運動を記述する

第3章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，力のことはまだ考えずに，物体が「どこに，どれだけの速さで，どう動くか」を数と式で書き表しました．位置から速度へは微分，速度から位置へは積分という往復が，章全体の背骨です．

定義の一覧

定義運動を表す量

位置ベクトル $r$ ：原点から物体へ向かう矢印．変位は $Δ r = r_{2} - r_{1}$ ．
速度 $v = \frac{d r}{d t}$ ：位置の時間変化率．大きさ $| v |$ が速さ．直線上では $v = \frac{d x}{d t}$ ．
加速度 $a = \frac{d v}{d t}$ ：速度の時間変化率．向きだけが変わる運動にも加速度がある．
相対速度 $v_{BA} = v_{B} - v_{A}$ ：Aから見たBの速度．
角速度 $ω = \frac{d θ}{d t}$ （ $θ$ はラジアンで，増える向きを正とする．逆転しない回転では $ω > 0$ ），周期 $T$ ，振動数 $f$ ： $ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f$ ．

法則と公式の一覧

法則速度と位置の関係

v-tグラフと横軸にはさまれた面積が変位になる（横軸より下の部分は負として数える．道のりは速さ $| v |$ の積分で，往復があると変位とは一致しない）．

x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v (s) d s, v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a (s) d s

法則等加速度運動と自由落下

v = v_{0} + a t, x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}, v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a (x - x_{0})

自由落下では，鉛直上向きを正にとって $a = - g$ （ $g \approx 9.8 m s^{- 2}$ ）．

法則放物運動

水平方向は等速，鉛直方向は加速度 $- g$ の等加速度運動．水平面と角 $θ$ をなす向きに初速 $v_{0}$ で投げると，

x = v_{0} \cos θ \cdot t, y = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

空気抵抗は無視する．投射点と同じ高さに戻るまでに進む水平距離（到達距離）は， $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 θ}{g}$ である．この式は投射点と着地点が同じ高さのときだけに使える．

法則速度の合成

v_{PG} = v_{PT} + v_{TG}

座標軸の向きを保ち，一定の速度で動く系の間では，加速度は変わらない（ガリレイ変換）．

法則円運動

s = r θ, v = r ω, a_{n} = r ω^{2} = \frac{v^{2}}{r} （中心向き）, a_{t} = \frac{d v}{d t}

回転角が増える向きを正とし，回転が逆転しない場合の式である（一般には $v = r | ω |$ ）．

各節の問いへの短い答え

位置とベクトル：「駅から500 m」は，位置ベクトルの大きさだけを伝えていた．場所を決めるには，向きと，原点・軸の約束（座標系）が要る．
速度：スピードメーターの数字は，短い時間の平均を限りなく短くした極限，つまり瞬間速度 $\frac{d x}{d t}$ の大きさである．平均の速さは区間全体をならした値である．
加速度：速さが一定でも，速度の向きが変われば加速度がある．カーブで外へ押されるように感じるのは，加速度が内向きだからである．
速度から位置へ：v-tグラフの面積（横軸より下は負）が変位になる．道のりは $| v |$ の面積で，往復では変位と一致しない．細かく切って足し合わせる極限が積分である．
等加速度運動と自由落下：ガリレオは時間の比だけを使い，静止から出発した球の出発点からの距離の比が $1 : 4 : 9 : 16$ になることで $x \propto t^{2}$ を確かめた．斜面は加速度を小さくして測りやすくする工夫だった．
放物運動：空気抵抗を無視すれば，猿は弾に当たる．弾も猿も同じ時間に同じだけ $\frac{1}{2} g t^{2}$ 落ちるので，地面に着く前に出会える速さであれば，弾の速さによらない．
相対運動：走る人から見た雨の速度は，雨の速度から人の速度を引いたもの．雨は前から降ってくるように見える．
円運動：端の点のほうが速い．角速度は同じで，速さは半径に比例する．速さが一定でも，加速度 $r ω^{2}$ が中心を向く．

数学の道具の一覧

ベクトル：成分での和・差・実数倍，大きさ，内積．
微分： $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ ，積の微分，連鎖律， $(\sin θ)^{'} = \cos θ$ （ラジアン）．
積分：べき関数・三角関数・指数関数の原始関数，定積分は端点の差．
三角関数：加法定理と2倍角，小角近似 $\sin θ \approx θ$ ．
二次関数と内積：距離の2乗の平方完成から最接近の時刻を求める．

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この章では，運動の「様子」を書き表しただけで，なぜそう動くのかは問いませんでした．電車で押される感覚，落ちる石の加速度が $g$ で一定になる理由，円運動で中心を向く加速度のもとは何か．次の第4章では，これらの原因を力として扱い，運動の法則を学びます．