第11章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

水平な滑らかな台車上で，質量 $m$ の物体をばね定数 $k$ の水平ばねに取り付ける．ばねの他端は台車に固定され，初め物体は自然長の位置で台車に対して静止している．時刻0から台車を右向きに一定加速度 $A$ で動かす．右向きの自然長からの変位を $x^{'}$ とする．

$x^{'} (t)$ と最大変位の大きさを求めよ．
台車での保存量を示し，地上で物体とばねの力学的エネルギーが一般には保存しない理由を述べよ．

**［図：加速する台車とばね］**
加速する台車とばね．図中の記号と条件は「A」「m」「k」「自然長位置」「x'」である．

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考え方 一定の慣性力は平衡位置を移すが，ばねによる振動の角振動数は変えない．

$m {\ddot{x}}^{'} = - k x^{'} - m A$ ． $ν = \sqrt{k / m}$ ， $X = x^{'} + m A / k$ とすると $\ddot{X} = - ν^{2} X$ ．初期条件から $X = (m A / k) \cos ν t$ なので， $x^{'} = (m A / k) (\cos ν t - 1)$ ． $- 2 m A / k \leq x^{'} \leq 0$ より最大変位の大きさは $2 m A / k$ である．平衡位置のずれ $m A / k$ と混同しない．
式に ${\dot{x}}^{'}$ を掛けて積分すると $E^{'} = m ({\dot{x}}^{'})^{2} / 2 + k (x^{'})^{2} / 2 + m A x^{'} = 0$ ．最後の項が慣性力のポテンシャルである．地上ではばねの固定端が動き，台車を動かす外部装置が仕事をするため，物体とばねだけは孤立した系ではない．台車での保存量と地上の力学的エネルギーは異なる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $ℓ$ の糸につるされた質量 $m$ の球が，鉛直軸のまわりを一定角速度 $ω$ で回る円錐振り子を考える．糸は鉛直下向きと角 $θ (0 < θ < π / 2)$ をなす．

球とともに回る系で $θ$ ，張力 $T$ ，円の半径を求めよ．
この運動が存在する $ω$ の条件と，地上の周期を求めよ．

**［図：円錐振り子の形］**
円錐振り子の形．図中の記号と条件は「ℓ」「θ」「ω」「m」である．

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考え方 回転系では相対速度が0なので，コリオリ力はない．遠心力の半径には $ℓ \sin θ$ を使う．

鉛直で $T \cos θ = m g$ ，水平で $T \sin θ = m ω^{2} ℓ \sin θ$ ． $\sin θ \neq 0$ より $T = m ω^{2} ℓ$ ， $\cos θ = g / (ω^{2} ℓ)$ ．半径は $r = ℓ \sqrt{1 - g^{2} / (ω^{4} ℓ^{2})}$ である．
非零半径には $0 < g / (ω^{2} ℓ) < 1$ ，すなわち $ω > \sqrt{g / ℓ}$ が必要である．地上の周期は $2 π / ω = 2 π \sqrt{ℓ \cos θ / g}$ ．等号では円の半径が0となるので，非零半径の円錐運動には含めない． $θ = 0$ の鉛直静止解は別に存在し， $\sin θ$ で割る操作ではその解を扱っていない．

演習 3

オリジナル ★★★☆☆

右下がり角 $θ$ の滑らかな斜面を固定した台車が，右へ $A$ ，上へ $B$ の一定加速度で並進する． $A > 0$ ， $B \geq 0$ ．斜面上の物体を相対静止から放す．

相対加速度と垂直抗力を求めよ．
物体を相対静止させる $A$ と，そのとき地上での合力を求めよ．

**［図：斜めに加速する台車の斜面］**
斜めに加速する台車の斜面．図中の記号と条件は「m」「θ」「台車」「A」「B」である．

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考え方 台車の加速度を一度ベクトルで引いてから，斜面に平行・垂直な方向に射影する．

$g^{'} = (- A, - g - B)$ ．斜面下向きの加速度は $a_{∥}^{'} = (g + B) \sin θ - A \cos θ$ ，垂直抗力は $N = m {(g + B) \cos θ + A \sin θ}$ ． $N > 0$ なので接触を保てる．
$a_{∥}^{'} = 0$ より $A = (g + B) \tan θ$ ．このとき $N = m (g + B) / \cos θ$ ．抗力の成分は $(N \sin θ, N \cos θ)$ だから，重力との合力は $(m (g + B) \tan θ, m B) = m (A, B)$ ．相対静止していても実在する合力は0ではなく，台車と共通の加速度を作る．初期相対速度を0とした条件も，静止し続けるために必要である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

内半径 $R$ ，高さ $H$ の円筒容器に，初め深さ $h_{0}$ まで水を入れる． $H / 2 < h_{0} < H$ とする．ゆっくり回転を速め，各角速度で水が剛体回転する定常状態を比べる．

水が初めてあふれる角速度を求めよ．
そのときの中心の水深を求め，底が先に露出しないことを確かめよ．

**［図：あふれる前の円筒容器］**
あふれる前の円筒容器．図中の記号と条件は「回転軸」「ω」「静止時の水面」「H」「h₀」「R」である．

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考え方 水面の縁と中心の差だけでなく，体積一定によって中心も下がることを使う．

あふれる前の水面は $z = z_{0} + ω^{2} r^{2} / (2 g)$ ，体積保存から $z_{0} = h_{0} - ω^{2} R^{2} / (4 g)$ ．縁は $z (R) = h_{0} + ω^{2} R^{2} / (4 g)$ なので， $z (R) = H$ より $ω = 2 \sqrt{g (H - h_{0})} / R$ である．
中心は $z_{0} = h_{0} - (H - h_{0}) = 2 h_{0} - H > 0$ ．したがって，あふれる限界までは底全体を水が覆っており，(1)の式を使える．もし $h_{0} < H / 2$ なら中央が先に乾き，水量積分の下限を乾いた領域の半径に変える必要がある．この問題の不等式は，計算の途中で使った水面モデルを保証する条件である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

北緯 $λ$ で，地面から球を鉛直上向きに速さ $u$ で投げ，元の高さへ戻るまでを考える．局所的な有効重力は一定の $g$ ，空気抵抗はなく，自転の1次だけを扱う．

東向き加速度と変位を時間で表せ．
元の高さへ戻ったときの東西のずれと水平速度を求めよ．

**［図：鉛直投げ上げの初期条件］**
鉛直投げ上げの初期条件．図中の記号と条件は「u」「東 x'」「北緯 λ」である．

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考え方 上昇中と下降中でコリオリ加速度の向きが変わる．加速度の打消しと変位の打消しは同じではない．

0次の鉛直速度は $v_{z}^{'} = u - g t$ ． $a_{x}^{'} = - 2 ω \cos λ (u - g t)$ を積分して $v_{x}^{'} = - 2 ω \cos λ (u t - g t^{2} / 2)$ ， $x^{'} = - ω \cos λ (u t^{2} - g t^{3} / 3)$ である．初期の水平位置と速度は0とした．
飛行時間は $t_{f} = 2 u / g$ ．代入して $v_{x}^{'} (t_{f}) = 0$ ， $x^{'} (t_{f}) = - 4 ω u^{3} \cos λ / (3 g^{2})$ となり，西へずれる．下降中の東向き加速度は，上昇中に得た西向き速度を減らすが，着地までその速度は西向きのままである．水平速度が初期値へ戻っても，水平変位が0とは限らない．適用には $ω u / g$ と最大高度の地球半径に対する比が十分小さいことを要する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

摩擦のない水平面上で，原点から物体を慣性系の $x$ 軸に沿って速さ $u$ で進ませる．同じ原点を持ち，反時計回りに一定角速度 $ω$ で回る系を考え，時刻0で両系の軸を一致させる．

回転系の位置 $(x^{'}, y^{'})$ と速度成分を求めよ．
回転系の運動エネルギーが増えることを示し，コリオリ力が仕事をしないことと矛盾しない理由を説明せよ．

**［図：慣性系と回転系の軸］**
慣性系と回転系の軸．図中の記号と条件は「地上 S」「x」「y」「O」「u」「回転系 S'」「x'」「y'」「ωt」である．

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考え方 慣性系の直線運動を座標回転で書き直す．回転系の速度は位置の成分を微分して求める．

$x^{'} = u t \cos ω t$ ， $y^{'} = - u t \sin ω t$ ．微分して $v_{x}^{'} = u \cos ω t - u ω t \sin ω t$ ， $v_{y}^{'} = - u \sin ω t - u ω t \cos ω t$ となる．半径は $r = u t$ ，方位角は $- ω t$ なので，回転系では時計回りの渦巻きとなる．
二成分の二乗和は $(v^{'})^{2} = u^{2} (1 + ω^{2} t^{2})$ で， $K^{'} = m u^{2} (1 + ω^{2} t^{2}) / 2$ ．遠心力のポテンシャル $U^{'} = - m ω^{2} r^{2} / 2 = - m ω^{2} u^{2} t^{2} / 2$ を足すと $K^{'} + U^{'} = m u^{2} / 2$ で一定である．相対的な運動エネルギーを増すのは遠心力の仕事である．慣性系では実在の水平力がないため，運動エネルギーは初めから一定である．

演習 7

東京大 1989 前期（改題） ★★★☆☆

細い管を直角に曲げ，曲がり角Bから水平に長さ $8 ℓ / 5$ の部分を設けます．鉛直部分を回転軸とし，水平部分の中で質量 $m$ の小球が滑らかに動きます．自然長 $ℓ$ ，ばね定数 $k$ ，質量を無視できるばねを管に通し，一端を小球に，他端をBより下方の点Eに固定します． $BE = d$ ， $B$ から球までの距離を $r$ とすると，ばねの長さは $d + r$ です．ばねは曲がり角に引っ掛からず，伸び縮みしてもフックの法則を満たす理想的なものとします． $ω_{0} = \sqrt{k / m}$ とおきます．

最初は管を静止させ， $d = ℓ / 5$ で球をつり合わせます．時刻0に固定端を下げて $d = 2 ℓ / 5$ とし，その後は動かしません．この切替は十分速く，球の位置と半径方向の速度は変わらないものとします．回転を急に始める操作でも，半径方向の速度は連続とし，必要な接線方向の力積は管から受けるものとします．

**［図：回転軸を通るばねと水平管］**
ばねはEからBを経て小球へ続き，全長はd+rである．水平管BCの長さは8ℓ/5．固定端を動かす操作と管を回す操作を区別する．

管を回さないままの $r (t)$ ，周期，最小・最大の $r$ を求めてください．
ある時刻 $t_{1}$ に管を一定角速度 $ω_{1} > 0$ で回し始め，それ以降は球を管内の同じ位置にとどめたいと考えます．可能な $t_{1}$ と $ω_{1}$ を求めてください．
別の実験として，管を止め， $d = ℓ / 4$ にして球をつり合わせます．この状態から時刻0に一定角速度 $ω > 0$ で回し始めます．安定な半径方向の振動がある条件，振動中心 $r_{c}$ ，角振動数 $Ω$ ，運動 $r (t)$ を求めてください．コリオリ力は半径方向の式に入りますか．
(3)の運動が管の一回転ごとに位置・速度とも同じ状態に戻り，球が管の端Cに触れないようにします．その中で半径方向の振幅が最大となる $ω$ ，振幅，最大半径を求めてください．
$ℓ = 0.60 m$ ， $m = 0.20 kg$ ， $k = 20 N m^{- 1}$ とします．(2)の角速度，(4)の角速度と最大半径を数値で示してください．また(3)で球が外向きに動く間，管が球に与える接線方向の力の向きと大きさを求め，機械的エネルギーが球とばねだけでは保存しない理由を説明してください．

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考え方 回る管の中では，ばねの復元力に遠心力が加わり，振動中心と角振動数の両方が変わる．途中で振動を止めるには，切替直後に新しいつり合い位置にいるだけでなく，半径方向の速度も0でなければならない．

初期位置は $r (0) = 4 ℓ / 5$ ，切替後のつり合い位置は $3 ℓ / 5$ ．運動方程式は $m \ddot{r} = - k (r - 3 ℓ / 5)$ だから，

r (t) = \frac{3 ℓ}{5} + \frac{ℓ}{5} \cos ω_{0} t .

周期は $2 π / ω_{0}$ ，最小半径は $2 ℓ / 5$ ，最大半径は $4 ℓ / 5$ である．いずれも管の両端に達しない．

半径方向の速度が0となるのは折返点だけである．その位置を $r_{*}$ とすると，回転開始後のつり合い条件は

k (r_{*} - 3 ℓ / 5) = m ω_{1}^{2} r_{*} .

内側の折返点 $r_{*} = 2 ℓ / 5$ では左辺が負になり，外向きの遠心力とつり合えない．外側の折返点 $r_{*} = 4 ℓ / 5$ なら $ω_{1}^{2} = k / (4 m)$ ．よって $ω_{1} = ω_{0} / 2$ ， $t_{1} = 2 π n / ω_{0}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）である．固定端の切替より後に回すなら $n \geq 1$ とする．管内で静止していても，外から見れば半径 $4 ℓ / 5$ の円運動をしている．

ばねが自然長となる半径を $r_{0} = 3 ℓ / 4$ とおく．回転系の半径方向の式は

m \ddot{r} = - k (r - r_{0}) + m ω^{2} r .

したがって安定な振動には $0 < ω < ω_{0}$ が必要であり，

Ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - ω^{2}}, r_{c} = \frac{ω_{0}^{2} r_{0}}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}, r (t) = r_{c} - (r_{c} - r_{0}) \cos Ω t .

初期条件 $r (0) = r_{0}$ ， $\dot{r} (0) = 0$ を満たす． $ω \to 0$ で $r_{c} \to r_{0}$ ，振幅も0となる． $ω = ω_{0}$ では復元項が消え， $\ddot{r} = ω_{0}^{2} r_{0}$ となるため単振動ではない． $ω > ω_{0}$ では変位に対する力が外へ増幅する向きとなる．

回転系での速度は半径方向なので，コリオリ力はそれに垂直な接線方向を向く．管からの横向きの抗力がそれを打ち消すため，半径方向の式には入らない．安定条件だけでは有限な管に収まる保証はなく，さらに最大半径を調べる必要がある．

管の一回転時間 $2 π / ω$ に，半径方向の振動も整数回戻る必要がある．振幅が0ではなく $r > 0$ なので，必要十分な条件は $Ω / ω = j$ （正の整数）．一般の有理数比なら複数回転後には閉じるが，今回は一回転後に戻る条件なので整数に限る．よって

ω = \frac{ω_{0}}{\sqrt{j^{2} + 1}}, r_{c} = r_{0} (1 + \frac{1}{j^{2}}), A_{r} = \frac{r_{0}}{j^{2}}, r_{max} = r_{0} (1 + \frac{2}{j^{2}}) .

$j = 1$ では $r_{max} = 9 ℓ / 4 > 8 ℓ / 5$ で端に当たる． $j = 2$ では $r_{max} = 9 ℓ / 8 < 8 ℓ / 5$ となる．振幅は $j$ とともに減るので，最大となるのは $j = 2$ ，すなわち $ω = ω_{0} / \sqrt{5}$ ， $A_{r} = 3 ℓ / 16$ ， $r_{max} = 9 ℓ / 8$ である．外から見た座標は $x = r (t) \cos ω t$ ， $y = r (t) \sin ω t$ で，回転と半径方向の振動が重なった閉曲線になる．

$ω_{0} = 10 s^{- 1}$ なので，(2)は $ω_{1} = 5.0 s^{- 1}$ ，(4)は $ω \approx 4.5 s^{- 1}$ ．最大半径は $0.675 m \approx 0.68 m$ で，管長 $0.96 m$ より短い．振幅も $0.1125 m \approx 0.11 m$ となる．

管の回転方向を正とした接線力は $N_{θ} = 2 m ω \dot{r}$ ．これは回転系で $- 2 m ω \dot{r}$ のコリオリ力を打ち消す条件から得られ，外向き運動では回転と同じ向きとなる．慣性系でも接線加速度が $2 ω \dot{r}$ なので同じ結果になる．球の慣性系での接線速度は $ω r$ であり，管が球にする仕事率は $N_{θ} ω r = 2 m ω^{2} r \dot{r}$ ．外向きでは正，内向きでは負で，角速度を一定に保つモーターがエネルギーを出し入れしている．

実際，球とばねの機械的エネルギー $E = m ({\dot{r}}^{2} + ω^{2} r^{2}) / 2 + k (r - r_{0})^{2} / 2$ を微分すると $\dot{E} = 2 m ω^{2} r \dot{r}$ になる．一方，回転系では有効ポテンシャルを使った $m {\dot{r}}^{2} / 2 + k (r - r_{0})^{2} / 2 - m ω^{2} r^{2} / 2$ が一定である．両者を混同しないことが，回転装置を含む系のエネルギー収支を考える鍵になる．