非慣性系

回転座標系での時間微分

著者：柚木芹香

回転する座標系での微分の方法を作り，遠心力の式とそのポテンシャルを導きます．

定理数学の道具：回転する基底ベクトルと時間微分

$x y$ 平面で，原点のまわりを一定の角速度 $ω$ （反時計回りが正）で回る座標系の基底ベクトルは， $t = 0$ に慣性系の軸と重なっていたとして

e_{1}^{'} = (\cos ω t, \sin ω t), e_{2}^{'} = (- \sin ω t, \cos ω t)

である．微分すると ${\dot{e}}_{1}^{'} = ω e_{2}^{'}$ ， ${\dot{e}}_{2}^{'} = - ω e_{1}^{'}$ ．角速度ベクトル $ω = (0, 0, ω)$ を使えば1つにまとまる：

{\dot{e}}_{i}^{'} = ω \times e_{i}^{'} (i = 1, 2)

**［図：回転する基底とその微分］**
回転する基底とその微分．図中の記号と条件は「x」「y」「O」「e₁'」「e₂'」「de₁'/dt＝ωe₂'」「ωt」である．

原点を共通にとるので，位置ベクトルは慣性系でも回る系でも同じ $r^{'}$ です．回る系の成分で $r^{'} = x^{'} e_{1}^{'} + y^{'} e_{2}^{'}$ と書き，積の微分をすると

\frac{d r^{'}}{d t} = ({\dot{x}}^{'} e_{1}^{'} + {\dot{y}}^{'} e_{2}^{'}) + (x^{'} {\dot{e}}_{1}^{'} + y^{'} {\dot{e}}_{2}^{'}) = v^{'} + ω \times r^{'}

である． $v^{'}$ は回る系の中の人が測る速度，左辺は慣性系での速度 $v$ なので

v = v^{'} + ω \times r^{'}

となる．第2項は回る系が回ることによる速度（大きさ $ω r$ ，接線方向）である．同じ計算は任意のベクトル $B$ で成り立ち，回る系の中で成分だけを微分したものを $\frac{d^{'} B}{d t}$ と書けば

\frac{d B}{d t} = \frac{d^{'} B}{d t} + ω \times B

である．

練習 1． $ω = 2.0 rad s^{- 1}$ で回る系の $r^{'} = (3.0, 0) m$ の位置で，回る系に対する速度が $v^{'} = (0, 1.0) m s^{- 1}$ の物体の，慣性系での速度を求めよ（基底ベクトルは慣性系の軸と重なっている）．

答え： $ω \times r^{'} = (0, 6.0, 0)$ なので $v = (0, 7.0) m s^{- 1}$ ．

練習 2． $ω = 3.0 rad s^{- 1}$ で反時計回りに回る系の $r^{'} = (0, 2.0) m$ の位置で， $v^{'} = (1.0, 0) m s^{- 1}$ の物体の慣性系での速度を求めよ（基底ベクトルは慣性系の軸と重なっている）．

答え： $ω \times r^{'} = 3.0 \times (- 2.0, 0) = (- 6.0, 0)$ なので $v = (- 5.0, 0) m s^{- 1}$ ．

遠心力とそのポテンシャル

回る系で止まっている物体は $v = ω \times r^{'}$ で， $ω$ が一定なので $a = ω \times (ω \times r^{'})$ です． $ω ⟂ r^{'}$ では $- ω^{2} r^{'}$ になり，円運動の加速度に一致します．運動方程式 $m a = F$ と $a^{'} = 0$ から $m a^{'} = F + m ω^{2} r^{'}$ となり，遠心力が得られます．動く物体の場合は，コリオリ力の節で導きます．

遠心力 $(m ω^{2} x^{'}, m ω^{2} y^{'})$ は位置だけで決まり， $U = - \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{' 2} + y^{' 2})$ から $f_{x} = - \frac{\partial U}{\partial x^{'}}$ ， $f_{y} = - \frac{\partial U}{\partial y^{'}}$ と得られます．

ポイント遠心力のポテンシャル

回転軸からの距離を $r$ として $U_{遠心} = - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ ．回る系で静止した液体の自由表面（外圧は一定とする）は，（重力などのポテンシャル） $+ U_{遠心}$ が一定の面になる．表面の圧力が一定なので，表面に沿った方向の力の成分は0でなければならないからである．拘束のない質点が1点でつり合う条件は，ポテンシャルの勾配が0になることで，等ポテンシャル面の条件とは別である．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

水平な円板が，中心を通る鉛直な軸のまわりに角速度 $ω$ で回っている．円板の上に質量 $0.20 kg$ の小物体を置いた．静止摩擦係数は $0.50$ ，重力加速度の大きさは $9.8 m s^{- 2}$ とする．

**［図：回転円盤上の小物体］**
回転円盤上の小物体．図中の記号と条件は「r」「O」「ω」「f」「mω²r」である．

中心から $0.30 m$ の位置で，物体が滑らずにいられる最大の $ω$ を求めよ．
$ω = 4.0 rad s^{- 1}$ のとき，滑らずにいられる中心からの最大の距離を求めよ．質量を $0.40 kg$ に替えると変わるか．

解答を見る

考え方 円板とともに回る系では物体は止まっている．遠心力 $m r ω^{2}$ （外向き）と摩擦力がつり合い，限界は摩擦力が最大摩擦力 $μ m g$ に達するとき．

$m r ω^{2} = μ m g$ より $ω = \sqrt{\frac{μ g}{r}} = \sqrt{\frac{0.50 \times 9.8}{0.30}} \approx 4.0 rad s^{- 1}$ ．
$r \leq \frac{μ g}{ω^{2}} = \frac{0.50 \times 9.8}{{4.0}^{2}} \approx 0.31 m$ ．式に質量が入らないので， $0.40 kg$ に替えても変わらない．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

内側の半径 $0.10 m$ の円筒形の容器に深さ $0.10 m$ まで水を入れ，軸のまわりに毎秒1.5回転で回した．十分時間がたち，水は容器とともに回っている．重力加速度の大きさは $9.8 m s^{- 2}$ ．

**［図：回転容器の水量と高さ］**
回転容器の水量と高さ．図中の記号と条件は「回転軸」「ω」「静止時の水面」「R＝0.10 m」「回転後の水面と高さを求める」である．

重力と遠心力のポテンシャルから，水面の式を求めよ．
縁と中心の水面の高さの差 $Δ h$ を求めよ．
水の体積は変わらないとして，中心での水面の高さを求めよ．

解答を見る

考え方 回る系で止まった水の表面は，ポテンシャル（重力の $m g z$ と遠心力の $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ の和）が一定の面になる．

水面上で $m g z - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2} = 一定$ なので $z = z_{0} + \frac{ω^{2}}{2 g} r^{2}$ （ $z_{0}$ は中心の高さ）．
$ω = 2 π \times 1.5 \approx 9.42 rad s^{- 1}$ ．縁（ $R = 0.10 m$ ）との差は $Δ h = \frac{ω^{2} R^{2}}{2 g} \approx 4.5 \times 10^{- 2} m$ ，約 $4.5 cm$ ．
$z = z_{0} + Δ h (r / R)^{2}$ ．底面の円で $r^{2}$ の平均は $R^{2} / 2$ だから，平均の高さは $z_{0} + \frac{Δ h}{2}$ ．体積不変より，これが初めの深さ $0.10 m$ に等しく， $z_{0} \approx 0.077 m$ ．縁の高さは約 $0.12 m$ ．

ポイントここまでのまとめ

基底ベクトルは ${\dot{e}}_{i}^{'} = ω \times e_{i}^{'}$ を満たし，任意のベクトルで「慣性系での微分 $=$ 回る系での微分 $+ ω \times$ 」となる．
速度は $v = v^{'} + ω \times r^{'}$ ．止まっている物体の加速度 $- ω^{2} r^{'}$ から遠心力 $m ω^{2} r^{'}$ が出る．
遠心力のポテンシャルは $- \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ ．静止した液面は，重力のポテンシャルとの和が一定の面になる．