ_{v}$ より短ければ弾道運動で，見かけの速度は1成分の $\sqrt{k_{B} T / m}$ に近づく．意味をもつのは平均2乗変位である．