問いしるべ
問いから始める物理 運動量と質点系

運動量と質点系

運動量と力積の演習

著者：柚木芹香

速度の符号と，選んだ系に働く外力を確かめながら解いてください．力積が分かることと，力の時間変化まで分かることを区別しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 0.20kg の球が右向きに 12ms−1 で進み，手袋に受け止められて静止する．右向きを正とし，重力の影響は無視する．

  1. 球が受ける力積と，手袋が球から受ける力積を求めよ．

  2. 接触時間が 0.040s と 0.12s の場合の，球に働く平均の力を求めよ．

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考え方 初めと終わりの運動量を順に書き，終わりから初めを引く．止める力の向きは，初速度と逆である．

  1. 初めの運動量は 0.20×12=2.4kgms−1，終わりは0である．球への力積は I=0−2.4=−2.4Ns．作用反作用の力を同じ時間だけ積分するので，手袋への力積は +2.4Ns である．

  2. 平均の力は F¯=I/Δt だから，順に −60N，−20N．時間が3倍なら平均の大きさは3分の1になる．ただし最大の力はこの情報だけでは決まらない．手袋を引くことは必要な力積を減らす操作ではなく，同じ力積をより長い時間で与える操作である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 2.0kg の台車が，滑らかな水平面上で初め右向きに 1.0ms−1 で動く．水平な力 F は，0≤t≤2.0s で0から 4.0N まで直線的に増え，2.0<t≤4.0s では −2.0N である．

  1. 各区間の力積と，t=2.0s，4.0s の速度を求めよ．

  2. 全区間の平均の力が0なら，台車は途中でも等速か．

［図：正負の力積を読むグラフ］

横軸t，縦軸Fのグラフ．0〜2秒は0から4 Nへの直線，2〜4秒は−2 Nの水平線．

横軸t，縦軸Fのグラフ．0〜2秒は0から4 Nへの直線，2〜4秒は−2 Nの水平線． 横軸t，縦軸Fのグラフ．0〜2秒は0から4 Nへの直線，2〜4秒は−2 Nの水平線．
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考え方 時間軸より上と下の面積を符号付きで足す．力積が0であることは，その区間の両端で速度が同じであることを意味する．

  1. 前半は三角形なので I1=4.0×2.0/2=4.0Ns．後半は負の長方形なので I2=−2.0×2.0=−4.0Ns となる．初めの運動量は 2.0kgms−1 であるから，2.0v(2)=2.0+4.0 より v(2)=3.0ms−1．同様に 2.0v(4)=2.0+4.0−4.0 より v(4)=1.0ms−1．

  2. 平均の力は (I1+I2)/4.0=0 だが，前半は加速し後半は減速している．したがって等速ではない．運動量の変化を求めるときは，グラフの囲む面積の絶対値をすべて足してはいけない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

滑らかな水平面上の質量 0.50kg の円板の速度が，短い衝撃によって (4.0,0) から (0,3.0)ms−1 に変わった．接触時間は 0.10s とする．

  1. 力積の成分と大きさを求めよ．

  2. 平均の力の成分を求め，速さの差に質量を掛ける方法が使えない理由を述べよ．

［図：直交する前後の速度］

共通のx，y軸に衝撃前の右向き速度と衝撃後の上向き速度を示す．力積の矢印は描かない．

共通のx，y軸に衝撃前の右向き速度と衝撃後の上向き速度を示す．力積の矢印は描かない． 共通のx，y軸に衝撃前の右向き速度と衝撃後の上向き速度を示す．力積の矢印は描かない．
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考え方 運動量はベクトルなので，各成分を引き算してから大きさを求める．初速度と終速度が直交しても，力積は終速度の向きだけにはならない．

  1. I=0.50{(0,3.0)−(4.0,0)}=(−2.0,1.5)Ns．大きさは (−2.0)2+1.52=2.5Ns である．向きは左上で，負の x 軸から上へ測る角 θ は tan⁡θ=1.5/2.0 を満たす．

  2. F¯=I/0.10=(−20,15)N．速さの差だけを使うと 0.50(3.0−4.0)=−0.50 となり，向きを変えるための運動量変化を取り落とす．速さが等しくても向きが変われば力積は0ではないことが，この計算の要点である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

水平右向きに速さ V で飛ぶ質量 3m の物体が，瞬間的に質量 m のAと質量 2m のBに分かれる．分裂直後のAの速度は地面に対して (V,2V) である．分裂中の重力の力積は無視できる．

  1. Bの速度と，Aが分裂によって受けた力積を求めよ．

  2. 分裂から時間 τ 後の2片の相対位置を求めよ．両片は地面に当たらず，重力だけを受けるとする．

［図：移動しながらの分裂］

右向きに飛ぶ物体と分裂直後のA，B．Aの既知の斜め上向き速度だけを示し，Bの速度は描かない．

右向きに飛ぶ物体と分裂直後のA，B．Aの既知の斜め上向き速度だけを示し，Bの速度は描かない． 右向きに飛ぶ物体と分裂直後のA，B．Aの既知の斜め上向き速度だけを示し，Bの速度は描かない．
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考え方 分裂の瞬間には2成分の運動量を保存し，その後は各片に同じ重力加速度が働くことを使う．

  1. 分裂前の運動量は (3mV,0) である．m(V,2V)+2m(vBx,vBy)=(3mV,0) から vB=(V,−V)．Aになる部分は分裂前には速度 (V,0) だったので，Aへの力積は m{(V,2V)−(V,0)}=(0,2mV)．Bへの力積が (0,−2mV) となることも確かめられる．

  2. 分裂点を原点にとると，Aは (Vτ,2Vτ−gτ2/2)，Bは (Vτ,−Vτ−gτ2/2) にある．AからBを引いた相対位置は (0,3Vτ) である．重力の項は差をとると消えるが，全体の鉛直運動量は重力のため時間とともに変わる．分裂の瞬間の保存と，その後の保存を混同しない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 m の球が水平右向きの速度成分 vx，鉛直下向きの速度成分の大きさ w で滑らかな床に当たり，時間 Δt 後に鉛直上向き成分 u で離れる．接触中も重力を含めて考える．

  1. 接触後の水平速度を求めよ．

  2. 床から球への鉛直力積と平均の垂直抗力を求めよ．

  3. 重力の力積を無視するための条件を，u,w,g,Δt で表せ．

［図：床との衝突と鉛直の力］

床へ斜めに入射し斜めに離れる球．既知の水平成分vx，鉛直成分w，uと，上向きのN，下向きのmgを描く．

床へ斜めに入射し斜めに離れる球．既知の水平成分vx，鉛直成分w，uと，上向きのN，下向きのmgを描く． 床へ斜めに入射し斜めに離れる球．既知の水平成分vx，鉛直成分w，uと，上向きのN，下向きのmgを描く．
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考え方 運動量の変化に等しいのは合力の力積である．床の力だけを求めるときは，重力の力積を分けて書く．

  1. 床が滑らかなので水平方向の力積は0である．したがって接触後も水平速度は vx のままである．鉛直方向には床からの外力があるため，球だけの鉛直運動量は保存しない．

  2. 上向きを正とすると，運動量変化は m{u−(−w)}=m(u+w)．床からの力積を IN として IN−mgΔt=m(u+w)．よって IN=m(u+w)+mgΔt，N¯=m(u+w)/Δt+mg である．

  3. gΔt/(u+w) が1に比べて十分小さければよい．この比は質量に依存しない．短時間という言葉だけで省略せず，比較する運動量変化を明示することで近似の妥当性を判断できる．

ポイント 教える人へ

  • 速度の正方向を先に宣言させ，力積を終状態から初状態を引いて求めさせる．

  • グラフの正負の面積と，途中の加速・減速を対応させることが重要である．

  • 外力の力積を無視する近似と，外力が厳密に0である条件を区別させる．

  • 球と床のどちらを系に含めたかを問い，保存できる成分を説明させる．