第2章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

銅の密度は $8.96 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ，モル質量は $63.5 g {mol}^{- 1}$ である．アボガドロ定数を $6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ として，銅の原子 1 個が占める体積を求め，原子を球とみなして原子の半径を見積もれ．球は隙間なく詰められないので，球が空間を占める割合 $f$ を，単純立方格子の $0.52$ から最密充填の $0.74$ の範囲で変え，半径の範囲を示せ．

**［図：球として扱う銅原子］**
原子を球として表し，球の間に隙間が残る様子を示す．

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考え方 1 mol の体積を原子の個数で割ると，原子 1 個あたりの体積が出る．そのうち球が占める割合 $f$ を半径に直す．

1 mol の質量は $0.0635 kg$ なので，体積は $0.0635 / (8.96 \times 10^{3}) = 7.09 \times 10^{- 6} m^{3}$ ．原子 1 個あたりの体積は

V_{0} = \frac{7.09 \times 10^{- 6}}{6.02 \times 10^{23}} = 1.18 \times 10^{- 29} m^{3}

である．半径 $r$ の球が $V_{0}$ の $f$ 倍を占めるとして $\frac{4}{3} π r^{3} = f V_{0}$ ，すなわち

r = {(\frac{3 f V_{0}}{4 π})}^{1 / 3}

$f = 0.74$ では $r = (2.08 \times 10^{- 30})^{1 / 3} \approx 1.28 \times 10^{- 10} m$ ． $f = 0.52$ では $r = (1.46 \times 10^{- 30})^{1 / 3} \approx 1.14 \times 10^{- 10} m$ である．

$f$ が 40 % 違っても，半径は $1 / 3$ 乗でしか効かないので幅は約 10 % である．銅は最密充填の結晶なので， $1.28 \times 10^{- 10} m$ に近い．

答え： $V_{0} \approx 1.2 \times 10^{- 29} m^{3}$ ，半径は $1.1 \times 10^{- 10}$ から $1.3 \times 10^{- 10} m$ ．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

岩の柱は，底面の圧力が岩の強度 $S = 1.5 \times 10^{8} N m^{- 2}$ を超えるとつぶれる．岩石の密度は $ρ = 2.7 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ である．山の高さの上限を見積もる．

**［図：岩の柱の底面にかかる圧力］**
地面に立つ高さhの一様な岩の柱（密度ρ）．重力加速度gは鉛直下向き．柱の底面に，地面から上向きの圧力が一様に働く様子を5本の矢印で示す．底面積はA．

高さ $h$ の一様な柱の底面の圧力を $ρ, g, h$ で表し，地球（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）での上限を求めよ．重力が $3.7 m s^{- 2}$ の火星では何倍か．
一様な球の表面の重力加速度は $g = G M / R^{2}$ （ $G = 6.7 \times 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}$ ）である．岩の天体が自分の重さで球形になる目安を $ρ g R \sim S$ として，その最小の半径を見積もれ．

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考え方 (2) では $g$ が $R$ に比例することを使う．

底面積 $A$ の柱の重さは $ρ A h g$ で，圧力は $ρ g h$ ．これが $S$ になる高さが上限で

h_{max} = \frac{S}{ρ g} = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2.7 \times 10^{3} \times 9.8} \approx 5.7 \times 10^{3} m

エベレスト（約 $8.8 km$ ）と桁が合う． $h_{max} \propto 1 / g$ なので火星では $2.6$ 倍の約 $15 km$ で，実際の最高峰（約 $22 km$ ）と同程度である．

質量 $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ$ より $g = \frac{4}{3} π G ρ R$ ． $ρ g R \sim S$ に入れて

R \sim \sqrt{\frac{3 S}{4 π G ρ^{2}}} \approx 2.7 \times 10^{5} m

約 $270 km$ より小さい天体は，強度で形を保てるので丸くなくてよい．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

大きさ $L$ の物体の温度がそろう時間 $τ$ は， $L$ と熱拡散率 $D$ （単位 $m^{2} s^{- 1}$ ）だけで決まるとする．

**［図：卵の断面と中心へ伝わる熱］**
卵の断面（楕円）の外側から，殻を通って中心の黄身へ向かって熱が伝わる様子を，8方向のオレンジ色の矢印で示す．卵の大きさ（短径）をLとして右側に寸法で示す．

次元解析で $τ$ を $L, D$ で表せ（無次元の係数を $C$ とする）．
短径 $4.5 cm$ の鶏卵は固ゆでに $10$ 分かかる．短径 $14 cm$ のダチョウの卵では何分か．
卵の $D$ を水と同じ $1.4 \times 10^{- 7} m^{2} s^{- 1}$ ， $L$ を鶏卵の半径として $C$ を求め，その $C$ で地球（半径 $6.4 \times 10^{6} m$ ，岩の $D = 1.0 \times 10^{- 6} m^{2} s^{- 1}$ ）が伝導だけで冷える時間を年で見積もり，地球の年齢 $4.5 \times 10^{9}$ 年と比べよ（ $1$ 年 $= 3.2 \times 10^{7} s$ ）．

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考え方 $D$ の次元は $L^{2} T^{- 1}$ ．

$τ = C L^{a} D^{b}$ とおくと， $T : - b = 1$ ， $L : a + 2 b = 0$ から $b = - 1$ ， $a = 2$ ．よって $τ = C L^{2} / D$ ．
$τ \propto L^{2}$ より $10 \times (14 / 4.5)^{2} \approx 97$ 分である．
$L = 2.25 \times 10^{- 2} m$ で $C = D τ / L^{2} = 1.4 \times 10^{- 7} \times 600 / (2.25 \times 10^{- 2})^{2} \approx 0.17$ ．地球では $L^{2} / D \approx 1.3 \times 10^{12}$ 年で， $C$ をかけて約 $2 \times 10^{11}$ 年．地球の年齢の約 50 倍で，伝導だけなら地球はほとんど冷えない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ の天体を縮めていくと，ある半径 $R$ より小さくなったとき，光でさえ表面から離れられなくなる（ブラックホール）．この半径が $M$ ，万有引力定数 $G$ ，光速 $c$ だけで決まるとして，次元解析で $R$ の形を求めよ．太陽（ $2.0 \times 10^{30} kg$ ）と地球（ $6.0 \times 10^{24} kg$ ）について，無次元の係数を $1$ として $R$ を見積もれ．ただし $G = 6.7 \times 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}$ ， $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

**［図：天体の質量と半径］**
質量Mの球形天体の中心から表面までの半径Rを示す．

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考え方 $R = M^{a} G^{b} c^{d}$ とおき， $M, L, T$ の指数を比べる．

$G$ の次元は $L^{3} M^{- 1} T^{- 2}$ ， $c$ は $L T^{- 1}$ である．両辺の次元をそろえると

M : a - b = 0, L : 3 b + d = 1, T : - 2 b - d = 0

第 1 式から $a = b$ ，第 3 式から $d = - 2 b$ ．第 2 式に入れて $3 b - 2 b = 1$ ，すなわち $b = 1$ ， $a = 1$ ， $d = - 2$ ．したがって

R \sim \frac{G M}{c^{2}}

である．次元解析では係数は決まらない．

太陽では $G M = 6.7 \times 10^{- 11} \times 2.0 \times 10^{30} = 1.3 \times 10^{20}$ ， $c^{2} = 9.0 \times 10^{16}$ なので $R \approx 1.5 \times 10^{3} m$ ．地球では $G M = 4.0 \times 10^{14}$ で $R \approx 4.5 \times 10^{- 3} m$ ，約 $4.5 mm$ である．一般相対性理論で求めた正しい半径は係数 $2$ が付き，太陽で約 $3 km$ ，地球で約 $9 mm$ となるが，桁は次元解析で当たっている．

答え： $R \sim G M / c^{2}$ ．太陽で約 $1.5 km$ ，地球で約 $4.5 mm$ ．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

気体中の音の速さ $v$ は，気体の圧力 $p$ と密度 $ρ$ だけで決まるとする．

**［図：気体中を進む音の圧力の波］**
気体を表す粒の箱の中に，粒が密な部分（高圧）と疎な部分（低圧）が等間隔で交互に並ぶ．箱の下に圧力pの変化を波形で示し，隣り合う高圧部の間隔を波長として示す．音は右向きに進む．

$v = C p^{a} ρ^{b}$ （ $C$ は無次元の定数）として $a, b$ を求めよ．
理想気体では $p / ρ = R T / μ$ （ $μ$ はモル質量， $R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ ）である． $20^{\circ} C$ の空気（ $29 g {mol}^{- 1}$ ）とヘリウム（ $4.0 g {mol}^{- 1}$ ）の音速を $C = 1$ として求めよ．声の共鳴の振動数は音速に比例する． $C$ が同じとして，ヘリウムを吸った声は何倍の振動数になるか．

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考え方 $p$ の次元は $M L^{- 1} T^{- 2}$ ， $ρ$ は $M L^{- 3}$ ．指数を別々にそろえる．

$M : a + b = 0$ ， $L : - a - 3 b = 1$ ， $T : - 2 a = - 1$ より $a = \frac{1}{2}$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ．よって $v = C \sqrt{p / ρ}$ ．
$v = C \sqrt{R T / μ}$ ． $T = 293 K$ で，空気は約 $2.9 \times 10^{2}$ （実測 $3.4 \times 10^{2}$ ），ヘリウムは $\sqrt{8.31 \times 293 / 0.0040} \approx 7.8 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ．比は $\sqrt{29 / 4.0} \approx 2.7$ なので，声の振動数は約 $2.7$ 倍になる．

実際には $C$ は気体の種類で少し違う（ $C$ は熱の章で学ぶ比熱比の平方根で，空気は $\sqrt{1.4} \approx 1.18$ ，ヘリウムは $\sqrt{5 / 3} \approx 1.29$ ）． $C$ の違いまで入れると，比は $2.7 \times 1.29 / 1.18 \approx 2.9$ 倍になる．空気の音速も $1.18 \times 2.9 \times 10^{2} \approx 3.4 \times 10^{2} m s^{- 1}$ となり，実測と合う．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

脚を長さ $L$ の棒とみなし，股関節のまわりを振り子のように振って歩くと考える．歩幅は $α L$ （ $α$ は無次元の定数），速さは歩幅と 1 秒あたりの歩数の積である．

**［図：股関節から振れる脚と歩幅］**
股関節を支点に，長さLの棒とみなした2本の脚が前後に開いて地面に接している．足先の間隔が歩幅αLで，鉛直下向きに重力加速度gがある．人は右へ進む．

脚が振れる周期 $T$ を $L, g$ ，脚の質量 $m$ から次元解析で決め，速さが $v = c \sqrt{g L}$ （ $c$ は無次元）と書けることを示せ．
脚の長さ $0.90 m$ の大人が $1.4 m s^{- 1}$ で歩く．脚の長さ $0.50 m$ の子どもの速さと，1 秒あたりの歩数の大人に対する比を見積もれ．
歩行から走行に移る速さは，経験的に $v^{2} / (g L) \approx 0.5$ である．大人が月面（ $g = 1.6 m s^{- 2}$ ）で移る速さを求めよ．

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考え方 質量だけでは時間を作れない． $L$ と $g$ から作った時間を，歩数に使う．

$T = L^{p} g^{q} m^{r}$ とおくと， $M : r = 0$ ， $T : - 2 q = 1$ ， $L : p + q = 0$ より $q = - \frac{1}{2}$ ， $p = \frac{1}{2}$ ．よって $T \propto \sqrt{L / g}$ ．歩数は $1 / T \propto \sqrt{g / L}$ なので $v \propto L \sqrt{g / L} = \sqrt{g L}$ である．
$c = 1.4 / \sqrt{9.8 \times 0.90} \approx 0.47$ ．子どもは $0.47 \sqrt{9.8 \times 0.50} \approx 1.0 m s^{- 1}$ ．歩数は $\sqrt{g / L}$ に比例し，大人の $\sqrt{0.90 / 0.50} \approx 1.3$ 倍である．
$v = \sqrt{0.5 \times 1.6 \times 0.90} \approx 0.85 m s^{- 1}$ （地上は $2.1 m s^{- 1}$ ）．月面では $1.4 m s^{- 1}$ で歩けず，跳ねるような走り方になる．