非慣性系

遠心力

著者：柚木芹香

問い

水平な円盤（ターンテーブル）の縁に近いところに，硬貨を1枚のせます．円盤をゆっくり回すあいだ，硬貨は円盤といっしょに回ります．回転を少しずつ速くしていくと，あるところで硬貨が外へ滑り出し，円盤の外へ飛びます．円盤の上でともに回る人には，硬貨が「外向きの力」を受けて動き出したように見えます．ところが，円盤の外の地面から見ている人には，そんな力を及ぼすものは見当たりません．外向きの力は，本当にあるのでしょうか．

**［図：硬貨を地上と回転系から比較する］**
硬貨を地上と回転系から比較する．図中の記号と条件は「地上 S」「r」「O」「ω」「f」「v」「円盤 S'」「mω²r」「v'＝0」である．

考えてみる

まず地面（慣性系）から見ます．円盤は一定の角速度 $ω$ で回り，硬貨は中心から距離 $r$ のところで円盤に対して止まっているとします．硬貨は半径 $r$ の等速円運動をしているので，加速度は中心向きで大きさ $r ω^{2}$ ，質量を $m$ とすれば中心向きに $m r ω^{2}$ の力が必要です．水平方向で硬貨に触れているのは円盤だけなので，この力は静止摩擦力です． $ω$ が大きくなって必要な力が最大摩擦力を超えると，静止摩擦では硬貨を円に沿って回しきれなくなり，硬貨は円盤に対して滑り始めます．滑り始める瞬間の地面から見た速度は円の接線の向きなので，硬貨は円の外側へそれていきます．その後も円盤に触れているあいだは動摩擦力が働くので，軌跡は直線になりません．円盤を離れて水平方向の力が働かなくなると，等速直線運動になります．地面から見れば，外へ押されたのではなく，引き止めきれなくなっただけです．

次に，円盤の上の人の立場で考えます．この人から見て硬貨は止まっています．ところが硬貨に働く水平の力は，中心向きの摩擦力だけです．力が1つだけなら運動方程式 $m a^{'} = F$ は硬貨が動き出すと言うのに，硬貨は止まっています．運動方程式をそのまま使うなら，摩擦力を打ち消す外向きの力がもう1つあると考えるしかありません．その力を「遠心力」と呼びます．ただし，この力を及ぼしている物体は，どこにも見つかりません．

回る系の運動方程式

円盤といっしょに回る系で止まっている物体は $a^{'} = 0$ で，地面から見た加速度は中心向きの $- ω^{2} r^{'}$ です（ $r^{'}$ は軸から物体へ向かうベクトルで，軸に垂直とする）．慣性系の運動方程式 $m a = F$ から $F = - m ω^{2} r^{'}$ なので，「 $F$ に，それを打ち消す力を足せば止まっている」と読み直せます．

定義遠心力

一定の角速度 $ω$ で回る系の上で，回転軸から距離 $r$ にある質量 $m$ の物体には，実在の力 $F$ のほかに，軸から遠ざかる向きの見かけの力

f_{遠心} = m ω^{2} r^{'}

が働くと考える．大きさは $m ω^{2} r$ ．この系で止まっている物体について，運動方程式は $m a^{'} = F + m ω^{2} r^{'}$ となる．

外積を使うと $f_{遠心} = - m ω \times (ω \times r^{'})$ と書けます（ $ω$ は角速度ベクトル）．導出は次の節です．この力は，質量に比例し，軸から遠いほど強く，反作用が無いという特徴をもちます．遠心力は座標系の側から持ち込まれた項なので，作用・反作用の相手がいません．並進の慣性力 $- m A$ と同じ種類の力です．

向心力との関係も整理します．向心力は，円運動をさせている実在の力の合力の中心向き成分で，いまの硬貨では静止摩擦力です．地面から見た式は「向心力 $= m r ω^{2}$ 」，円盤の上の人から見た式は「向心力 $=$ 遠心力」で，同じ内容の別の書き方です．どちらの系で考えるかを先に決めて，図を描き分けます．地面から見た図には実在の力だけを描き，遠心力は描きません．円盤の上の人から見た図には，実在の力（硬貨では中心向きの静止摩擦力）と遠心力を一緒に描いて，つり合いを立てます．混同してはいけないのは，摩擦力などの実在の力を描いたうえで，「向心力」をそれとは別の力としてもう1つ描き足すことです．向心力は実在の力の合力につけた名前で，独立した力ではありません．

硬貨が滑り出す限界は，どちらの系でも同じ式になります．静止摩擦係数を $μ$ とすると，滑らないのは $m r ω^{2} \leq μ m g$ ，すなわち

ω \leq \sqrt{\frac{μ g}{r}}

のときです．質量が消えるので，硬貨の重さによりません． $μ = 0.40$ ， $r = 0.10 m$ なら $ω \approx 6.3 rad s^{- 1}$ で，毎分60回転ほどです．

回転系で静止している物体（回転する容器の中の液体，円錐振り子のおもりなど）は，回転系で解くとつり合いの問題になり，速く解けます．回転系の中で動く物体には，もう1つの見かけの力（コリオリ力）が加わります．

回転する液面

円筒形のバケツに水を入れ，中心軸のまわりに角速度 $ω$ で回すと，水面は中心がへこんだ形になります．水といっしょに回る系で考えます．

**［図：回転する水面と有効重力］**
回転する水面と有効重力．図中の記号と条件は「回転軸」「ω」「mg」「mω²r」「合力」「θ」である．

軸から距離 $r$ にある水面上の水の塊（質量 $m$ ）は，この系で止まっています．水面に沿う力の成分があれば水は流れるので，水面は合力が垂直になる形をしています．働く力は重力 $m g$ （下向き）と遠心力 $m ω^{2} r$ （外向き水平）なので，水面が水平となす角 $θ$ について

\tan θ = \frac{m ω^{2} r}{m g} = \frac{ω^{2} r}{g}

です． $\tan θ$ は水面の高さ $z$ の傾き $\frac{d z}{d r}$ に等しいので，積分して

z = z_{0} + \frac{ω^{2}}{2 g} r^{2}

となります（ $z_{0}$ は中心の高さ）．水面は放物面で， $ω$ が大きいほど曲がりが強くなります．

地球の自転と重力加速度

地球は約1日で1回自転しているので，地表に立つ私たちは回転系の上にいます．赤道半径を $R = 6.38 \times 10^{6} m$ ，自転の角速度を $ω = 7.29 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ とします．

**［図：地球上の遠心力の分解］**
地球上の遠心力の分解．図中の記号と条件は「自転軸」「P」「λ」「R」「R cos λ」「mω²R cos λ」「法線成分」「赤道向き」である．

緯度 $λ$ の地点は自転軸から $R \cos λ$ の距離にあるので，遠心力は $m ω^{2} R \cos λ$ です．鉛直成分は $m ω^{2} R \cos^{2} λ$ ，地面に沿った成分は赤道に向かって $m ω^{2} R \sin λ \cos λ$ です．万有引力による重力加速度を $g_{0}$ とすると，真下に働く力はほぼ $m (g_{0} - ω^{2} R \cos^{2} λ)$ です．弱める効果は赤道で最大，極で0です． $ω^{2} R \approx 3.4 \times 10^{- 2} m s^{- 2}$ で， $g$ の約0.35 % です．水平成分のせいで，おもりをつるした糸は地球の中心を向かず，わずかに赤道側へ傾きます（最大で約0.1度）．

実測では赤道の $g$ は極より約 $0.05 m s^{- 2}$ 小さく，遠心力で説明できるのはおよそ3分の2です．残りは，地球が赤道方向にふくらんだ形をしていることなどによります．日常で使う $g = 9.8 m s^{- 2}$ には，この遠心力がすでに含まれています．自転が約17倍（周期約85分）に速くなれば，赤道の遠心力が万有引力と等しくなり，物体は浮きます．

ポイントここまでのまとめ

一定の角速度 $ω$ で回る系で止まっている物体には，軸から外向きの見かけの力 $m ω^{2} r$ （遠心力）を加えると， $m a^{'} = F + m ω^{2} r^{'}$ が成り立つ．
遠心力は反作用を持たない見かけの力で，慣性系から見ると現れない．向心力を，実在の力とは別の力として加えない．慣性系の図に遠心力は描かず，回る系の図には実在の力と遠心力を一緒に描く．
円盤の上の物体が滑らない条件は $ω \leq \sqrt{μ g / r}$ （質量によらない）．回転する液面は放物面 $z = z_{0} + \frac{ω^{2}}{2 g} r^{2}$ ．地球では遠心力が赤道の $g$ を約0.35 % 弱める．
問いの答え：外向きの力は，円盤の上の人が運動方程式をそのまま使うために持ち込んだ見かけの力で，実在しない．地面から見れば，硬貨は中心向きの摩擦力で円運動していて，摩擦が足りなくなると円盤に対して滑り始め，その瞬間の速度の向き（円の接線方向）へそれていくだけである．