運動量と質点系

重心の求め方

著者：柚木芹香

重心の定義は質量で重みを付けた平均です．この節では，和の記号と加重平均の扱いに慣れ，対称性や分割を使って，積分をしなくても重心を求める方法を身に付けます．

定理数学の道具：和の記号と加重平均

和の記号　 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ．定数倍と和は外に出せる．

\sum_{i} (c a_{i} + b_{i}) = c \sum_{i} a_{i} + \sum_{i} b_{i}

加重平均　重み $w_{i}$ （正の数）をつけた値 $x_{i}$ の加重平均は $\bar{x} = \frac{\sum w_{i} x_{i}}{\sum w_{i}}$ ．重心は，重みが質量で値が位置の加重平均で，各成分に対して別々に計算する．

重心のまわりの和　重心からの位置を $r_{i}^{'} = r_{i} - r_{G}$ とおくと， $\sum m_{i} r_{i}^{'} = \sum m_{i} r_{i} - M r_{G} = 0$ ．重心を原点にとれば，質量で重みを付けた位置の和は0になる．

重心を求める3つの工夫

対称性：質量の分布が対称軸（面）に関して対称なら，重心はその軸（面）上にある．密度が一様な物体なら，外形が対称であれば十分．一様な棒の重心は中点．
分割：物体をいくつかの部分に分け，各部分の重心に部分の質量が集まっているとして，もう一度加重平均をとる．
穴あき：穴の部分を「負の質量」と見なして，全体との差を加重平均に入れる．

三角形の重心　一様な三角形を，辺 BC に平行な細い短冊に分ける．各短冊の重心は中点で，その点は頂点と対辺の中点を結ぶ中線上にある．分割の工夫から，三角形の重心は中線上にある．頂点を $r_{A}, r_{B}, r_{C}$ とすると，BC の中点は $r_{M} = \frac{r_{B} + r_{C}}{2}$ ．点

r_{G} = \frac{r_{A} + r_{B} + r_{C}}{3} = \frac{r_{A} + 2 r_{M}}{3}

は，A と M を結ぶ線分を $2 : 1$ に内分し，A，B，C について対称だから3本の中線すべての上にある．中線の交点は1つなので，これが重心である．

練習．

質量 $1 kg$ と $3 kg$ の質点が $x = 0$ と $x = 8 m$ にあるときの重心の位置を求めよ．
質量 $2, 1, 1 kg$ の質点が $(0, 0)$ ， $(6, 0)$ ， $(0, 6)$ （単位 $m$ ）にあるときの重心を求めよ．
長さ $2.0 m$ ，質量 $1.0 kg$ の一様な棒を $x = 0$ から $x = 2.0 m$ まで置き， $x = 2.0 m$ の端に質量 $3.0 kg$ の小球をつけた．全体の重心を求めよ．
一辺 $4$ の一様な正方形の板（頂点 $(0, 0)$ ， $(4, 0)$ ， $(4, 4)$ ， $(0, 4)$ ）から，一辺 $2$ の正方形（頂点 $(0, 0)$ ， $(2, 0)$ ， $(2, 2)$ ， $(0, 2)$ ）を切り取った．残りの板の重心を，穴を負の質量とみなして求めよ．
頂点が $(0, 0)$ ， $(6, 0)$ ， $(0, 3)$ （単位 $m$ ）の一様な三角形の板の重心を求めよ．

答え：(1) $x_{G} = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4} = 6 m$ ．重いほうに近い．　(2) $M = 4$ ， $x_{G} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 6 + 1 \cdot 0}{4} = 1.5$ ， $y_{G} = \frac{0 + 0 + 6}{4} = 1.5$ ．よって $(1.5, 1.5) m$ ．　(3) 棒の重心は中点 $x = 1.0 m$ なので $x_{G} = \frac{1.0 \times 1.0 + 3.0 \times 2.0}{4.0} = 1.75 m$ ．　(4) 質量を面積に比例させると，板全体は $16$ （重心 $(2, 2)$ ），穴は $- 4$ （重心 $(1, 1)$ ）． $x_{G} = \frac{16 \times 2 - 4 \times 1}{16 - 4} = \frac{7}{3}$ ，対称性から $y_{G} = \frac{7}{3}$ ．重心は $(\frac{7}{3}, \frac{7}{3})$ で，穴と反対側へずれる．　(5) 頂点の位置の平均で $(\frac{0 + 6 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3}) = (2, 1) m$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地球の質量は月の質量の約81倍，地球の中心と月の中心の距離は $3.84 \times 10^{5} km$ である．地球と月を2つの質点と見なす．

**［図：地球と月の配置］**
地球と月の中心を結ぶ配置図．求める重心の位置は示さない．

地球の中心から測った，地球と月の重心までの距離を求めよ．
地球の半径 $6.4 \times 10^{3} km$ と比べて，重心は地球の内側か外側か．

解答を見る

考え方 地球の中心を原点とする．地球の質量を $81 m$ ，月の質量を $m$ とおく．

月の位置を $x = D = 3.84 \times 10^{5} km$ として

x_{G} = \frac{81 m \cdot 0 + m \cdot D}{82 m} = \frac{D}{82} \approx 4.7 \times 10^{3} km

$4.7 \times 10^{3} < 6.4 \times 10^{3}$ なので，重心は地球の内側にある．地球と月は，この共通の重心のまわりを回っており，地球の中心も重心のまわりで小さく動いている．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな氷の上に，質量 $180 kg$ ，長さ $6.0 m$ の一様な板が静止している．板の左端に，質量 $60 kg$ の人が立っている．人が板の上を右端まで歩いたとき，氷に対して，板と人はそれぞれ何 $m$ 動くか．右向きを正とする．

**［図：板の左端から右端へ］**
氷上の板の左端に人が立つ図と，右端に着いた図を上下に並べて描く．板の長さを表す記号だけ書き，求める変位は描かない．

解答を見る

考え方 水平方向の外力はないので，人と板の重心は動かない．板の変位を $X$ ，人の変位を $x$ とする．

重心が動かないので $60 x + 180 X = 0$ ，つまり $x = - 3 X$ ．人は板に対して $6.0 m$ 右へ進んだので， $x - X = 6.0$ ．代入して $- 4 X = 6.0$ ，よって

X = - 1.5 m, x = + 4.5 m

である．板は左へ $1.5 m$ ，人は右へ $4.5 m$ 動く．変位の比は質量の逆比 $3 : 1$ になっている．人が走っても歩いても結果は同じである．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

厚さが一様で半径 $R$ の円板から，中心Oから $R / 2$ だけ離れた点を中心とする半径 $R / 2$ の円を切り抜いた．残った板の重心は，Oからどちら向きにいくら離れた位置にあるか．

**［図：円板から切り取る円形の穴］**
半径Rの円板と，その内側に接する半径R/2の円形の穴を描く．中心Oと穴の中心を通る直線を引く．求める重心の位置は描かない．

解答を見る

考え方 切り抜く前の円板（重心はO）を，「残った板」と「切り抜いた円」の2つに分けて考える．質量は面積に比例する．

面積比は，元の円板 $π R^{2}$ ，切り抜いた円 $π (R / 2)^{2} = \frac{1}{4} π R^{2}$ ，残った板 $\frac{3}{4} π R^{2}$ ．穴の中心の方向を $x$ 軸の正の向きとする．残った板の重心を $x_{0}$ とすると，円板全体の重心がOであることから

\frac{3}{4} x_{0} + \frac{1}{4} \cdot \frac{R}{2} = 0

を得る．よって $x_{0} = - \frac{R}{6}$ ．重心は，Oから穴と反対向きに $R / 6$ だけ離れた位置にある．

ポイントここまでのまとめ

加重平均 $\bar{x} = \sum w_{i} x_{i} / \sum w_{i}$ で，重心は成分ごとに計算する．重心まわりの $\sum m_{i} r_{i}^{'}$ は $0$ ．
対称性，分割，穴あき（負の質量）を使えば，積分なしで重心が求まる．三角形の重心は $(r_{A} + r_{B} + r_{C}) / 3$ ．
水平方向の外力が無く，初め水平方向に静止していれば，重心の水平方向の位置は動かない．人と板の変位の比は質量の逆比．