非慣性系

回転系の加速度の一般式

著者：柚木芹香

原点が動き，基底ベクトルが回る座標系での加速度の一般式を導き，平面運動を複素数で書きます．

定理数学の道具：回転系の加速度

原点が位置 $R (t)$ （加速度 $A$ ）にあり，基底ベクトルが一定の角速度ベクトル $ω$ で回る座標系で，質点の位置を $r = R + r^{'}$ とする．遠心力の節の $\frac{d B}{d t} = \frac{d^{'} B}{d t} + ω \times B$ を $r^{'}$ に使うと，速度は

v = \dot{R} + v^{'} + ω \times r^{'}

である．もう一度微分すると（ $ω$ は一定）

a = A + a^{'} + 2 ω \times v^{'} + ω \times (ω \times r^{'})

となる． $m a = F$ に入れて $a^{'}$ について解くと

m a^{'} = F - m A - 2 m ω \times v^{'} - m ω \times (ω \times r^{'})

で，第2項が並進の慣性力，第3項がコリオリ力，第4項が遠心力である．

**［図：同時刻の直線運動と回転系の軌跡］**
同時刻の直線運動と回転系の軌跡．図中の記号と条件は「地上 S」「O」「u」「ω」「1」「2」「3」「円盤 S'」「同じ番号は同じ時刻の位置」である．

平面での成分表示　 $ω = (0, 0, ω)$ ， $v^{'} = ({\dot{x}}^{'}, {\dot{y}}^{'}, 0)$ では $ω \times v^{'} = ω (- {\dot{y}}^{'}, {\dot{x}}^{'}, 0)$ なので，力が無く $A = 0$ なら ${\ddot{x}}^{'} = 2 ω {\dot{y}}^{'} + ω^{2} x^{'}$ ， ${\ddot{y}}^{'} = - 2 ω {\dot{x}}^{'} + ω^{2} y^{'}$ ． $ζ = x^{'} + i y^{'}$ とおくと2式は1つにまとまる：

\ddot{ζ} = - 2 i ω \dot{ζ} + ω^{2} ζ

原点が慣性系で静止しているとき，慣性系で原点から $x$ 軸の向きに出る直線運動 $x + i y = u t$ は，回る系で $ζ = u t e^{- i ω t}$ になる（ $t = 0$ に軸が重なっていたとし，座標を $- ω t$ だけ回すため）．

練習 1． $ω = 2.0 rad s^{- 1}$ で反時計回りに回る系で，原点から $u = 1.0 m s^{- 1}$ で出た物体の $t = 1.0 s$ での座標 $(x^{'}, y^{'})$ を求めよ．

答え： $(x^{'}, y^{'}) = (u t \cos ω t, - u t \sin ω t) = (- 0.42, - 0.91) m$ ．

練習 2． 同じ物体の $t = 0.50 s$ での座標 $(x^{'}, y^{'})$ を求めよ（ $\cos 1.0 \approx 0.540$ ， $\sin 1.0 \approx 0.841$ ）．

答え： $ω t = 1.0$ より $(0.50 \cos 1.0, - 0.50 \sin 1.0) \approx (0.27, - 0.42) m$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

北緯 $λ = 35^{\circ}$ の水平な線路を，質量 $4.0 \times 10^{5} kg$ の列車が東向きに速さ $40 m s^{- 1}$ で走っている．自転の角速度は $ω = 7.29 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ ．東・北・上を成分の順とする座標で $ω = (0, ω \cos λ, ω \sin λ)$ である．

**［図：東へ走る列車の条件］**
東へ走る列車の条件．図中の記号と条件は「東 x」「北 y」「上 z」「ω」「ω cos λ」「ω sin λ」「v'」「力の成分を求める」である．

列車に働くコリオリ力を成分で求めよ．
列車が横に動かないために，レールが水平に及ぼす力の大きさと向きを求めよ．

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考え方 $f = - 2 m ω \times v^{'}$ に $v^{'} = (u, 0, 0)$ を入れる．

$ω \times v^{'} = (0, ω u \sin λ, - ω u \cos λ)$ なので $f = (0, - 2 m ω u \sin λ, 2 m ω u \cos λ)$ ． $2 m ω u \approx 2.3 \times 10^{3} N$ より，南向きに約 $1.3 \times 10^{3} N$ ，上向きに約 $1.9 \times 10^{3} N$ （重さの約0.05 %）．
南向きのコリオリ力を打ち消すため，レールは北向きに約 $1.3 \times 10^{3} N$ を及ぼす．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

北緯 $λ = 35^{\circ}$ の地点で，高さ $100 m$ の塔の上から小物体を静かに落とす．空気の抵抗は無視し， $g = 9.8 m s^{- 2}$ ， $ω$ と座標は例題1と同じとする．

**［図：塔からの落下の初期条件］**
塔からの落下の初期条件．図中の記号と条件は「h」「真下の基準点」「東」である．

コリオリ力による東向きの加速度を，落下速度 $v^{'} \approx (0, 0, - g t)$ を使って求めよ．
東へのずれ $x = \frac{1}{3} ω g \cos λ t^{3}$ を導き，着地までのずれを求めよ．

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考え方 コリオリ力は小さいので，速度に $- g t$ を代入して東向きの加速度を積分する．

$ω = (0, ω \cos λ, ω \sin λ)$ ， $v^{'} = (0, 0, - g t)$ より $ω \times v^{'} = (- ω g t \cos λ, 0, 0)$ ．よって東向きの加速度は $a_{x} = 2 ω g t \cos λ$ ．
初速0で積分して $v_{x} = ω g \cos λ t^{2}$ ， $x = \frac{1}{3} ω g \cos λ t^{3}$ ．落下時間は $t = \sqrt{2 h / g} \approx 4.52 s$ なので $x \approx \frac{1}{3} \times 7.29 \times 10^{- 5} \times 9.8 \times 0.819 \times {4.52}^{3} \approx 1.8 \times 10^{- 2} m$ ，約 $1.8 cm$ 東へずれる．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

北半球の緯度 $λ$ の地点で，長い糸につるした振り子（フーコーの振り子）を小さく振らせる．復元の加速度は $- k^{2} (x, y)$ （ $k^{2} = g / ℓ$ ），コリオリ力は $ω$ の上向き成分 $Ω = ω \sin λ$ によるものだけとする．

**［図：フーコー振り子の初期方向］**
フーコー振り子の初期方向．図中の記号と条件は「x'」「y'」「O」「初めの振動方向」「北緯 λ」である．

$ζ = x + i y$ の運動方程式を求め， $ζ = e^{- i Ω t} η$ とおいて，振動面が一定の角速度で回ることを示せ．
北緯 $35^{\circ}$ で振動面が1回転する時間を求めよ． $2 π / ω = 8.62 \times 10^{4} s$ ．

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考え方 運動方程式を複素数 $ζ$ の1つの式にし，回る座標に乗り換える．

運動方程式は $\ddot{x} = - k^{2} x + 2 Ω \dot{y}$ ， $\ddot{y} = - k^{2} y - 2 Ω \dot{x}$ ．第2式に $i$ をかけて足すと $\ddot{ζ} = - k^{2} ζ - 2 i Ω \dot{ζ}$ ． $ζ = e^{- i Ω t} η$ を代入すると $\ddot{η} = - (k^{2} + Ω^{2}) η$ となる． $η$ は一定の直線上の単振動なので，振動面は角速度 $Ω = ω \sin λ$ で（ $e^{- i Ω t}$ より）時計回りに回る．
周期は $\frac{2 π}{ω \sin λ} = \frac{8.62 \times 10^{4}}{0.574} \approx 1.50 \times 10^{5} s$ ，約42時間．

ポイントここまでのまとめ

角速度ベクトルが一定の回転系の加速度は $a = A + a^{'} + 2 ω \times v^{'} + ω \times (ω \times r^{'})$ ．運動方程式に入れると，並進の慣性力・コリオリ力・遠心力が出る．
力が無く原点が慣性系で静止している平面運動では， $ζ = x^{'} + i y^{'}$ に対し $\ddot{ζ} = - 2 i ω \dot{ζ} + ω^{2} ζ$ ．原点から $x$ 軸の向きに速さ $u$ で出た慣性系の直線運動は，回る系で渦巻き $ζ = u t e^{- i ω t}$ になる（ $t = 0$ に軸が重なっていたとする）．
落下物の東へのずれは $\frac{1}{3} ω g \cos λ t^{3}$ ，フーコーの振り子の面は角速度 $ω \sin λ$ で回る．