運動量と質点系

力積とベクトルの積分

著者：柚木芹香

前の節で，運動量の変化は力積に等しいと見ました．この節では，力が時間とともに変わるときの力積の計算を練習します．

定理数学の道具：ベクトルの時間積分と平均値

定義　ベクトル $F (t) = (F_{x} (t), F_{y} (t))$ の時間積分は，成分ごとの積分である．

\int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t = (\int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{x} d t, \int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{y} d t)

面積としての力積　一直線上の力なら， $\int F d t$ は F-t グラフと時間軸ではさまれた面積である．時間軸より下の部分は負の面積として数える．

一定の力： $I = F Δ t$ （長方形）．
0から $F_{0}$ まで直線的に増える力：三角形の面積 $I = \frac{1}{2} F_{0} Δ t$ ．
折れ線の力は，三角形と台形に分けて足す．

平均値　区間 $[t_{1}, t_{2}]$ での力の平均を

\bar{F} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t = \frac{I}{Δ t}

で定める．平均の力に時間をかけると，力積に戻る．

練習．

$F = 6 t [N]$ が $t = 0$ から $2 s$ まで働いたときの力積と平均の力を求めよ．
$F = (2 t, 3) [N]$ が $t = 0$ から $4 s$ まで働いたときの力積ベクトルを求めよ．
力が $t = 0$ の $0$ から $t = 0.010 s$ の $800 N$ まで直線的に増え， $t = 0.020 s$ で直線的に $0$ に戻った．力積と平均の力を求めよ．
$F = 3 t^{2} [N]$ が $t = 0$ から $2 s$ まで働いたときの力積と平均の力を求めよ．
$F = 4 - 2 t [N]$ が $t = 0$ から $3 s$ まで働いたときの力積と平均の力を求めよ．

答え：(1) $I = \int_{0}^{2} 6 t d t = {[3 t^{2}]}_{0}^{2} = 12 N s$ ．平均の力は $12 / 2 = 6 N$ ．　(2) $I_{x} = \int_{0}^{4} 2 t d t = 16$ ， $I_{y} = \int_{0}^{4} 3 d t = 12$ より $I = (16, 12) N s$ ．　(3) 三角形の面積で $\frac{1}{2} \times 800 \times 0.020 = 8.0 N s$ ．平均の力は $8.0 / 0.020 = 4.0 \times 10^{2} N$ （最大の半分）．　(4) ${[t^{3}]}_{0}^{2} = 8 N s$ ，平均の力は $4 N$ ．　(5) ${[4 t - t^{2}]}_{0}^{3} = 3 N s$ （ $0 \leq t \leq 2$ の正の三角形 $4$ と， $2 \leq t \leq 3$ の負の三角形 $- 1$ の和）．平均の力は $1 N$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $0.15 kg$ のボールが， $x$ 軸の負の向きに $30 m s^{- 1}$ で飛んできて，バットに当たって $x$ 軸の正の向きに $40 m s^{- 1}$ で飛び出した．バットとの接触時間は $1.0 \times 10^{- 3} s$ である．

**［図：打ち返される球］**
ボールがバットに当たる前と後の速度の向きを，x軸とともに描く．バットは固定した板として簡略化し，数値は書かない．

ボールが受けた力積を求めよ．
接触中の平均の力を求めよ．
力が接触時間の中央で最大となる三角形状に変化するとき，最大の力を求めよ．
接触中の重力の力積は(1)に比べて無視できるか．

解答を見る

考え方 力積は運動量の変化に等しい．向きを符号で扱う．

$I = m v_{2} - m v_{1} = 0.15 \times 40 - 0.15 \times (- 30) = 10.5 N s$ （正の向き）．
$\bar{F} = \frac{I}{Δ t} = \frac{10.5}{1.0 \times 10^{- 3}} = 1.05 \times 10^{4} N$ ．ボールの重さの約7000倍である．
三角形の面積が $I$ なので $\frac{1}{2} F_{max} Δ t = I$ ．よって $F_{max} = \frac{2 I}{Δ t} = 2.1 \times 10^{4} N$ ．平均の力のちょうど2倍である．
重力の力積は $m g Δ t = 0.15 \times 9.8 \times 1.0 \times 10^{- 3} \approx 1.5 \times 10^{- 3} N s$ ．(1)の約 $1 / 7000$ なので，無視できる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

外力の及ばない宇宙空間で，静止していた質量 $4.0 kg$ の物体が，内部の火薬で分裂した．

**［図：分裂する物体］**
分裂前の1つの物体と，分裂後に飛び散る破片の位置関係を，図(a)(b)として描く．速度や質量の値は書かない．

質量 $1.0 kg$ と $3.0 kg$ の2つに分かれ， $1.0 kg$ の破片が東向きに $12 m s^{- 1}$ で飛んだ． $3.0 kg$ の破片の速度を求めよ．
別の実験で，質量 $1.0 kg$ の破片4つに分かれた．1つめは東向きに $6.0 m s^{- 1}$ ，2つめは北向きに $8.0 m s^{- 1}$ ，3つめは西向きに $4.0 m s^{- 1}$ で飛んだ．4つめの破片の速度を求めよ．

解答を見る

考え方 外力がないので，分裂の前後で全運動量は $0$ のままである．ベクトルとして成分ごとに足す．

東向きを正とする． $1.0 \times 12 + 3.0 v = 0$ より $v = - 4.0 m s^{- 1}$ ．西向きに $4.0 m s^{- 1}$ ．
東を $x$ ，北を $y$ とする．4つの運動量の和が $0$ なので，4つめの速度を $(v_{x}, v_{y})$ として

1.0 \times (6.0 + 0 - 4.0 + v_{x}) = 0, 1.0 \times (0 + 8.0 + 0 + v_{y}) = 0

より $v_{x} = - 2.0$ ， $v_{y} = - 8.0$ ．したがって $v = (- 2.0, - 8.0) m s^{- 1}$ ．速さは $\sqrt{{2.0}^{2} + {8.0}^{2}} \approx 8.2 m s^{- 1}$ ．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上で静止していた質量 $2.0 kg$ の台車に，水平な力 $F (t) = 12 t - 3 t^{2} [N]$ を $t = 0$ から加える．

**［図：時間で変わる力］**
F-t グラフを0〜6秒の範囲で描く．放物線が時間軸と交わる点を含め，数値は書かない．

$F$ が0になる時刻を求め， $t = 0$ からその時刻までの力積を求めよ．
その時刻での台車の速さを求めよ．
力を $t = 6 s$ まで加え続けたときの台車の速度を求めよ．

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考え方 力積は $F$ の積分である． $F$ が負になる区間は，運動量を減らす．

$F = 3 t (4 - t) = 0$ より $t = 4 s$ ．力積は

I = \int_{0}^{4} (12 t - 3 t^{2}) d t = {[6 t^{2} - t^{3}]}_{0}^{4} = 96 - 64 = 32 N s

である．

初めの運動量は0なので $m v = 32$ ． $v = \frac{32}{2.0} = 16 m s^{- 1}$ ．
$t = 6$ までの力積は ${[6 t^{2} - t^{3}]}_{0}^{6} = 216 - 216 = 0$ ．運動量の変化が0なので，台車は止まる（ $v = 0$ ）． $t = 4$ 以降は $F < 0$ で，正の面積32と負の面積 $- 32$ が打ち消し合ったためである．台車は $t = 4$ で最大の速さ $16 m s^{- 1}$ になり，その後は減速する．

ポイントここまでのまとめ

ベクトルの時間積分は成分ごとに行う．力積は $I = \int F d t$ ．
一直線上では，力積は F-t グラフの面積で，時間軸より下は負．平均の力は $I / Δ t$ ．
外力がなければ全運動量は変わらない．分裂のように初めの運動量が $0$ なら，分裂後の運動量の和も $0$ ．
力が正から負へ変わる時刻（ $F = 0$ ）に，正の向きの速度は極大になる．速さの最大を調べるときは，速度の符号と区間の端点も確かめる．