非慣性系

コリオリ力の演習

著者：柚木芹香

外積の向きを決めてから，負号による反転を確かめましょう．地球上では東・北・上を右手系の軸とし，必要な近似の次数を明示してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水平な円盤が上から見て反時計回りに角速度 $ω = (0, 0, ω)$ で回る．円盤上の質量 $m$ の物体について考える．

相対速度が $v^{'} = (u, 0, 0)$ ， $(0, u, 0)$ ， $(0, 0, u)$ のそれぞれで，コリオリ力を求めよ． $u > 0$ とする．
回転系で静止した物体には遠心力とコリオリ力のどちらが残るか．またコリオリ力の仕事率を求めよ．

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考え方 $f_{C} = - 2 m ω \times v^{'}$ に成分を代入する．右ねじで決まる外積と，力の向きは逆である．

外積は順に $(0, ω u, 0)$ ， $(- ω u, 0, 0)$ ， $0$ ．したがって力は $(0, - 2 m ω u, 0)$ ， $(2 m ω u, 0, 0)$ ， $0$ である．水平運動では進行方向の右へ働くが，軸に平行な運動では外積が0となる．速度があるだけで必ずコリオリ力が生じるわけではない．
$v^{'} = 0$ ならコリオリ力は0である．遠心力は軸から離れた位置では残る．仕事率は $P^{'} = f_{C} \cdot v^{'} = - 2 m (ω \times v^{'}) \cdot v^{'} = 0$ ．これはコリオリ力単独が相対的な運動エネルギーを変えないことを意味し，他の力も含めた速さが必ず一定という意味ではない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

北緯 $30^{\circ}$ の地点で，小物体が北向きに相対速度 $u = 20 m s^{- 1}$ で進む． $ω = 7.29 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ とする．東・北・上を成分の順とする．

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考え方 地球の角速度は $ω = (0, ω \cos λ, ω \sin λ)$ である．北向き速度と平行な北向き成分は外積に寄与しない．

$ω \times (0, u, 0) = (- ω u \sin λ, 0, 0)$ より $a_{C}^{'} = (2 ω u \sin λ, 0, 0)$ ．東向きに $1.458 \times 10^{- 3} m s^{- 2} \approx 1.5 \times 10^{- 3} m s^{- 2}$ である．北へ進む人の右は東であり，向きの規則とも一致する．
初めの東向き速度を0として， $x^{'} = ω u \sin λ t^{2} = 0.0729 m \approx 7.3 cm$ ．近似には $ω t$ が1より十分小さく，移動距離が地球半径より十分小さいことが必要である．今回は $ω t = 7.29 \times 10^{- 4}$ である．新しく生じる東向き速度がコリオリ力へ与える補正は，この計算では2次の効果として省いている．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

赤道上の短い水平な直線レールを，質量 $m$ の台車が東または西へ速さ $u$ で走る．静止物体について測った有効重力を $g$ とし，遠心力はすでに $g$ に含める．地表の曲率による $u^{2} / R$ は無視できるとする．

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考え方 赤道で消えるのは角速度の鉛直成分であり，角速度ベクトル全体ではない．鉛直方向のコリオリ力を残して考える．

赤道では $ω = (0, ω, 0)$ ．東向き $v^{'} = (u, 0, 0)$ なら $ω \times v^{'} = (0, 0, - ω u)$ だから，コリオリ力は上向きに $2 m ω u$ ．西向きでは下向きに同じ大きさである．水平な偏向成分はどちらも0である．
鉛直の相対加速度を0とすれば，東向きでは $N_{E} - m g + 2 m ω u = 0$ ，西向きでは $N_{W} - m g - 2 m ω u = 0$ ．よって $N_{E} = m (g - 2 ω u)$ ， $N_{W} = m (g + 2 ω u)$ ，差は $N_{W} - N_{E} = 4 m ω u$ ．東向きでは軽く測られる．赤道でも鉛直のコリオリ力は存在するので，提示された説明は誤りである．この式は $N_{E} > 0$ かつ曲率を無視できる範囲の局所的な結果である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

北緯 $λ$ で，高さ $h$ から物体を地面に対して静かに落とす．静止時の有効重力を $g$ とし，空気抵抗を無視する． $h$ は地球半径より十分小さく，自転の1次の効果だけを求める．

東向き加速度と変位を時間の関数で求めよ．
着地時のずれを $h$ で表し，高さを4倍にしたときの比を求めよ． $h = 45 m$ ， $λ = 60^{\circ}$ ， $g = 10 m s^{- 2}$ ， $ω = 7.29 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ ではいくらか．

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考え方 1次のコリオリ力には，自転を無視した0次の速度を代入してよい．東向き加速度は時間とともに増すので，等加速度の式ではなく積分を使う．

$v^{'} \approx (0, 0, - g t)$ とすると， $ω \times v^{'} = (- ω g t \cos λ, 0, 0)$ ．よって $a_{x}^{'} = 2 ω g t \cos λ$ ．初期の東向き速度と変位が0なので，積分して $v_{x}^{'} = ω g \cos λ t^{2}$ ， $x^{'} = ω g \cos λ t^{3} / 3$ である．
落下時間は0次の $t_{f} = \sqrt{2 h / g}$ を使え， $x_{f}^{'} = (ω g \cos λ / 3) (2 h / g)^{3 / 2}$ ．したがって高さ4倍ならずれは $4^{3 / 2} = 8$ 倍になる．指定の値では $t_{f} = 3.0 s$ ， $x_{f}^{'} = 3.28 \times 10^{- 3} m \approx 3.3 mm$ 東向きである．東向きに生じた速度による鉛直の補正は2次なので，ここでの落下時間には含めない．微小なずれでも，積分回数によって高さ依存性が変わることに注意する．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

地球上の小領域で，静止時の有効重力と床からの抗力がつり合い，水平にはコリオリ力だけが働く理想模型を考える．緯度は一定の $λ > 0$ ， $f = 2 ω \sin λ$ とする．東向きを $x^{'}$ ，北向きを $y^{'}$ とし，原点から初速度 $(u, 0)$ で動き始める．

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考え方 二つの水平成分は結びついている．片方を微分してもう片方を消去すると，速度に関する単振動の式になる．

${\dot{v}}_{x}^{'} = f v_{y}^{'}$ ， ${\dot{v}}_{y}^{'} = - f v_{x}^{'}$ なので， ${\ddot{v}}_{x}^{'} = - f^{2} v_{x}^{'}$ ．初期条件 $v_{x}^{'} (0) = u$ ， $v_{y}^{'} (0) = 0$ から $v_{x}^{'} = u \cos f t$ ， $v_{y}^{'} = - u \sin f t$ を得る．速さは $\sqrt{(v_{x}^{'})^{2} + (v_{y}^{'})^{2}} = u$ で一定であり，仕事率0の性質と一致する．
積分して $x^{'} = (u / f) \sin f t$ ， $y^{'} = (u / f) (\cos f t - 1)$ ．したがって $(x^{'})^{2} + (y^{'} + u / f)^{2} = (u / f)^{2}$ で，南側の点 $(0, - u / f)$ を中心に時計回りに回る．半径は $u / f$ ，周期は $2 π / f$ ．軌道の広がりが地球半径より十分小さく，その範囲で緯度の変化を無視できる必要がある．赤道へ近づくと $f$ が小さくなり，模型の円の半径が大きくなるため，局所近似の妥当性を改めて検討しなければならない．

ポイント教える人へ