非慣性系

遠心力の演習

著者：柚木芹香

回転系で静止している物体には，遠心力を加えたつり合いの式を使えます．回転軸からの距離と，実在する力を及ぼす相手を確かめながら解きましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水平な円盤が一定角速度 $ω = 3.0 rad s^{- 1}$ で回っている．質量 $m = 0.20 kg$ の小物体が中心から $r = 0.40 m$ の場所で円盤に対して静止している．

円盤の系での遠心力の大きさと向きを求めよ．
地上と円盤の両方で水平な力の式を書き，摩擦力と遠心力が作用反作用の対でない理由を述べよ．

**［図：円盤上で静止する物体の二つの見方］**
円盤上で静止する物体の二つの見方．図中の記号と条件は「地上 S」「r」「O」「ω」「円盤 S'」である．

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考え方 地上では円運動の加速度があり，円盤では相対加速度が0である．同じ接触力を，異なる運動方程式で表す．

$m ω^{2} r = 0.20 \times {3.0}^{2} \times 0.40 = 0.72 N$ で，回転軸から外向きである．この距離は円周に沿う長さではなく，軸へ下ろした垂線の長さである．
外向きを正とし，内向き摩擦の大きさを $f$ とすれば，地上では $- m ω^{2} r = - f$ ，円盤では $0 = - f + m ω^{2} r$ ．どちらも $f = 0.72 N$ を与える．摩擦力の反作用は物体が円盤へ及ぼす外向きの力で，円盤に作用する．遠心力は同じ物体に加える見かけの力であり，相互作用の相手を持たない．つり合う二力だからといって作用反作用とは限らない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

水平円盤と小物体の静止摩擦係数は $μ = 0.36$ ， $g = 10 m s^{- 2}$ とする．一定角速度で回る円盤の中心から $0.25 m$ に物体を置き，円盤に対して静止させたい．

滑らない角速度の最大値を求めよ．
$ω = 4.0 rad s^{- 1}$ のときに静止できる最大半径と，質量を2倍にした場合の変化を求めよ．角速度を変える途中の運動は扱わない．

**［図：静止摩擦のある円盤］**
静止摩擦のある円盤．図中の記号と条件は「r」「O」「ω」「接触面：μ」である．

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考え方 回転系で必要な摩擦は遠心力と同じ大きさだが，静止摩擦には上限がある．

鉛直方向では $N = m g$ ．水平のつり合いに必要な摩擦は $m ω^{2} r$ なので， $m ω^{2} r \leq μ m g$ ．したがって $ω_{max} = \sqrt{μ g / r} = \sqrt{14.4} \approx 3.8 rad s^{- 1}$ である．限界より小さな角速度では摩擦は最大値に達していない．
$r_{max} = μ g / ω^{2} = 3.6 / 16 = 0.225 m \approx 0.23 m$ ．質量が2倍なら遠心力と最大摩擦力がともに2倍となり，半径の限界は変わらない．回転数を増やしている最中には接線方向にも摩擦が必要なので，この定常状態の条件だけでは判定できない．また滑り始めた後には相対速度が生じ，遠心力だけのつり合いの式を使い続けることはできない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

鉛直軸のまわりを一定角速度 $ω$ で回る円筒の内壁に，質量 $m$ の物体が接触している．内半径は $R$ ，静止摩擦係数は $μ > 0$ で，物体は円筒に対して静止している．床による支えはない．

壁からの垂直抗力と摩擦力を求めよ．
物体がずり落ちない最小角速度を求めよ． $R = 2.0 m$ ， $μ = 0.50$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ のとき数値を示せ．

**［図：回転円筒の内壁の物体］**
回転円筒の内壁の物体．図中の記号と条件は「mg」「R」「ω」「鉛直断面：床の支えなし」である．

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考え方 垂直抗力という名称の垂直は，重力に対してではなく接触面に対してである．この問題では水平内向きに働く．

回転系で半径方向のつり合いから $N = m ω^{2} R$ ．鉛直方向では摩擦が重力を支えるので，上向きに $f = m g$ である．地上で見ても，内向きの $N$ が円運動の向心力を担い，鉛直加速度は0なので同じ結果となる．
$m g \leq μ N = μ m ω^{2} R$ より $ω \geq \sqrt{g / (μ R)}$ ．最小値は $\sqrt{9.8} \approx 3.1 rad s^{- 1}$ である．回転を速めるほど抗力が増え，摩擦の上限が増すため支えられる．水平円盤では摩擦が円運動を担ったが，ここでは抗力が円運動を担う．同じ $m ω^{2} r$ が現れても，力の役割は接触面の向きによって違う．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ の円筒容器に初め深さ $h_{0}$ の水を入れ，一定角速度 $ω$ で鉛直軸のまわりに回す．水が容器とともに回り，底全体を覆い，あふれない状態を考える．底からの高さを $z$ とする．

水面が $z = z_{0} + ω^{2} r^{2} / (2 g)$ となることを示せ．
体積保存から $z_{0}$ を求め，底全体が水で覆われる角速度の条件を求めよ．

**［図：回転前後の液面を調べる］**
回転前後の液面を調べる．図中の記号と条件は「回転軸」「ω」「静止時の水面」「静止時」「」「回転後：形は未知」「h₀」「r，z」「容器の半径 R，水量は一定」である．

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考え方 自由表面は圧力が一定なので，回転系での有効ポテンシャルも一定となる．高さの定数は水量から決まる．

単位質量当たりの有効ポテンシャルは $Φ = g z - ω^{2} r^{2} / 2$ ．表面で $Φ = g z_{0}$ と置けば指定の式を得る．遠心力のポテンシャルは外側ほど低くなるので負号であり，水面は外側ほど高くなる．圧力が一定という条件は自由表面に対する条件で，水中のすべての点が等ポテンシャルという意味ではない．
半径 $r$ から $r + d r$ の輪の面積は $2 π r d r$ なので，水の体積は

\int_{0}^{R} 2 π r (z_{0} + \frac{ω^{2} r^{2}}{2 g}) d r = π R^{2} z_{0} + \frac{π ω^{2} R^{4}}{4 g} = π R^{2} h_{0}

である．よって $z_{0} = h_{0} - ω^{2} R^{2} / (4 g)$ ．中心にも正の水深がある条件は $ω < 2 \sqrt{g h_{0}} / R$ で，等号は中心が初めて底に触れる境界である．これ以上では中央に乾いた領域ができるため，同じ積分範囲と式を使い続けることはできない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

地球を半径 $R$ の球とし，万有引力による加速度は中心向きに $g_{0}$ とする．自転角速度を $ω$ ，北緯を $λ$ とする． $ω^{2} R / g_{0}$ は1より十分小さい．

地表で静止する物体の遠心加速度を，球面の外向き法線と赤道向き接線に分解せよ．
有効重力の大きさと，つり下げた糸の中心方向からのずれ角 $δ$ を1次まで求めよ． $R = 6.38 \times 10^{6} m$ ， $ω = 7.29 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ ， $g_{0} = 9.8 m s^{- 2}$ ， $λ = 45^{\circ}$ で評価せよ．

**［図：地球表面での成分の向き］**
地球表面での成分の向き．図中の記号と条件は「自転軸」「P」「λ」「R」「R cos λ」「外向き法線」「赤道向き」である．

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考え方 遠心力は地球の中心ではなく自転軸から遠ざかる向きである．小さい横成分は，重力の大きさより向きに1次で効く．

軸からの距離は $R \cos λ$ ．遠心加速度の法線成分は $c_{n} = ω^{2} R \cos^{2} λ$ ，接線成分は $c_{t} = ω^{2} R \sin λ \cos λ$ である．後者は北半球では赤道へ向かう．極では軸からの距離が0となり，両成分とも消える．
$g^{'} = \sqrt{(g_{0} - c_{n})^{2} + c_{t}^{2}} \approx g_{0} - c_{n}$ ， $\tan δ = c_{t} / (g_{0} - c_{n})$ より $δ \approx c_{t} / g_{0}$ ． $ω^{2} R \approx 0.0339 m s^{- 2}$ なので，重力の減少は約 $0.0170 m s^{- 2}$ ， $δ \approx 1.73 \times 10^{- 3} rad \approx {0.099}^{\circ}$ である．糸は中心方向から赤道側へ傾く．この見積もりは球形モデルに対する結果であり，実際の地球の形や内部の密度分布の効果を含めてはいない．

ポイント教える人へ

遠心力の距離は軸からの距離であり，球の中心からの距離と区別させる．
向心力という名前を新しい独立した力として追加させない．
摩擦が支える方向と抗力が支える方向を接触面から判断させる．
液面の積分定数と適用範囲を，体積保存と底への接触から確認させる．