運動量と質点系

運動量と力積

著者：柚木芹香

問い

時速108 km（ $30 m s^{- 1}$ ）で飛んでくる野球のボールを，素手で受け止めるところを想像してください．次に，ボールと同じ大きさで質量が約10倍の鉄の球が，同じ速さで飛んでくるとします．同じ「速さ」なのに，手に伝わる衝撃はまるで違いそうです．速さのほかに，何を知れば衝撃の大きさが分かるのでしょうか．

また，同じボールでも，手を体のほうへ引きながら受けると痛みが小さくなります．引くことで，いったい何が変わっているのでしょうか．

考えてみる

素朴には「速いほど，重いほど止めにくい」と感じます．これを運動方程式で確かめます．質量 $m$ の物体を一定の力 $F$ で止めるとき，加速度は $a = Δ v / Δ t$ なので

F Δ t = m Δ v

です．進む向きを正とし，速さ $v$ から止めるなら $Δ v = 0 - v = - v$ なので $F Δ t = - m v$ です．力は進む向きと逆向きに働くという意味の負号で，大きさだけを見れば，止めるのに必要な「力×時間」は $m v$ で決まります．速さだけでも質量だけでもなく，その積が止めにくさの目安です．

数字で見ましょう．ボールは $0.15 kg$ ，鉄球は $1.5 kg$ とすると， $m v$ は順に $4.5$ と $45 kg m s^{- 1}$ です．ボールを $0.02 s$ で止めるなら平均の力は $4.5 / 0.02 = 225 N$ ，手を引いて $0.1 s$ かけるなら $45 N$ です．同じ $0.02 s$ で鉄球を止めようとすると $2250 N$ になります．時間を延ばせば力は小さくなり， $m v$ が大きければ力は大きくなります．

運動量と力積

この $m v$ は，第4章で運動方程式の別の書き方として顔を出した量です．この章では，これを主役にして運動量と名付けます．

定義運動量

質量 $m$ ，速度 $v$ の物体の運動量を

p = m v

で定める．ベクトルで，単位は $kg m s^{- 1}$ ．

質量が一定なら，運動方程式 $m \frac{d v}{d t} = F$ は $\frac{d p}{d t} = F$ と書けます．「力は運動量の時間変化の割合」という形です．両辺を時刻 $t_{1}$ から $t_{2}$ まで積分すると，次の関係が得られます．

法則運動量と力積の関係

p_{2} - p_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t \equiv I

右辺の $I$ を力積といい，単位は $N s = kg m s^{- 1}$ ．運動量の変化は，力積に等しい．

力積は，F-t グラフの面積に当たります．ボールを受けるような短い衝突では，力は一瞬で大きくなってまた消えます．その細かい変化は分からなくても，面積（力積）が運動量の変化から決まれば，平均の力 $\bar{F} = I / Δ t$ は分かります．面積が同じなら，時間を長くした分だけ力は小さくなります．これが問いの答えの半分です．

**［図：接触時間と同じ力積］**
F-t グラフに，高くて幅の狭い山と，低くて幅の広い山を重ねて描く．2つの山の面積が等しいことを斜線で示し，どちらも運動量の変化 $\Delta p$ に等しいと注記する．

2つの物体の運動量

物体Aと物体Bが，接触している間だけ力を及ぼし合い，ほかから力は受けないとします．AがBから受ける力を $F_{AB}$ ，BがAから受ける力を $F_{BA}$ とすると（第4章の書き方では $F_{AB} = F_{B \to A}$ です），作用反作用の法則で $F_{BA} = - F_{AB}$ です．同じ時間の積分をとると，Aの力積とBの力積（ここでは互いに及ぼし合う力だけによるもの）は大きさが等しく向きが逆になります．したがって

Δ p_{A} = - Δ p_{B}, Δ (p_{A} + p_{B}) = 0

です．Aが得た運動量だけ，Bが失ったということです．

この関係は，逆向きにも読めます．運動方程式 $\frac{d p}{d t} = F$ によれば，力は，運動量が1秒あたりどれだけ受け渡されるかを表す量です．第3法則は，2物体の間で運動量が受け渡されるとき，Aの減った分とBの増えた分がいつも等しいこと，つまり受け渡しの途中で運動量が消えたり湧いたりしないことを，力の言葉で言ったものなのです．第4章の注で見たように，電場と磁場が運動量を運ぶ場面では2物体の間の第3法則は崩れますが，場の運動量まで数えれば，運動量の保存は成り立ちます．

法則運動量保存則

複数の物体からなる系で，外から受ける力の合力が $0$ なら，全運動量 $p_{1} + p_{2} + \dots$ は変わらない．物体どうしが及ぼし合う力（内力）は，何であっても全運動量を変えない．

氷の上に静止した2人が互いに押し合うと，反対向きに離れていきます．全運動量は初め $0$ なので，離れたあとも $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = 0$ です．軽い人のほうが速く動きます．

**［図：氷上の2人の反動］**
なめらかな氷上で，質量の違う2人が向き合って押し合い，反対向きに離れる様子を，押す前と後に分けて描く．速度の矢印は軽い人のほうを長くする．

外力があるとき

法則の条件は「外力の合力が $0$ 」です．これが成り立たない向きには使えません．床にボールを落とすと，衝突のあいだ床から垂直抗力を受けるので，鉛直方向の運動量は保存しません．一方，床がなめらかなら水平方向には力が働かないので，水平成分だけは保存します．運動量はベクトルなので，成分ごとに条件を調べます．

また，衝突のように時間が短く内力がとても大きいときは，重力のような有限の外力の力積は無視できます． $Δ t$ が $10^{- 3} s$ 程度なら， $m g Δ t$ はボールの運動量の変化に比べてごく小さいからです．ただし，床や壁との衝突では，床や壁から受ける力の力積は無視できません．その場合は，ボールだけを系とすると外力の力積が残るので，運動量保存則は使えません．

ポイントここまでのまとめ

運動量 $p = m v$ ．運動方程式は $\frac{d p}{d t} = F$ と書ける．
運動量の変化は力積 $I = \int F d t$ に等しい．F-t グラフの面積であり，平均の力は $I / Δ t$ ．
作用反作用により，2物体の運動量の和は内力では変わらない．外力の合力が $0$ の向きでは，全運動量が保存する．
問いの答え：衝撃は速さだけでなく $m v$ で決まる．受け止める時間を延ばすと，同じ運動量の変化を小さな平均の力で受けられる．