物理の見方

第2章のまとめ

著者：柚木芹香

第2章「物理の見方」では，物理を始める前に身につけておく道具を学びました．原子の見方，単位と次元，見積もり，モデルと問題の解き方の4つです．ここでは，定義・法則・手順を一覧にし，各節の問いに短く答えます．

定義

定義第2章の用語

原子・分子：元素ごとの化学的な性質を担う基本単位の粒が原子（内部構造はあるが，ここでは一つの粒として扱う）．いくつかの原子が結びついたものが分子．
熱運動：原子や分子の絶え間ない不規則な運動．温度が高いほど激しい．
物質量（mol）：粒子 $6.02214076 \times 10^{23}$ 個のまとまりを $1 mol$ とする量．1 mol あたりの個数 $N_{A} = 6.02214076 \times 10^{23} {mol}^{- 1} \approx 6.02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ をアボガドロ定数という．
モル質量：粒子 $1 mol$ の質量．原子量・分子量に $g {mol}^{- 1}$ をつけた値．
組立単位：基本単位（m，kg，s など）の積と商で作る単位． $1 N = 1 kg m s^{- 2}$ ， $1 J = 1 kg m^{2} s^{- 2}$ ．
次元：単位を取り去った量の種類． $[x] = L^{a} M^{b} T^{c}$ と書き，指数がすべて $0$ の量を無次元量という．
フェルミ問題：知っている数字だけで量の桁を求める問題．
モデル：目的に関係する性質だけを取り出し，ほかを無視した理想的な対象．質点と剛体が代表．

法則・公式

公式質量から個数へ

質量 $m$ ，モル質量 $M$ の物質の粒子数 $N$ ，および密度 $ρ$ の物質で粒子 $1$ 個が占める体積 $v$ は

N = \frac{m}{M} N_{A}, v = \frac{M}{ρ N_{A}}

法則次元のきまり

足し算・引き算・等号は，同じ次元の量どうしでしか成り立たない．
掛け算・割り算では，次元の指数が足し引きされる．
指数関数・対数・三角関数の中身は無次元．

基本の次元

量	次元
速さ	$L T^{- 1}$
加速度（ $g$ も同じ）	$L T^{- 2}$
力	$M L T^{- 2}$
エネルギー	$M L^{2} T^{- 2}$
圧力	$M L^{- 1} T^{- 2}$

公式数学の道具

科学的記数法： $a \times 10^{n}$ （ $1 \leq a < 10$ ）．掛け算では指数を足し，割り算では引く．
有効数字：掛け算・割り算は桁数の最も少ないものに，足し算・引き算は最後の桁の位置が最も粗いものに合わせる．
幾何平均：下限 $a$ ，上限 $b$ の中心値は $\sqrt{a b}$ ． $2 \approx 10^{0.3}$ ， $3 \approx 10^{0.5}$ ， $5 \approx 10^{0.7}$ ．
一次近似：指数 $n$ を固定して $1 ≫ | x |$ のとき $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ ．

手順

ポイント次元解析の手順

求めたい量が関係しそうな量を挙げる．
求めたい量を $C x_{1}^{a} x_{2}^{b} \dots$ とおく（ $C$ は無次元の定数）．
$L, M, T$ の指数を別々に比べ，連立方程式を解く．係数 $C$ は決まらない．

ポイント見積もりの三つの作法

分解する，桁で押さえる，上下の限界をとる．結果が結論を変えないなら，細かい数字は要らない．

ポイント図・原理・式・検算

図：状況を図にし，既知と未知に文字を付け，座標軸と向きを決める．
原理：使う法則・関係を一言で言う．
式：文字のまま式を立て，文字のまま解く．数値は最後に入れる．
検算：次元，極端な場合，数値の桁を確かめる．

各節の問いに戻る

原子の見方．角砂糖を溶かすと水面はどうなるか．砂糖は消えたのではなく，約 $0.7 nm$ の分子がばらばらに散らばって見えなくなっただけです．液体の中では分子が接して詰まっているので，結晶の体積を使う概算では，水面は約 $0.7 mm$ 上がります．

単位と次元解析．振り子の周期は何で決まるか．質量は次元から消せないので周期に入らず， $T = C \sqrt{l / g}$ の形になります．振れの角度をそろえれば，糸が4倍で周期は2倍です．係数 $C$ は次元解析では決まりません（微小な振れでは $2 π$ ）．

見積もり．教室の空気は人より重いか． $9 \times 7 \times 3 m^{3}$ の教室なら空気の質量は約 $2 \times 10^{2} kg$ で，人ひとり（ $60 kg$ ）の数倍です．感じないことと，質量がないことは別です．

モデルと問題の解き方．広げた紙と丸めた紙は同時に落ちるか．空気がなければ同じ加速度で落ちますが，現実では，空気がないときの速さで評価した抵抗と重力の比 $r = C ρ A h / m$ で決まります．広げた紙は $r \approx 30$ で空気がないモデルが成り立たず，終端速度に近づいて漂い，丸めた紙は $r \approx 0.3$ で抵抗が小さめです．無視してよいかは，感覚ではなく比で判断します．

第3章へ

第3章では，ここで身につけた次元と検算の道具を使いながら，物体の運動を位置・速度・加速度で記述していきます．