モデルと問題の解き方の演習

考え方 兄の出発時刻を基準にして，弟が先に進んだ距離を，速さの差で縮める時間と考える．

図． 兄の出発時刻を $t=0$，家を原点，進む向きを正とする．$t_0=10\min =600\mathrm{s}$，$u=1.5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，$v=5.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．

原理． 2 人とも等速で，追いつくとは位置が等しいことである．

式． 弟の位置は $x_1=u(t_0+t)$，兄の位置は $x_2=vt$．$x_1=x_2$ より $t={\displaystyle \frac{u{t}_0}{v-u}}={\displaystyle \frac{1.5\times 600}{3.5}}\approx 257\mathrm{s}\approx 4.3$ 分．位置は $x=5.0\times 257\approx 1.3\times {10}^3\mathrm{m}$．

検算． 次元は $[\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{s}]/[\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}]=\mathrm{s}$ で合う．$v\to u$ では $t\to \mathrm{\infty }$，同じ速さなら追いつけないという結果と合う．$t_0=0$ では $t=0$ で，同時に出れば最初から並んでいる．弟の位置も $1.5\times (600+257)\approx 1.3\times {10}^3\mathrm{m}$ で一致する．

答え：約 $4.3$ 分後，家から約 $1.3\mathrm{km}$．

考え方 上りと下りで，岸から見た速さが違う．往復の時間を文字のまま足し，比を作ってから一次近似を使う．

1. 上りは岸から見て速さ $u-w$，下りは $u+w$ で進む．

2. 比は ${\displaystyle \frac{t}{2L/u}}={\displaystyle \frac{1}{1-(w/u{)}^2}}$．$x=(w/u{)}^2$ が小さいとき $1/(1-x)\approx 1+x$ なので，比は $1+(w/u{)}^2$．$w/u=0.1$ では $1.01$ で，約 1 % 長くなる．流れに乗って得をする分と逆らって損をする分は，一次の項では打ち消し合い，二次の差だけが残る．

3. $w\to 0$ では $t\to 2L/u$ で，静水の結果に戻る．$w\to u$ では分母が $0$ に近づいて $t\to \mathrm{\infty }$ となる．上り速度 $u-w$ が $0$ になり，上流に進めなくなるからで，物理として妥当である．$w>u$ では $t$ が負になり，式は使えない．

答え：(1) $2Lu/(u^2-w^2)$，(2) 約 1 % 長い．

考え方 $r$ の式に数値を入れて判定する．$r=1$ となる高さが，終端速度に近づき始める目安である．

1. $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 1000}\approx 1.4\times {10}^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$（時速 $500\mathrm{km}$ 超）．現実の雨の速さとは大きく違う．

2. 例題 2 の球の式より $r=0.375\times {\displaystyle \frac{1.2}{1.0\times {10}^3}}\times {\displaystyle \frac{1000}{1.0\times {10}^{-3}}}=450$．$r\gg 1$ で，空気がないとしたときの速さでは，抵抗は重力の約 450 倍になる．実際はそれよりずっと前に終端速度に落ち着くので，モデルは使えない．

3. $r=(v/v_t{)}^2$ より $v_t=v/\sqrt{r}=140/\sqrt{450}\approx 6.6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．実際の雨滴の速さに近い．

4. $r=1$ となる高さで，$0.375\times {\displaystyle \frac{1.2}{1.0\times {10}^3}}\times {\displaystyle \frac{h}{1.0\times {10}^{-3}}}=1$ より $h\approx 2.2\mathrm{m}$．雨滴は 2 m ほど落ちるあたりで抵抗が重力と同じくらいになり，速さは終端速度に近づく（抵抗を入れて計算すると，このときの速さは終端速度の約8割）．そこから先は，ほぼ終端速度のまま落ちる．

答え：(1) $1.4\times {10}^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，(2) $r\approx 450$，使えない，(3) $6.6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，(4) $2.2\mathrm{m}$．

考え方 次元，$v_0=0$，$h\to 0$ の順に，間違った式を一つずつ落とす．

1. 速度の次元は $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，$g$ は $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ なので，(エ) は $(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})/(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}{)}^2={\mathrm{s}}^3{\mathrm{m}}^{-1}$ で時間にならない．除く．

2. $v_0=0$ なら自由落下で $t=\sqrt{2h/g}$ のはず．(ウ) は $\sqrt{gh}/g=\sqrt{h/g}$ で $\sqrt{2}$ 倍ずれる．除く．$h\to 0$ なら，投げる前に着いているから $t\to 0$ のはず．(イ) は $2v_0/g$ に近づき $0$ にならない．除く．残るのは (ア)．

3. $\sqrt{v_0^2+2gh}=v_0\sqrt{1+2gh/v_0^2}\approx v_0(1+{\displaystyle \frac{gh}{v_0^2}})=v_0+{\displaystyle \frac{gh}{v_0}}$．よって (ア) は $t\approx {\displaystyle \frac{1}{g}}\cdot {\displaystyle \frac{gh}{v_0}}={\displaystyle \frac{h}{v_0}}$．重力の影響が小さい高速では等速で進むという結果になり，妥当である．

4. $\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t-h=0$ の正の解を求めると $t={\displaystyle \frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}}$．(ア) と一致する．

答え：(ア)．

考え方 終端速度は抵抗と重力がつり合う速さである．大きさ $L$ 倍で，質量と断面積がそれぞれ $L$ の何乗で変わるかを数える．

1. $v_t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2mg}{C\rho A}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 70\times 9.8}{1\times 1.2\times 0.7}}}\approx 40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．$h^{\ast }$ は $\sqrt{2g{h}^{\ast }}=v_t$ より $h^{\ast }={\displaystyle \frac{v_t^2}{2g}}\approx {\displaystyle \frac{1.6\times {10}^3}{19.6}}\approx 83\mathrm{m}$．約 $80\mathrm{m}$ 落ちると抵抗が効く．

2. 大きさが $L$ 倍で質量は $L^3$ 倍，断面積は $L^2$ 倍．$v_t\propto \sqrt{m/A}\propto \sqrt{L^3/L^2}=L^{1/2}$．また $h^{\ast }=v_t^2/(2g)\propto L$ である．

3. $L=1/17$ とおくと，$v_t$ は人の $1/\sqrt{17}\approx 0.24$ 倍で $40\times 0.24\approx 10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．終端速度が小さい小動物は，高所から落ちても助かりやすい．

答え：(1) $40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，$83\mathrm{m}$，(2) $v_t\propto L^{1/2}$，$h^{\ast }\propto L$，(3) 約 $10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．