物理の見方

第2章の発展問題

著者：柚木芹香

この節は第2章の発展問題です．次元解析で現象の形を作る問題と，桁を押さえて量を見積もる問題を，★4 と★5 で並べました．前の節の「第2章の章末問題」を解いてから挑戦するとよいでしょう．まず自分で「図・原理・式・検算」の順に考え，詰まったときは解答の最初の数行だけを読んで，続きを自分で書いてみてください．必要な定数は問題文に与えてあります．

演習

演習 1

オリジナル ★★★★☆

光速 $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ，万有引力定数 $G = 6.7 \times 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2}$ ，換算プランク定数（ディラック定数） $ℏ = h / (2 π) = 1.05 \times 10^{- 34} J s$ から，長さの次元をもつ量（プランク長さ）を作れ．また，それを $c$ で割った時間（プランク時間）を求め，陽子の半径（ $8 \times 10^{- 16} m$ ）との比も答えよ．

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考え方 $ℓ = G^{a} ℏ^{b} c^{d}$ とおく． $ℏ$ は（エネルギー）×（時間）なので，次元は $M L^{2} T^{- 1}$ である．

M : - a + b = 0, L : 3 a + 2 b + d = 1, T : - 2 a - b - d = 0

第 1 式から $b = a$ ．第 3 式から $d = - 3 a$ ．第 2 式に入れて $5 a - 3 a = 1$ ，よって $a = b = \frac{1}{2}$ ， $d = - \frac{3}{2}$ ．したがって

ℓ_{P} = \sqrt{\frac{G ℏ}{c^{3}}}

である．数値は $G ℏ = 6.7 \times 10^{- 11} \times 1.05 \times 10^{- 34} = 7.0 \times 10^{- 45}$ ， $c^{3} = 2.7 \times 10^{25}$ より $G ℏ / c^{3} = 2.6 \times 10^{- 70}$ ，平方根をとって

ℓ_{P} \approx 1.6 \times 10^{- 35} m

である．プランク時間は $t_{P} = ℓ_{P} / c = 1.6 \times 10^{- 35} / (3.0 \times 10^{8}) \approx 5.4 \times 10^{- 44} s$ ．陽子の半径との比は $1.6 \times 10^{- 35} / (8 \times 10^{- 16}) \approx 2 \times 10^{- 20}$ で，原子核の大きさに比べて $20$ 桁も小さい．量子力学，相対性理論，重力が同時に効く長さと考えられている．

答え： $ℓ_{P} = \sqrt{G ℏ / c^{3}} \approx 1.6 \times 10^{- 35} m$ ， $t_{P} \approx 5.4 \times 10^{- 44} s$ ，陽子半径の約 $2 \times 10^{- 20}$ 倍．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

球形の液滴を少しゆがめて離すと，表面張力で振動する．表面張力 $σ$ （単位 $N m^{- 1}$ ）が復元の原因だとし，周期 $T$ が半径 $R$ ，密度 $ρ$ ， $σ$ だけで決まるとして次元解析で $T$ の形を求めよ．半径 $1 mm$ の水滴（ $σ = 0.072 N m^{- 1}$ ， $ρ = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）の周期を見積もり，半径を 2 倍にしたら周期が何倍になるかを答えよ．また，重力を無視してよい理由を，圧力の大きさを比べて述べよ（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．

**［図：液滴の変形］**
半径Rの液滴と，少しゆがめた液滴を並べる．密度ρと表面張力σを示す．

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考え方 $T = ρ^{a} σ^{b} R^{c}$ ． $σ$ の次元は $N m^{- 1} = M T^{- 2}$ であることに注意する．

$ρ$ は $M L^{- 3}$ なので

M : a + b = 0, L : - 3 a + c = 0, T : - 2 b = 1

第 3 式から $b = - \frac{1}{2}$ ，第 1 式から $a = \frac{1}{2}$ ，第 2 式から $c = \frac{3}{2}$ ．よって

T \sim \sqrt{\frac{ρ R^{3}}{σ}}

である．水滴では $ρ R^{3} / σ = 10^{3} \times 10^{- 9} / 0.072 = 1.4 \times 10^{- 5} s^{2}$ で， $T \sim 3.7 \times 10^{- 3} s$ ．数 ms の速い振動である．詳しい理論の係数は約 $2.2$ で， $8 ms$ ほどになる．

$T \propto R^{3 / 2}$ なので，半径が 2 倍なら $2^{3 / 2} \approx 2.8$ 倍である．

重力の影響は，表面張力による圧力 $σ / R$ （ $= 72 Pa$ ）と，重力による圧力変化 $ρ g R$ （ $= 9.8 Pa$ ）の比で決まる．比は $ρ g R^{2} / σ$ で，これが $1$ より十分小さければ重力は無視できる． $R = 1 mm$ では約 $0.14$ である．境目は $R \sim \sqrt{σ / (ρ g)} \approx 2.7 mm$ である．

答え： $T \sim \sqrt{ρ R^{3} / σ}$ ，約 $4 ms$ （係数を含めて約 $8 ms$ ）， $2^{3 / 2} \approx 2.8$ 倍．重力による圧力変化は表面張力による圧力の約 $0.14$ 倍と小さいので，重力は無視してよい．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

ある大きな爆発を高速度カメラで撮影すると，爆発から $t = 0.020 s$ 後の火球が半径 $R = 120 m$ になっていた．火球の大きさは，放出エネルギー $E$ ，周りの空気の密度 $ρ = 1.2 kg m^{- 3}$ ，時間 $t$ だけで決まるとする．(1) 次元解析で $R$ の形を求め， $R \propto (E t^{2} / ρ)^{1 / 5}$ と次元が合うことを確かめよ．(2) 無次元の係数を $1$ として $E$ を見積もれ．TNT 換算（ $1 t$ で $4.2 \times 10^{9} J$ ）も答えよ．(3) 係数が $1$ でなく $1.5$ だったとき， $E$ は何倍変わるか．(4) この時刻の火球の膨張の速さを求めよ．必要なら，次の事実を使ってよい： $R = A t^{n}$ （ $A, n$ は定数）のとき，短い時間 $Δ t$ の間の $R$ の増加は $Δ R \approx n R \frac{Δ t}{t}$ である（一次近似 $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ から出る．第3章で学ぶ微分の公式 $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ と同じ内容）．

**［図：爆発の火球］**
爆発後の時刻tにおける半径Rの火球と，周囲の空気を示す．

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考え方 $R = E^{a} ρ^{b} t^{c}$ とおく． $E$ の次元は $M L^{2} T^{- 2}$ である．

次元を比べて

M : a + b = 0, L : 2 a - 3 b = 1, T : - 2 a + c = 0

$b = - a$ を第 2 式に入れて $5 a = 1$ ， $a = \frac{1}{5}$ ， $b = - \frac{1}{5}$ ， $c = \frac{2}{5}$ ．よって

R \sim {(\frac{E t^{2}}{ρ})}^{1 / 5}

である．確認すると $[E t^{2} / ρ] = (M L^{2} T^{- 2}) (T^{2}) / (M L^{- 3}) = L^{5}$ で，5 乗根が長さになる．

両辺を 5 乗して $E = ρ R^{5} / t^{2}$ ．数値を入れて

E = \frac{1.2 \times (120)^{5}}{(0.020)^{2}} = \frac{1.2 \times 2.5 \times 10^{10}}{4.0 \times 10^{- 4}} \approx 7.5 \times 10^{13} J

で， $10^{14} J$ の桁である．TNT に直すと $7.5 \times 10^{13} / (4.2 \times 10^{9}) \approx 1.8 \times 10^{4} t$ ，約 $18$ キロトンに相当する．

係数 $C$ があれば $R = C (E t^{2} / ρ)^{1 / 5}$ で， $E = ρ R^{5} / (C^{5} t^{2})$ となる． $C = 1.5$ なら $E$ は ${1.5}^{- 5} \approx 0.13$ 倍，約 $1 / 8$ になる．測った $R$ には 5 乗で効くため，係数のわずかなずれが $E$ の大きな不確かさになる．Taylor は流体の方程式を解いて係数を精密に求めた．
$R = A t^{2 / 5}$ と書ける．時刻が $t$ から $t + Δ t$ に進むと， $R$ は ${(1 + \frac{Δ t}{t})}^{2 / 5} \approx 1 + \frac{2}{5} \frac{Δ t}{t}$ 倍になる（一次近似）．よって $Δ R \approx \frac{2}{5} R \frac{Δ t}{t}$ で，膨張の速さは

\frac{Δ R}{Δ t} \approx \frac{2}{5} \frac{R}{t} = 0.4 \times \frac{120}{0.020} = 2.4 \times 10^{3} m s^{- 1}

である（第3章の微分を使えば $\frac{d R}{d t} = \frac{2}{5} \frac{R}{t}$ と同じ結果が出る）．音速（約 $340 m s^{- 1}$ ）の約 $7$ 倍で，衝撃波として合う．

答え：(1) 次元は合う，(2) $E \approx 7.5 \times 10^{13} J$ （約 $18$ キロトン），(3) 約 $1 / 8$ 倍，(4) 約 $2.4 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ．

演習 4

オリジナル ★★★★☆

自動車が時速 $100 km$ で走るときの燃費を見積もる．(1) 空気抵抗 $F$ が，空気の密度 $ρ$ ，速さ $v$ ，車の代表の長さ $ℓ$ だけで決まるとして，次元解析で $F$ の形を求めよ．(2) 断面積 $A = 2.2 m^{2}$ ，係数 $C = 0.3$ として $F = \frac{1}{2} C ρ A v^{2}$ を計算し，転がり抵抗 $0.010 m g$ （ $m = 1.3 \times 10^{3} kg$ ）を加えて，1 km 走るのに必要なエネルギーを求めよ．(3) ガソリン $1 L$ の熱量を $3.4 \times 10^{7} J$ ，エンジンが仕事に変える割合を 25 % として，燃費（ $km / L$ ）を求めよ．(4) 時速 $50 km$ では，空気抵抗がどう変わるか．

**［図：走行する自動車］**
自動車の進行方向，空気抵抗F，代表長さℓと断面積Aを示す．

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$F = ρ^{a} v^{b} ℓ^{c}$ とおくと， $F$ の次元は $M L T^{- 2}$ なので

M : a = 1, L : - 3 a + b + c = 1, T : - b = - 2

より $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 2$ ．よって $F \sim ρ v^{2} ℓ^{2}$ ． $ℓ^{2}$ を断面積 $A$ に置き換えたものが問題文の式の形である．

時速 $100 km$ は $27.8 m s^{- 1}$ で，空気抵抗は

F = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 1.2 \times 2.2 \times (27.8)^{2} \approx 3.1 \times 10^{2} N

転がり抵抗は $0.010 \times 1.3 \times 10^{3} \times 9.8 \approx 1.3 \times 10^{2} N$ ．合計は約 $4.3 \times 10^{2} N$ で，1 km 走る仕事は $4.3 \times 10^{2} \times 10^{3} = 4.3 \times 10^{5} J$ である．

ガソリン $1 L$ から得られる仕事は $3.4 \times 10^{7} \times 0.25 = 8.5 \times 10^{6} J$ ．よって $1 km$ あたり $4.3 \times 10^{5} / (8.5 \times 10^{6}) \approx 0.051 L$ ，燃費は約 $20 km / L$ である．実際の乗用車の高速走行の燃費と同じ桁で妥当である．
空気抵抗は $v^{2}$ に比例するので，速さが半分なら $1 / 4$ の約 $76 N$ になる．転がり抵抗は速さによらないので合計は約 $2.0 \times 10^{2} N$ で，エンジンの効率が同じなら燃費は約 $2$ 倍の $40 km / L$ 余りになる．実際は低負荷で効率が下がり，ここまでは伸びない．

答え：(1) $F \sim ρ v^{2} ℓ^{2}$ ，(2) 約 $4.3 \times 10^{5} J {km}^{- 1}$ ，(3) 約 $20 km / L$ ，(4) 空気抵抗は $1 / 4$ ．

演習 5

オリジナル ★★★★★

水面の波では，波長が長いと重力が，短いと表面張力が復元力として効く．この境目の波長を求めたい．水は十分深いとし，水の密度 $ρ = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ，表面張力 $σ = 0.072 N m^{- 1}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．(1) 重力が復元力の波の速さ $v$ が $g$ と波長 $λ$ だけで決まるとして，次元解析で $v$ の形を求めよ．(2) 表面張力が復元力の波の速さが $σ, ρ, λ$ だけで決まるとして，同様に $v$ の形を求めよ．(3) 両者の速さが等しくなる波長を見積もれ．(4) 詳しい理論では，波数 $k = 2 π / λ$ を用いて $v^{2} = \frac{g}{k} + \frac{σ k}{ρ}$ となる．相加平均と相乗平均の関係から， $v$ の最小値とそのときの波長を求めよ．(5) 水面を一定の速さで動く細い棒が，波を出し続けるために必要な速さの条件を述べよ．

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$v = g^{a} λ^{b}$ ． $L$ ： $a + b = 1$ ， $T$ ： $- 2 a = - 1$ より $a = b = \frac{1}{2}$ ． $v \sim \sqrt{g λ}$ ．
$v = σ^{a} ρ^{b} λ^{c}$ ． $M$ ： $a + b = 0$ ， $L$ ： $- 3 b + c = 1$ ， $T$ ： $- 2 a = - 1$ より $a = \frac{1}{2}$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ， $c = - \frac{1}{2}$ ． $v \sim \sqrt{σ / (ρ λ)}$ ．
等しいとおくと $g λ = σ / (ρ λ)$ ， $λ \sim \sqrt{σ / (ρ g)} = \sqrt{7.3 \times 10^{- 6}} \approx 2.7 \times 10^{- 3} m$ ．この長さを毛管長という．係数を含めた厳密な境目は (4) で求める．
$g / k$ と $σ k / ρ$ はどちらも正なので，相加平均と相乗平均（幾何平均）の関係より

v^{2} = \frac{g}{k} + \frac{σ k}{ρ} \geq 2 \sqrt{\frac{g}{k} \cdot \frac{σ k}{ρ}} = 2 \sqrt{\frac{g σ}{ρ}}

等号は $g / k = σ k / ρ$ ，すなわち $k = \sqrt{ρ g / σ} \approx 3.7 \times 10^{2} m^{- 1}$ のときで，波長は $λ = 2 π / k \approx 1.7 \times 10^{- 2} m$ ，約 $1.7 cm$ である．この波長より長い波は重力波，短い波は毛管波として振る舞う．最小の速さは

v_{min} = {(\frac{4 g σ}{ρ})}^{1 / 4} = {(\frac{4 \times 9.8 \times 0.072}{1.0 \times 10^{3}})}^{1 / 4} \approx 0.23 m s^{- 1}

である．(3) の見積もりに $2 π$ を掛けた値が (4) の波長と一致しており，次元解析が桁と形を正しく与えている．

棒が速さ $V$ で動くとき，棒に静止して見える定常な波ができるには，波の位相速度が $V$ に等しい必要がある．どの波長でも $v \geq v_{min}$ なので， $V < 0.23 m s^{- 1}$ では定常な波は出ず，遠くへ波が伝わらない． $V > 0.23 m s^{- 1}$ では波が出て，棒の前方に毛管波，後方に重力波ができる．

答え：(1) $\sqrt{g λ}$ ，(2) $\sqrt{σ / (ρ λ)}$ ，(3) 約 $3 mm$ ，(4) $0.23 m s^{- 1}$ ， $1.7 cm$ ，(5) $V > 0.23 m s^{- 1}$ ．