力と運動の法則

第4章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，力と運動の関係を3つの法則にまとめ，力を見つけて運動方程式に入れる手順を身につけました．そのうえで，垂直抗力・張力・摩擦・空気抵抗という具体的な力を調べ，つり合いに進みました．最後に，流体が面を押す圧力から浮力を導きました．ここで法則と公式を一覧にし，各節の最初の問いに短く答えます．

法則

法則力と運動の3法則

第1法則（慣性の法則）：合力が $0$ のとき，物体は静止し続けるか等速直線運動を続ける．成り立つ基準系を慣性系といい，慣性系に対して等速直線運動をする基準系もまた慣性系である．
第2法則（運動方程式）： $m a = F$ （ $F$ は合力）．力の単位は $1 N = 1 kg m s^{- 2}$ である．運動方程式は法則であって，力の法則と初期条件を組み合わせて初めて運動を予言できる．
第3法則（作用反作用）： $F_{B \to A} = - F_{A \to B}$ ．別々の物体に働く同種の力で，いつでも成り立つ．同じ物体に働く力のつり合いとは別のものである．粒子1組ごとの重力と電気の力が対になることに由来し，接触力はそれを境目の原子の組について足し合わせたものである．

力の一覧

力	向きと大きさ	注意
重力	鉛直下向き， $m g$	質量は変わらず，重さは場所で変わる
垂直抗力 $N$	面に垂直，必要なだけ（ $N \geq 0$ ）	常に $m g$ とは限らない
張力 $T$	糸に沿って引く向き	切り口の両側で等しいのは第3法則，軽い糸でどこでも同じなのは糸の運動方程式による．押せない
静止摩擦力 $f$	相対運動を妨げる向き， $0 \leq f \leq μ N$	滑っていない間，運動方程式から決まる（加速度0ならつり合い）
動摩擦力 $f^{'}$	滑る向きと逆， $f^{'} = μ^{'} N$	速さにほとんどよらない
抵抗力	流体に対する相対速度と逆向き， $k v$ または $c v^{2}$	終端速度に近づくと重力とほぼつり合う
浮力	鉛直上向き， $ρ V g$ （押しのけた流体の重さ）	表面を押す圧力の合計． $V$ は沈んでいる部分の体積

手順

ポイント力学の問題を解く手順

注目する物体を1つ決め，まず重力を描く．
触れているものを数え，垂直抗力・張力・摩擦力などを描く．相手の物体を言えない力は描かない．
座標軸を選び，成分ごとに $m a = F$ （つり合いなら $\sum F = 0$ ）を書く．
糸の長さが一定などの束縛条件から，加速度の関係を作る．未知数と式の数を数える．
摩擦では，滑っていないと仮定して $f \leq μ N$ を確かめ，だめなら動摩擦力に置き直す．
極端な場合（角が0や90°，質量が非常に大きい， $t \to 0$ ， $t \to \infty$ ）で検算する．

主な公式

滑らかな斜面： $a = g \sin θ$ ， $N = m g \cos θ$
エレベーター（上向き正）： $N = m (g + a)$
アトウッドの機械： $a = \frac{M - m}{M + m} g$ ， $T = \frac{2 M m}{M + m} g$
斜面で滑り出す角： $μ = \tan θ_{0}$
線形抵抗の落下： $v = v_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ ， $v_{\infty} = \frac{m g}{k}$ ， $τ = \frac{m}{k}$ ．2乗抵抗の終端速度： $v_{\infty} = \sqrt{\frac{m g}{c}}$
静止した液体の圧力： $p = p_{0} + ρ g h$ （微分形 $\frac{d p}{d z} = - ρ g$ ， $z$ は上向き）．圧力 $p = F / S$ ，単位 $1 Pa = 1 N m^{- 2}$
浮力（アルキメデスの原理）： $F = ρ V g$ ．浮かんだ物体の沈む割合は $ρ_{s} / ρ$
質点のつり合い： $\sum F = 0$ ．同一直線上にない3力ではラミの定理 $\frac{F_{1}}{\sin α} = \frac{F_{2}}{\sin β} = \frac{F_{3}}{\sin γ}$

各節の問いへの答え

慣性の法則：摩擦も空気抵抗もない氷の上のパックは，水平方向の合力が0なので同じ速さでどこまでも進む．物を動かし続けるのに力が要るように見えるのは，摩擦や空気抵抗を打ち消すために押しているからである．
運動方程式：質量を2倍にすると，同じ力での加速度は半分になる．力の大きさは，同じばねの伸びを基準にして数で表せる．
作用と反作用：押し合う2人が受ける力は，押したつもりかどうかによらず等しい．加速度は質量に反比例するので，軽い子どもの方が速く離れていく．壁を押して手が痛むのは，壁の表面の原子に押し返されて，手の中の原子の結合が縮むからである．
力の種類：机の上の本に働く力は，重力と垂直抗力の2つだけである．本が机を押す力は，机の自由体図に描くものである．
垂直抗力と張力：エレベーターが上昇し始めると体重計の目盛りは増え，等速では変わらず，止まる直前は減る．垂直抗力は $N = m (g + a)$ のように，必要なだけ現れる．
摩擦：動き出す前は，摩擦力が押す力に合わせて増えるので動かない．静止摩擦力が $μ N$ になるのは動き出す限界の瞬間だけで，滑っているときの摩擦力は $μ^{'} N$ である．
空気抵抗と終端速度：半径 $1 mm$ の雨粒のモデルは，空気抵抗とほぼつり合う約 $7 m s^{- 1}$ で落ちる．抵抗のない自由落下の約 $200 m s^{- 1}$ の，約30分の1である．
力のつり合い：ハンモックのロープは，鉛直成分だけが体重を支えるので $T = \frac{W}{2 \sin θ}$ ．水平に近いほど張力が大きくなり，完全に水平には張れない．
圧力と浮力：同じ深さなら，細い管の底でもプールの底でも，形の違う容器の底でも，圧力は $p_{0} + ρ g h$ で同じである．底が受ける力が水の重さと違う分は，斜めの壁が支えたり押し下げたりしている．

この章で使った数学

斜面での力の分解（三角関数），三角関数の合成（最大・最小），指数関数と対数の微分・積分，1階の微分方程式（変数分離），正弦定理，薄い流体の柱から作る微分方程式 $\frac{d p}{d z} = - ρ g$ ，面にわたって力を足す積分がありました．