運動量と質点系

重心と質点系

著者：柚木芹香

問い

野球のバットを，回転させながら放り投げます．太い先端と細い持ち手が複雑にくるくる回って，全体の動きはいかにも複雑です．ところが，バットの上のある一点だけは，ボールを投げたときと同じように，なめらかな放物線を描いて飛ぶことが知られています．その点は，バットのどこにあるのでしょうか．

考えてみる

バットをばらばらの小さな部分に分け，それぞれが質点だと考えます．いちばん単純な場合として，質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の2つの質点が，棒でつながれて空中を飛んでいるとします．棒の質量は無視できるとすると，棒が2つの質点に及ぼす力は，互いに逆向きで同じ大きさです．これを $f$ と $- f$ とおくと，重力だけが外力のとき，運動方程式は

m_{1} a_{1} = f + m_{1} g, m_{2} a_{2} = - f + m_{2} g

です．各質点の動きは棒の力 $f$ のせいで複雑になります．ところが，2式を足すと $f$ が消えて

m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2} = (m_{1} + m_{2}) g

になります．位置の「質量で重みを付けた平均」 $r_{G} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ を時間で2回微分した加速度を $a_{G}$ とすると，左辺は $(m_{1} + m_{2}) a_{G}$ です．両辺を全質量 $m_{1} + m_{2}$ で割ると $a_{G} = g$ となり，この平均の位置は，ただの質点のように放物線を描くはずです．

重心

この「重みを付けた平均の位置」に名前を付けます．

定義重心

質量 $m_{1}, \dots, m_{n}$ の質点が位置 $r_{1}, \dots, r_{n}$ にあるとき，全質量を $M = \sum_{i} m_{i}$ として

r_{G} = \frac{\sum_{i} m_{i} r_{i}}{M} = \frac{m_{1} r_{1} + \dots + m_{n} r_{n}}{m_{1} + \dots + m_{n}}

を重心（質量中心）という．質量で重みを付けた位置の平均である．

2つの質点なら，重心は2点を結ぶ線分上にあり，質量の逆比に分ける点です．重いほうの近くに寄ります． $m_{1}$ と $m_{2}$ を結ぶ線分上で，重心から $m_{1}$ までの距離を $ℓ_{1}$ ， $m_{2}$ までを $ℓ_{2}$ とすると， $m_{1} ℓ_{1} = m_{2} ℓ_{2}$ が成り立ちます．てこのつり合いと同じ形です．たとえば $3 kg$ と $1 kg$ の質点が $4 m$ 離れていれば，重心は重いほうから $1 m$ ，軽いほうから $3 m$ の点です．質量の比 $3 : 1$ の逆比 $1 : 3$ に分けています．

**［図：質量による重み付け］**
質量の異なる2つの質点（大小の円）を棒でつなぎ，重心に支点を置いたてこのように描く．重い質点のほうが重心に近いことを示す．

重力が一様な場所では，物体をつり合わせる点（重力の合力の作用点）は重心と一致します．本書では，どちらも重心とよびます．

質点系の運動

質点が $n$ 個あるとします． $i$ 番目の質点が受ける力を，系の外から受ける力 $F_{i}$ （外力）と，ほかの質点 $j$ から受ける力 $f_{i j}$ （内力）に分けて，運動方程式を書きます．

m_{i} a_{i} = F_{i} + \sum_{j \neq i} f_{i j}

これを $i$ について全部足します．作用反作用の法則 $f_{i j} = - f_{j i}$ から，内力の和は対になって打ち消し合い， $0$ になります．左辺は，重心の定義を時間で2回微分すると $M a_{G}$ です．

定理重心の運動

M a_{G} = \sum_{i} F_{i}

重心は，全質量 $M$ をもつ1つの質点が，外力の合力を受けているかのように動く．内力は重心の運動に影響しない．

バットの問いに戻ります．投げたバットに働く外力は重力だけです（空気抵抗は無視します）．すると $a_{G} = g$ となり，回転の仕方によらず重心は必ず放物線を描きます．ほかの点は，一般には重心のまわりをくるくる回りながら，重心と一緒に運ばれていくので，放物線になるとは限りません．太い先端が重いバットでは，重心は先端寄りの，バランスをとれる点です．

**［図：回転するバットの重心軌道］**
投げ上げたバットを，一定時間おきのストロボ写真のように描く．各位置でバットが回転しているが，重心の点をつないだ軌跡はなめらかな放物線になっている．

運動量とのつながりも見ておきます．全運動量は $P = \sum_{i} m_{i} v_{i} = M v_{G}$ です．上の定理は $\frac{d P}{d t} = \sum_{i} F_{i}$ と同じ内容で，外力の合力が $0$ のときの運動量保存則を，質点系全体に広げたものです．

重心が動かない例

外力の合力が $0$ で，初めに静止していれば，重心は動きません．外力の合力のある向きの成分だけが0なら，初めにその向きの重心の速度が0であれば，重心のその向きの座標が変わりません．なめらかな氷の上で，人が長い板の上を歩く場合を考えます．水平方向の外力は無く，初め水平方向に静止しているので，系全体の重心の水平方向の位置は変わりません．人が右へ進むと，板は左へ動きますが，系全体の重心は初めの位置にとどまります．人と板の変位は逆向きで，その大きさ（動く距離）の比は質量の逆比です．人の歩き方（速さの変化）には関係しません．重心が動かないという条件だけで，最終的な位置が決まるのです．

**［図：人と板の重心は動かない］**
なめらかな氷上の板と，その上を右へ歩く人を，歩く前と歩いた後に分けて描く．重心の位置に印を付け，前後で同じ位置にあることを示す．

空中で破裂した花火の破片も同様です．破片は四方八方に飛びますが，その重心は，破裂しなかったときと同じ放物線を描き続けます（破片が地面にぶつかるまで）．

ポイントここまでのまとめ

重心 $r_{G} = \frac{\sum m_{i} r_{i}}{M}$ は，質量で重みを付けた位置の平均．2質点なら質量の逆比に分ける点．
質点系の運動方程式を足すと，内力は作用反作用で打ち消し合う．重心は $M a_{G} = \sum F_{i}$ （外力の合力）に従って動く．
全運動量は $M v_{G}$ ．外力の合力が $0$ なら重心は等速直線運動をし，初めに静止していれば動かない．
問いの答え：回転の仕方によらず放物線を描くのは重心．バットの太さや回転の仕方によらず，外力が重力だけなら重心は $a_{G} = g$ で運動する．