第4章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

質量 $M$ のくさびが，滑らかな水平面の上に置かれている．くさびの右側の斜面は水平から角 $α$ で，斜面は右に向かって下がっている．斜面の上に，質量 $m$ の小物体を静かに置く．斜面は滑らかである．

くさびの加速度の大きさ $A$ （左向き），小物体のくさびに対する加速度 $a$ （斜面に沿って下向き），垂直抗力 $N$ を求めよ．
水平面がくさびに及ぼす垂直抗力を求めよ．
$M \to \infty$ ， $M \to 0$ の極限を調べて，結果を確かめよ．

**［図：水平面上のくさびと斜面上の小物体］**
滑らかな水平面上に，右側の斜面が水平から角αで右下がりのくさび（質量M）が置かれ，その斜面の上に小物体（質量m）がある．くさびの加速度Aが左向きの矢印で，小物体のくさびに対する加速度aが斜面に沿って下向きの矢印で描かれている．右向きにx軸，上向きにy軸をとる．

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考え方 くさびも動くので，物体の加速度はくさびの加速度と相対加速度の和になる．これが束縛条件である．地面から見た運動方程式を物体とくさびで別々に書く．

右向きを $x$ ，上向きを $y$ とする．斜面の垂線の向き（垂直抗力の向き）は $(\sin α, \cos α)$ である．物体の加速度は，くさびの加速度 $(- A, 0)$ と相対加速度 $(a \cos α, - a \sin α)$ の和で，

(a \cos α - A, - a \sin α)

である．物体の運動方程式は

m (a \cos α - A) = N \sin α, - m a \sin α = N \cos α - m g

くさびは物体から $- N (\sin α, \cos α)$ の力を受けるので，水平方向について

- M A = - N \sin α ⟹ M A = N \sin α

である．第1式と合わせて $m (a \cos α - A) = M A$ ，すなわち $A = \frac{m \cos α}{M + m} a$ ．また $N = M A / \sin α$ を第2式に入れると

\frac{M m \cos^{2} α}{(M + m) \sin α} a = m g - m a \sin α

となり，まとめて

a = \frac{(M + m) \sin α}{M + m \sin^{2} α} g, A = \frac{m \sin α \cos α}{M + m \sin^{2} α} g, N = \frac{M m \cos α}{M + m \sin^{2} α} g

くさびの鉛直方向のつり合いから，床の垂直抗力は $M g + N \cos α = \frac{M (M + m)}{M + m \sin^{2} α} g$ である．
$M \to \infty$ ： $a \to g \sin α$ ， $A \to 0$ ， $N \to m g \cos α$ ．固定された斜面の結果に一致する． $M \to 0$ ： $N \to 0$ ， $a \to g / \sin α$ ， $A \to g / \tan α$ ．物体は自由落下（鉛直加速度 $a \sin α = g$ ）し，軽いくさびは水平に逃げる．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

質量 $m$ の小物体が，傾き $α$ の斜面を持つくさびの上にある．斜面は右に向かって下がっている．くさび全体を水平面上で右向きに一定の加速度 $A$ で動かす．（ $A$ が負なら左向き．）

**［図：加速するくさび］**
右下がりの斜面上に質量mの物体があり，くさびを右向きに加速度Aで動かす．

斜面が滑らかなとき，物体の斜面に対する加速度 $a$ （斜面に沿って下向き）と垂直抗力 $N$ を求めよ．
物体が斜面に対して静止する $A$ を求めよ．
物体が斜面から離れる $A$ の条件を求め，そのとき $a$ が何になるかを確かめよ．

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考え方 物体の地面に対する加速度を，斜面方向と斜面に垂直な方向に分けて運動方程式を立てる．

斜面に沿って下向きの単位ベクトルを $\hat{t} = (\cos α, - \sin α)$ ，斜面に垂直で上向きを $\hat{n} = (\sin α, \cos α)$ とする．物体の加速度は，くさびの加速度 $(A, 0)$ と相対加速度 $a \hat{t}$ の和である．

$\hat{t}$ 方向の運動方程式は，垂直抗力が $\hat{t}$ 成分を持たないので

m (A \cos α + a) = m g \sin α ⟹ a = g \sin α - A \cos α

$\hat{n}$ 方向では，相対加速度は垂直成分を持たないので，加速度の $\hat{n}$ 成分は $A \sin α$ である．

m A \sin α = N - m g \cos α ⟹ N = m (g \cos α + A \sin α)

$a = 0$ より $A = g \tan α$ ．
$N \leq 0$ になると面から離れるので， $g \cos α + A \sin α < 0$ ，すなわち $A < - g / \tan α$ （左向きに大きく加速する）．境界 $A = - g \cot α$ では $N = 0$ ， $a = g / \sin α$ で，鉛直の加速度は $a \sin α = g$ ．物体は自由落下しており，くさびが速く逃げて斜面に触れられなくなる．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

質量 $M$ のくさびが，滑らかな水平面にある．くさびの斜面（右側）は水平から角 $α$ で，右に向かって下がっている．斜面に質量 $m$ の小物体を置く．物体とくさびの静止摩擦係数を $μ$ とする．くさびの左側の鉛直面を水平右向きの力 $F$ で押し，物体がくさびに対して滑らずに一緒に動くようにする．

**［図：押されるくさび］**
質量Mの右下がりのくさびを右向きの力Fで押す．上の小物体の質量はm，接触面の静止摩擦係数はμ．

$F$ の範囲を $M, m, g, α, μ$ で表せ．ただし $μ < \cot α$ とする．
$M = 2.0 kg$ ， $m = 1.0 kg$ ， $α = 30^{\circ}$ ， $μ = 0.20$ の値を求めよ．
$μ \to 0$ の極限を確かめよ．

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考え方 一緒に動くとき全体の加速度は $A = F / (M + m)$ で，物体も水平右向きに加速度 $A$ を持つ．その物体について，斜面方向と垂直方向の力を書く．

斜面に沿って下向きの単位ベクトルは $(\cos α, - \sin α)$ ，垂線は $(\sin α, \cos α)$ である．斜面に沿って上向きの摩擦力 $f$ を仮定すると

m A \cos α = m g \sin α - f, m A \sin α = N - m g \cos α

より $f = m (g \sin α - A \cos α)$ ， $N = m (g \cos α + A \sin α)$ ．滑らない条件は $| f | \leq μ N$ ， $μ = \tan λ$ とおく．

$f \leq μ N$ ： $g (\sin α - μ \cos α) \leq A (\cos α + μ \sin α)$ ，よって $A \geq g \tan (α - λ)$ ．
$- f \leq μ N$ ： $A (\cos α - μ \sin α) \leq g (\sin α + μ \cos α)$ ． $μ < \cot α$ より $\cos α - μ \sin α > 0$ なので $A \leq g \tan (α + λ)$ ．

$F = (M + m) A$ より

(M + m) g \tan (α - λ) \leq F \leq (M + m) g \tan (α + λ), \tan (α \mp λ) = \frac{\sin α \mp μ \cos α}{\cos α \pm μ \sin α}

$\tan (α - λ) = \frac{0.5 - 0.173}{0.866 + 0.100} = 0.338$ ， $\tan (α + λ) = \frac{0.5 + 0.173}{0.866 - 0.100} = 0.879$ ． $M + m = 3.0 kg$ より

3.0 \times 9.8 \times 0.338 \leq F \leq 3.0 \times 9.8 \times 0.879 ⟹ 9.9 N \leq F \leq 26 N

$μ \to 0$ （ $λ \to 0$ ）で範囲が1点 $F = (M + m) g \tan α$ に縮み，演習 2 の $A = g \tan α$ に一致する．

演習 4

オリジナル ★★★★☆

滑らかな水平な机の上に，質量 $m_{1} = 2.0 kg$ の板があり，その上に質量 $m_{2} = 1.0 kg$ の物体を置く．物体と板のあいだの摩擦係数は $μ = 0.30$ （静止，動とも同じ）．物体に軽い糸を結び，水平に引いて机の端の定滑車にかけ，鉛直に下ろして軽い動滑車の下を通し，上に戻して天井に固定する．動滑車には質量 $M$ のおもりを吊るす．糸の鉛直部分は2本とも鉛直である．

物体の加速度の大きさ $a$ と，おもりの加速度の大きさの関係（束縛条件）を求めよ．
物体が板に対して滑らずに動くための $M$ の最大値を求めよ．
$M = 2.0 kg$ のとき，板，物体，おもりの加速度と糸の張力を求めよ．

**［図：板と物体，定滑車と動滑車とおもり］**
滑らかな水平な机の上に質量m1の板があり，その上に質量m2の物体が置かれている（板と物体の間の摩擦係数はμ）．物体から糸が水平に出て，机の端の定滑車を回って鉛直に下り，動滑車の下を回って鉛直に上り，天井に固定されている．動滑車には質量Mのおもりが吊るされている．糸の鉛直部分は2本とも鉛直．

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物体と定滑車の距離を $x$ ，動滑車の深さを $y$ とすると，糸の長さが一定なので $x + 2 y =$ 一定である．物体が $Δ x$ 縮むとおもりは $Δ x / 2$ 下がるので，おもりの加速度の大きさは $a / 2$ である．
滑らないとき，板と物体は共通の加速度 $a$ を持ち，水平方向の外力は糸の張力 $T$ だけなので $(m_{1} + m_{2}) a = T$ ．おもりは $M g - 2 T = M \cdot \frac{a}{2}$ ．よって

a = \frac{2 M g}{4 (m_{1} + m_{2}) + M}

板を動かすのは摩擦力だけなので $f = m_{1} a \leq μ m_{2} g$ である．

\frac{2 M m_{1}}{4 (m_{1} + m_{2}) + M} \leq μ m_{2} ⟹ M \leq \frac{4 μ m_{2} (m_{1} + m_{2})}{2 m_{1} - μ m_{2}}

数値を入れて $M \leq \frac{4 \times 0.30 \times 1.0 \times 3.0}{4.0 - 0.30} \approx 0.97 kg$ ．

$M = 2.0 kg$ は上限より大きく，物体は滑る．板は動摩擦力だけで動くので $m_{1} a_{1} = μ m_{2} g$ ， $a_{1} = 0.30 \times 1.0 \times 9.8 / 2.0 = 1.47 \approx 1.5 m s^{- 2}$ ．物体は $T - μ m_{2} g = m_{2} a_{2}$ ，おもりは $M g - 2 T = M a_{2} / 2$ なので

a_{2} (m_{2} + \frac{M}{4}) = \frac{M g}{2} - μ m_{2} g ⟹ 1.5 a_{2} = 9.8 - 2.94 ⟹ a_{2} \approx 4.6 m s^{- 2}

おもりの加速度は $a_{2} / 2 \approx 2.3 m s^{- 2}$ ，張力は $T = m_{2} a_{2} + μ m_{2} g \approx 7.5 N$ ． $a_{2} > a_{1}$ なので物体は板に対して前へ滑り，仮定と合っている．

演習 5

オリジナル ★★★★☆

滑らかな水平な机の上に，一様な鎖（長さ $L$ ，質量 $M$ ）が一直線に置かれ，一端から長さ $y_{0}$ の部分が，机の縁から（滑らかな縁を越えて）鉛直に垂れ下がっている．静かに放す．垂れ下がり部分の長さを $y (t)$ とする．

**［図：机の縁から垂れる鎖］**
長さL，質量Mの鎖のうち，初め長さy₀が机から垂れている．

$y$ の運動方程式を立てよ．
$y (t) = A e^{ω t} + B e^{- ω t}$ の形を仮定して， $ω$ と $A, B$ を求めよ．
$y_{0} = L / 4$ のとき，鎖全体が机を離れるまでの時間と，そのときの速さを求めよ． $L = 1.0 m$ では何秒，何 $m s^{- 1}$ か． $z = e^{ω t}$ とおくと $z$ の2次方程式になり， $t = \frac{1}{ω} \ln z$ である．

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机の上の部分の重力は垂直抗力とつり合うので，全体を加速するのは垂れ下がり部分の重力 $M y g / L$ だけである．全体（質量 $M$ ）の運動方程式は

M \ddot{y} = \frac{M y}{L} g ⟹ \ddot{y} = \frac{g}{L} y

$ω^{2} = g / L$ とすると， $y = A e^{ω t} + B e^{- ω t}$ は $\ddot{y} = ω^{2} y$ を満たす．初期条件 $y (0) = y_{0}$ ， $\dot{y} (0) = 0$ より $A + B = y_{0}$ ， $ω (A - B) = 0$ ．よって $A = B = y_{0} / 2$ で

y (t) = \frac{y_{0}}{2} (e^{ω t} + e^{- ω t}), ω = \sqrt{\frac{g}{L}}

$y = L$ となる時刻は， $z = e^{ω t}$ とおいて $z + 1 / z = 2 L / y_{0} = 8$ ．よって $z = 4 + \sqrt{15} \approx 7.87$ ， $ω t = \ln z \approx 2.06$ ，

t \approx 2.06 \sqrt{L / g}

速さは $\dot{y} = \frac{y_{0} ω}{2} (z - \frac{1}{z}) = ω y_{0} \sqrt{(L / y_{0})^{2} - 1} = ω \sqrt{L^{2} - y_{0}^{2}}$ より

v = \frac{\sqrt{15}}{4} \sqrt{g L} \approx 0.97 \sqrt{g L}

$L = 1.0 m$ では $t \approx 0.66 s$ ， $v \approx 3.0 m s^{- 1}$ である．

演習 6

オリジナル ★★★★★

固定された粗い円柱（半径 $R$ ）に，軽いロープを中心角 $θ$ にわたって巻きつける．ロープと円柱の静止摩擦係数を $μ$ とする．ロープの一端の張力を $T_{1}$ ，他端の張力を $T_{2} (> T_{1})$ とする．

円柱面上のロープの一部分（中心角 $d φ$ ）の力のつり合いを調べ，ロープが $T_{2}$ の側へ滑り出す直前に $T_{2} = T_{1} e^{μ θ}$ となることを導け．小さな角 $x$ では $\sin x \approx x$ と近似でき， $\int \frac{d T}{T} = \ln T + C$ （ $T > 0$ ）である．
$μ = 0.25$ ， $θ = 4 π$ （2回巻き）で，一端に $5000 N$ の荷重がかかるとき，人がロープを引く力の最小値と，ロープが滑らない人の張力の範囲を求めよ．
人が $100 N$ で荷重 $5000 N$ を保つには，何回以上巻けばよいか．

**［図：円柱に巻いたロープと微小部分］**
固定された粗い円柱に，軽いロープが中心角θだけ巻きついている．ロープの両端には張力T1（小さい側）とT2（大きい側）が，ロープに沿って円柱から離れる向きに働く．円柱上の一部分（中心角dφ，オレンジで印）を右に拡大して描く．この部分には，T1側の張力T，T2側の張力T+dT（どちらもロープの接線方向），円柱から受ける垂直抗力dN（半径方向外向き），T1の側を向く摩擦力μdNが働く．

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$T_{1}$ の側から測った角 $φ$ の位置で，部分の両端の張力を $T$ （ $T_{1}$ 側）と $T + d T$ （ $T_{2}$ 側）とする．滑り出す直前なので，摩擦力は $T_{1}$ の側を向いて限界の大きさになる．この部分の力はつり合う．半径方向では，両端の張力が中心向きの成分を持つので，

d N = T \sin \frac{d φ}{2} + (T + d T) \sin \frac{d φ}{2} \approx T d φ

である（ $\sin (d φ / 2) \approx d φ / 2$ とし，2次の微小量 $d T d φ$ は無視した）．接線方向では，限界の摩擦力が $μ d N$ なので

d T = μ d N = μ T d φ

である． $\frac{d T}{T} = μ d φ$ （変数分離）を $φ = 0$ から $θ$ まで積分すると

\ln \frac{T_{2}}{T_{1}} = μ θ ⟹ T_{2} = T_{1} e^{μ θ}

である．半径 $R$ に依らず，巻きつけた角 $θ$ だけで決まる．

荷重側が $T_{2} = 5000 N$ ，引く力 $T_{1}$ が限界のとき， $μ θ = 0.25 \times 4 π = π$ なので

T_{1} = 5000 e^{- π} \approx 5000 \times 0.0432 \approx 2.2 \times 10^{2} N

が最小値である．逆に人の側の張力が大きすぎても滑り，その限界は $5000 e^{π}$ なので，滑らない範囲は

2.2 \times 10^{2} N \leq T_{1} \leq 1.2 \times 10^{5} N

である．

$e^{μ θ} \geq 5000 / 100 = 50$ より $μ θ \geq \ln 50 = 3.91$ ， $θ \geq 15.6 rad \approx 2.5$ 回転である．余裕を見て3回巻けばよい．