第3章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

水平な地面の点Oから，水平距離 $d = 30 m$ ，高さ $h = 40 m$ にある点Pを通るように石を投げる．重力加速度を $g = 9.8 m s^{- 2}$ とし，空気の抵抗は無視する．

投げ上げの初速度 $v_{0}$ と，Pに達する時刻 $t$ の関係式を，ベクトルで書け．
石がPを通るために必要な最小の初速の大きさ $v_{min}$ と，そのときの投げ上げの角を求めよ．必要なら，相加平均・相乗平均の不等式（正の数 $a, b$ について $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，等号は $a = b$ のとき）を使ってよい．

**［図：点Oから点Pを通る放物運動］**
水平な地面の点Oから，水平に距離d，鉛直に高さhだけ離れた点Pを通るように石を投げる．OとPを結ぶ破線がOPの方向．青い曲線は初速度v0で投げたときの軌道の一例で，点Pを通る．重力加速度gは鉛直下向き．最小の初速度や投げ上げの角は図には描いていない．

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考え方 自由落下する観測者から見ると，石は等速直線運動をするだけである．Pに達する条件は，ベクトルの関係としてきれいに書ける．

点Oを原点，水平方向を $x$ ，鉛直上向きを $y$ とする．重力加速度のベクトルは $g = (0, - g)$ ，Pの位置ベクトルは $\vec{O P} = (d, h)$ ．時刻 $t$ の位置は $v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$ だから，

\vec{O P} = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2} ⟺ v_{0} = \frac{\vec{O P}}{t} - \frac{1}{2} g t

両辺の大きさの二乗をとる． $\vec{O P} \cdot g = - g h$ ， $O P = \sqrt{d^{2} + h^{2}} = 50 m$ を使うと，

v_{0}^{2} = \frac{O P^{2}}{t^{2}} + g h + \frac{g^{2} t^{2}}{4}

第1項と第3項に相加平均・相乗平均の不等式を使うと，

\frac{O P^{2}}{t^{2}} + \frac{g^{2} t^{2}}{4} \geq 2 \cdot \frac{O P}{t} \cdot \frac{g t}{2} = g O P

等号は $t^{2} = 2 O P / g$ のときで，

v_{min}^{2} = g (h + O P) = 9.8 \times 90 = 882, v_{min} \approx 30 m s^{- 1}

このとき $t = \sqrt{2 \times 50 / 9.8} \approx 3.19 s$ ．初速度は $v_{0} = (30, 40) / 3.19 + (0, 4.9 \times 3.19) \approx (9.4, 28.2) m s^{- 1}$ で，水平となす角 $θ$ は $\tan θ = 28.2 / 9.4 = 3.0$ ， $θ \approx 72^{\circ}$ である．これは「OPの方向（水平から約 $53^{\circ}$ ）」と「鉛直上向き（ $90^{\circ}$ ）」のちょうど中間の向きになっている．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

傾き $α = 30^{\circ}$ の斜面をもつ台が，水平面上で，斜面を下る向きの水平方向（左向き）に一定の加速度 $A = g$ で加速している．台が静止の状態から加速を始めた瞬間に，斜面の下端Oから，斜面に垂直な向きにボールを初速 $v_{0} = 4.0 m s^{- 1}$ で投げた．ボールには重力加速度 $g = 9.8 m s^{- 2}$ だけが働き，空気の抵抗は無視する．台は十分に長く，ボールは斜面から離れて飛ぶ．

台から見たボールの加速度を求めよ．
ボールが再び斜面に着く時刻と，その点のOからの斜面に沿った距離（斜面を上る向きを正）を求めよ．
ボールがちょうどOに戻るための，台の加速度 $A$ の条件を求めよ．

**［図：斜面の台から斜面に垂直に投げたボール］**
傾き角αの斜面をもつ台が，水平な地面の上を左向き（斜面を下る向き）に加速度Aで加速している．斜面の下端Oから，斜面に垂直な向きに初速度v0でボールを投げる．重力加速度gは鉛直下向き．斜面に沿って上る向きを正としてOからの距離ℓを測る．右向きにx軸，上向きにy軸をとる．台から見た軌道は図には描いていない．

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考え方 台に乗って見ると，ボールの加速度は「地上系の加速度」から「台の加速度」を引いたもの．この見かけの加速度の，斜面に平行な成分と垂直な成分で運動を分ける．

右向きを $x$ ，上向きを $y$ とする．斜面を上る向きの単位ベクトルは $s = (\cos α, \sin α)$ ，斜面に垂直で外向きの単位ベクトルは $n = (- \sin α, \cos α)$ ．

ボールの加速度は $(0, - g)$ ，台の加速度は $(- A, 0)$ だから，台から見たボールの加速度は $a^{'} = (A, - g)$ ．
斜面に平行・垂直な成分は

a_{s} = a^{'} \cdot s = A \cos α - g \sin α, a_{n} = a^{'} \cdot n = - (A \sin α + g \cos α)

台から見た初速度は $v_{0} = v_{0} n$ である（台が静止しているので）．斜面に垂直な運動は等加速度運動で，斜面に戻る条件 $v_{0} t + \frac{1}{2} a_{n} t^{2} = 0$ から

t = \frac{2 v_{0}}{A \sin α + g \cos α} = \frac{2 \times 4.0}{9.8 \times (0.5 + 0.866)} \approx 0.60 s

斜面に平行な方向は初速0の等加速度運動だから，

ℓ = \frac{1}{2} a_{s} t^{2} = \frac{2 v_{0}^{2} (A \cos α - g \sin α)}{(A \sin α + g \cos α)^{2}} = \frac{2 \times 16 \times 9.8 \times 0.366}{{9.8}^{2} \times {1.366}^{2}} \approx 0.64 m

$ℓ > 0$ なので，ボールはOより斜面の上側に着く．

$ℓ = 0$ すなわち $A \cos α = g \sin α$ ， $A = g \tan α$ のとき．このとき台から見た加速度は斜面に垂直になり，ボールは斜面に垂直な直線を往復する．なお， $A = 0$ （台が動かない）のときは $ℓ < 0$ となる．Oは斜面の下端なので，ボールは斜面には戻らず，Oより左側（斜面の下端より先）の床に落ちる．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

一様な風の中で雨が一定の速度で降っている．東向きに速さ $1.0 m s^{- 1}$ で歩くと雨粒の筋は鉛直から前方へ傾き，その傾きの $\tan$ は $1 / 2$ であった．東向きに速さ $3.0 m s^{- 1}$ で歩くと，筋は鉛直から前方へ $45^{\circ}$ 傾いて見えた．

**［図：歩く人から見える雨の筋］**
東へ歩く速さが異なる二つの場合について，鉛直から前方へ傾く雨の筋を示す．地上での雨の速度は描かない．

地面に対する雨粒の速度（大きさと向き）を求めよ．
雨粒の筋が鉛直に見えるのは，どちらの向きに何 $m s^{- 1}$ で歩くときか．
人の体を，頭上面（面積 $S$ ）と進行方向に向いた前面（面積 $5 S$ ）の板とみなす．板に当たる雨の量は，雨の板に対する相対速度の板に垂直な成分，面積，時間の積に比例する．東向きに距離 $L$ を歩くとき，濡れる量を歩く速さ $u$ の関数で表し， $u = 1.0 m s^{- 1}$ と $3.0 m s^{- 1}$ の場合を比べよ．

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考え方 雨粒の人に対する速度は「地面に対する雨粒の速度」から「人の速度」を引く．傾きの情報が2つあるので，雨粒の速度の2成分が決まる．

東向きを $x$ ，鉛直上向きを $y$ とする．雨粒の速度を $(w_{x}, - w_{y})$ （ $w_{y} > 0$ ）とおく．歩く人の速度は $(u, 0)$ で，人から見た雨粒の速度は $(w_{x} - u, - w_{y})$ ．筋が前方へ傾くとは $w_{x} - u < 0$ のことで，鉛直となす角 $ϕ$ は $\tan ϕ = \frac{u - w_{x}}{w_{y}}$ である．

条件より $\frac{1.0 - w_{x}}{w_{y}} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{3.0 - w_{x}}{w_{y}} = 1$ ．整理すると $1.0 - w_{x} = \frac{w_{y}}{2}$ ， $3.0 - w_{x} = w_{y}$ ．辺々引くと $2.0 = \frac{w_{y}}{2}$ だから $w_{y} = 4.0$ ， $w_{x} = - 1.0$ ．雨粒の速度は西向き $1.0 m s^{- 1}$ ，下向き $4.0 m s^{- 1}$ ．速さは $\sqrt{17} \approx 4.1 m s^{- 1}$ ，鉛直から西へ $\arctan (1 / 4) \approx 14^{\circ}$ 傾いた向きに降っている．
筋が鉛直なのは $u = w_{x} = - 1.0 m s^{- 1}$ のとき，つまり西向きに $1.0 m s^{- 1}$ で歩くとき（雨と同じ水平速度で動くとき）．
頭上面に垂直な相対速度成分は $w_{y} = 4.0$ ，前面に垂直な成分は $u - w_{x} = u + 1.0$ （ $u > 0$ ）．時間は $L / u$ だから

W \propto \frac{L}{u} [S \cdot 4.0 + 5 S (u + 1.0)] = S L (\frac{9}{u} + 5)

$u = 1.0$ のとき $14 S L$ ， $u = 3.0$ のとき $8 S L$ ．速く通るほど雨にさらされる時間が短くなり，頭上面から受ける量 $4 S L / u$ も前面から受ける量 $5 S L (1 + 1 / u)$ も減るので，濡れる量は約 57 % になる．ただし $u \to \infty$ でも，前面が雨に突っ込むことによる $5 S L$ は残る．

演習 4

オリジナル ★★★★★

平らな原っぱで，主人が点Qから，まっすぐな道を一定の速さ $u = 1.5 m s^{- 1}$ で歩き出した．犬は道から垂直に $L = 60 m$ 離れた点Oにいて（OQは道に垂直），主人が歩き出すと同時に，常に主人に向かって一定の速さ $v = 2.5 m s^{- 1}$ で走り出す．

犬が主人に追いつくまでの時間を求めよ．一般の $u, v, L$ （ $v > u$ ）についても式で表せ．
犬が走る道のりと，主人が歩く道のりを求めよ．
$v \leq u$ のとき犬は追いつけないことを，(1) の計算から確かめよ．

**［図：犬が主人を追いかける軌跡］**
原点Oにいる犬が，Oから距離Lだけ離れた，y軸に平行な道の上を点Qから歩き出した主人に向かって，常に主人の方向へ速さvで走る．主人は道に沿って一定の速さuで進む．図はある時刻の犬の位置と主人の位置，どちらの速度の向き，犬が通った道筋の曲線を示す．犬の速度は常に主人を向くので，軌跡は主人の進む側へ曲がっていく．

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考え方 犬の軌跡の式を求めなくても，主人と犬の間の距離 $D$ （相対位置の大きさ）の時間変化と，道に沿った成分 $Y$ の変化を調べれば，追いつく時間が求まる．

犬の位置をOを原点として $(x_{d}, y_{d})$ ，主人の位置を $(L, u t)$ とする．犬から見た主人の相対位置 $r = (X, Y) = (L - x_{d}, u t - y_{d})$ と，その大きさ $D = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ を考える．犬の速度は，常に主人の向きだから

v_{犬} = v \frac{r}{D} = v (\frac{X}{D}, \frac{Y}{D})

主人の速度は $(0, u)$ だから，相対速度（主人が犬から見て動く速度）は

\frac{d X}{d t} = - v \frac{X}{D}, \frac{d Y}{d t} = u - v \frac{Y}{D}

$D^{2} = X^{2} + Y^{2}$ を微分して（文字の上の点は $t$ による微分を表す），

\frac{d D}{d t} = \frac{X \dot{X} + Y \dot{Y}}{D} = \frac{- v X^{2} / D + u Y - v Y^{2} / D}{D} = - v + u \frac{Y}{D}

また， $\dot{Y} = u - v Y / D$ より $Y / D = (u - \dot{Y}) / v$ ．これを代入すると

\dot{D} = - v + \frac{u (u - \dot{Y})}{v} ⟹ v \dot{D} + u \dot{Y} = - (v^{2} - u^{2})

左辺は $\frac{d}{d t} (v D + u Y)$ だから，右辺が定数であることから $v D + u Y$ は時間に比例して減る．初め $D = L, Y = 0$ ，追いつく時刻 $T$ では $D = Y = 0$ なので，

0 - v L = - (v^{2} - u^{2}) T ⟹ T = \frac{v L}{v^{2} - u^{2}}

数値では $T = \frac{2.5 \times 60}{{2.5}^{2} - {1.5}^{2}} = \frac{150}{4.0} = 37.5 s$ ． $u \to 0$ では $T \to L / v$ ， $v \to \infty$ では $T \to 0$ で，直観と合っている．

犬の速さは一定だから道のりは $v T = \frac{v^{2} L}{v^{2} - u^{2}} = 2.5 \times 37.5 \approx 94 m$ ．主人は $u T = 1.5 \times 37.5 \approx 56 m$ 歩く．追いつく地点は $(L, u T) = (60, 56) m$ で，Oからの直線距離は $\sqrt{60^{2} + 56^{2}} \approx 82 m$ だから，犬の道のり $94 m$ はそれより長い（曲がった軌跡なので当然）．
$\frac{d}{d t} (v D + u Y) = - (v^{2} - u^{2}) \geq 0$ となるので， $v \leq u$ では $v D + u Y$ は増えるか一定である．初めの値は $v L > 0$ で，追いつくには0にならなければならないが，それは不可能．よって追いつけない． $v \to u$ で $T \to \infty$ となるのも，この結果と整合する．