非慣性系

コリオリ力

著者：柚木芹香

問い

気象衛星の写真を見ると，北半球の台風は上から見て反時計回りに渦を巻いています．南半球で発生するサイクロンは逆に時計回りです．台風の中心は気圧が低く，周りの空気は気圧の高い外側から低い中心に向かって押されるはずです．それなら風は中心へまっすぐ吹き込みそうですが，実際には中心のまわりを回ります．しかも北半球ではいつも反時計回りです．この回り方の向きは，何が決めているのでしょうか．

考えてみる

地球が自転していることがヒントです．遠心力を思い出しますが，遠心力は軸から外向きで，位置だけで決まります．風の動く向きや速さによらないので，渦の向きを決められません．必要なのは，動いている物体にだけ働いて，向きが決まった見かけの力です．

回転する円盤で，簡単な場合を考えます．円盤の中心から外へ，ボールを速さ $u$ で転がします．円盤の上は摩擦が無いとします．地面から見ると，ボールには力が働かないので，まっすぐ進みます．ところが円盤は回り続けているので，その上の人にはボールが曲がって見えます．円盤が反時計回りなら，ボールは進行方向の右へ，つまり円盤の回転と逆向きに曲がっていきます．この曲がりを円盤の上で説明するには，ボールの動く向きに垂直に働く見かけの力が要ります．遠心力ではありえません．

**［図：直線運動と回転系の軌跡］**
直線運動と回転系の軌跡．図中の記号と条件は「地上 S」「O」「u」「ω」「1」「2」「3」「円盤 S'」「同じ番号は同じ時刻の位置」である．

コリオリ力

結論は，回転系で動く物体に，遠心力のほかにもう1つの見かけの力が加わるということです．

定義コリオリ力

角速度ベクトル $ω$ で回る系の上で，この系に対する速度 $v^{'}$ で動く質量 $m$ の物体には，見かけの力

f_{コリオリ} = - 2 m ω \times v^{'}

が働くと考える．大きさは $2 m ω v^{'} \sin α$ （ $α$ は $ω$ と $v^{'}$ のなす角）．

向きは外積の右ねじの規則で決まります． $ω \times v^{'}$ は $ω$ から $v^{'}$ へ右ねじを回す向きで，それにマイナスが付くので逆向きです．回転を上から見て反時計回りとし， $ω$ を上向きとすれば，水平に動く物体では $- ω \times v^{'}$ は進行方向の右向きです．時計回りの系なら左向きです．この力は速度に垂直なので，仕事をしません．速さを変えず，向きだけを曲げます．物体が回転系で止まっていれば0です．まとめると，回転系での運動方程式は次のようになります．

法則回転系の運動方程式

一定の角速度 $ω$ で回り，原点が加速度 $A$ で動く系の上で

m a^{'} = F - m A + m ω^{2} r^{'} - 2 m ω \times v^{'}

右辺の第2項が並進の慣性力，第3項が遠心力（ $r^{'}$ は軸に垂直な成分），第4項がコリオリ力である．

この式は次の節で導きます．円盤の例では，コリオリ力がボールを右へ曲げ続けるので，渦巻き状の軌跡になります．

地球上のコリオリ力

地球の上では，緯度 $λ$ の地点で東を $x$ ，北を $y$ ，上を $z$ と取ります．地球の角速度ベクトルは北極向きで，この地点では上向きの成分 $ω \sin λ$ と，北向きの成分 $ω \cos λ$ をもちます．

**［図：東向き運動のコリオリ力と外積］**
北半球で東へ動く場合．角速度と速度の外積は北向きと下向きであり，負号を付けたコリオリ力は南向きと上向きになる．

水平に動く物体には，上向きの成分 $ω \sin λ$ が効き，北半球ではコリオリ力の水平成分は進行方向の右向きで，大きさは $2 m ω v^{'} \sin λ$ です．南半球では $\sin λ < 0$ になるので左向きです．赤道では上向きの成分が0なので，水平面内で進行方向を曲げる成分は消え，水平な運動は曲がりません．ただし，東西に動く物体には鉛直方向のコリオリ力が残ります（あとの「落下物と鉛直方向」）．

台風　低気圧の中心に向かう風は，北半球では右に曲げられます．中心の東側で西向きに吹く風は北へ，北側で南向きの風は西へ曲げられ，全体として反時計回りの渦になります．渦が十分に発達したところでは，地球に固定した系で見ると，空気は中心のまわりを回っているので，中心向きの加速度をもちます．この加速度を与えるのは，中心向きの気圧の力と，外向きのコリオリ力の差です．大規模な低気圧では差が小さく，2つの力がほぼつり合います．風とともに中心を回る系で考えるなら，旋回による外向きの遠心力（地球の自転による遠心力とは別のものです）を加えて，3つがつり合うと表せます．地表付近では，地面との摩擦で風が弱まってコリオリ力が小さくなるので，風は中心側へ吹き込みながら渦を巻きます．この風向きは南半球では逆です．

大きさを見積もります．緯度 $30^{\circ}$ で風速 $20 m s^{- 1}$ なら，コリオリ力による加速度は $2 ω v \sin λ = 2 \times 7.29 \times 10^{- 5} \times 20 \times 0.5 \approx 1.5 \times 10^{- 3} m s^{- 2}$ です．日常の力に比べればごく小さな値ですが，何時間も同じ向きに働き続けるので，風の向きを大きく曲げます．

**［図：低気圧のまわりの風と力］**
北半球の低気圧を地球固定系で見る．風は上から見て反時計回りで，赤実線の内向きの気圧の力は赤破線の外向きのコリオリ力より大きい．両者の差が中心向きの加速度を与える．

洗面台の渦の向きも北と南で違う，と言われることがありますが，これは正しくありません．コリオリ力が効くかどうかの大まかな目安は，空気や水が流れていく代表的な時間 $t$ （流れの大きさ÷速さ）のあいだに，地面が回る角 $ω t$ が無視できないかどうかです．台風では空気が渦を巡るのに数時間から数日かかり， $ω t$ は1の程度かそれ以上です．洗面台の水は数十秒で流れ， $ω t$ は $10^{- 3}$ の程度しかありません．こちらは，排水口の形や水面の揺れのほうがずっと効きます．あくまで目安で，きちんと決めるには，コリオリ加速度 $2 ω | \sin λ | U$ （ $U$ は流れの速さ）を，慣性による加速度 $U^{2} / L$ （ $L$ は流れの大きさ）や，ほかの力，最初の流れの効果と比べる必要があります．海流や貿易風のように大規模なものは，台風と同じく北半球で右へ曲げられます．

フーコーの振り子

長い糸につるした振り子は，北極に置けば，振動する面が空間に対して変わらず，その下で地球が24時間に1回転します．地面の人には，振動面が24時間で1回転するように見えます．北極以外では，上向きの成分 $ω \sin λ$ だけが水平な運動に効くので，振動面が回る角速度は $ω \sin λ$ になり，北半球では上から見て時計回りです．

**［図：北極のフーコー振り子を比較する］**
北極のフーコー振り子を比較する．図中の記号と条件は「時刻 0」「空間：振動方向一定」「床：振動方向は時計回り」「時刻 1」「時刻 2」である．

落下物と鉛直方向　高い所から落とした物体は，真下ではなく少し東にずれて落ちます．落下する速度は下向きなので，コリオリ力は東向きになるからです（定量的な計算は次の節）．また，東向きに動く物体には，上向きのコリオリ力 $2 m ω v^{'} \cos λ$ が働き，見かけの重さが軽くなります．西向きなら重くなります．

ポイントここまでのまとめ

回転系で速度 $v^{'}$ で動く物体には，見かけの力 $- 2 m ω \times v^{'}$ （コリオリ力）が働く．速度に垂直で仕事をせず，止まっている物体には働かない．
コリオリ力の水平成分は，北半球では進行方向の右向き（大きさ $2 m ω v^{'} \sin λ$ ），南半球では左向き．赤道ではこの水平成分が0になる（東西に動く物体には鉛直成分が残る）．
台風の渦，フーコーの振り子の振動面の回転（角速度 $ω \sin λ$ ），落下物の東へのずれは，コリオリ力で説明できる．
問いの答え：低気圧に向かう風が，北半球ではコリオリ力で右へ曲げられ続けるので，反時計回りの渦になる．南半球は逆である．