第13章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

$L = m {\dot{x}}^{2} / 2 + b \dot{x} - k x^{2} / 2$ ， $m, k > 0$ を考えます． $b$ は運動量の次元を持つ定数です．

$b \dot{x}$ が運動を変えない理由を作用から説明し，運動方程式を求めてください．
一般化運動量 $p$ とハミルトニアン $H (x, p)$ を求め，正準方程式が (1) と同じ運動を与えることを確かめてください．

**［図：二次の位置エネルギーの中の粒子］**
横軸xに粒子と原点を置き，その上にU=kx²/2のグラフを描く．力や運動の解は描かない．

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考え方 全微分は端点の値だけを作用に加える．ハミルトン形式では，速度を $p$ で表してからエネルギーを書き直す．

$b \dot{x} = d (b x) / d t$ なので，作用の増加は $b (x_{2} - x_{1})$ ．両端固定の変分では変わらない．方程式も $d (m \dot{x} + b) / d t = - k x$ から $m \ddot{x} = - k x$ となる．
$p = m \dot{x} + b$ ， $\dot{x} = (p - b) / m$ ．よって

H = p \dot{x} - L = \frac{(p - b)^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} k x^{2}

正準方程式は $\dot{x} = (p - b) / m$ ， $\dot{p} = - k x$ ．最初の式を微分すると $m \ddot{x} = \dot{p} = - k x$ ．

確かめ： $H$ の等しい曲線は $(x, p)$ 平面で $(0, b)$ を中心とする楕円になる．粒子が静止する条件は $p = b$ であり， $p = 0$ とは限らない．運動そのものと，状態を表す運動量の表示を区別できる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

空間を動く3粒子の質量を $m_{a}$ ，位置を $r_{a}$ ， $a = 1, 2, 3$ とします．外からの影響はなく，位置エネルギーは

U = \frac{κ}{2} ({| r_{1} - r_{2} |}^{2} + {| r_{2} - r_{3} |}^{2} + {| r_{3} - r_{1} |}^{2})

です． $κ > 0$ は定数です．

$L$ を書き，各粒子の方程式を導いてください．
全運動量と全角運動量の保存を，対称性と方程式の両方から示してください．各粒子の角運動量も保存しますか．

**［図：三粒子の相対位置］**
異なる質量の3粒子を三角形の頂点に置き，3組の相対位置を破線で結ぶ．固定された外部の支点は描かない．

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考え方 運動エネルギーを足し， $U$ を位置で偏微分する．各対の寄与をまとめると，全体の保存が見える．

$L = \sum_{a} m_{a} {\dot{r}}_{a}^{2} / 2 - U$ ．粒子1では

m_{1} {\ddot{r}}_{1} = - κ (r_{1} - r_{2}) - κ (r_{1} - r_{3})

粒子2，3も添字を入れ替えた式になる．右辺は $U$ から定義された力である．

$U$ は系全体の平行移動でも回転でも変わらない．したがって $P = \sum_{a} m_{a} {\dot{r}}_{a}$ ， $M = \sum_{a} r_{a} \times m_{a} {\dot{r}}_{a}$ が保存する．方程式を足すと各対の力が打ち消し合い， $\dot{P} = 0$ ．角運動量の時間微分では，各対の寄与は

(r_{a} - r_{b}) \times [- κ (r_{a} - r_{b})] = 0

となる．各粒子だけでは力は一般に原点を向かず，角運動量は保存しない．

確かめ：質量が異なっても，力の対の打ち消しは変わらない．時間の一様性から $E = \sum_{a} m_{a} v_{a}^{2} / 2 + U$ も保存するが，個々の粒子のエネルギーは交換される．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

自由な質量 $m$ の粒子が，慣性系Aで2つの出来事の間を等速で動き， $Δ x = 9.0 m$ ， $Δ t = 5.0 \times 10^{- 8} s$ でした．慣性系BはAに対して右へ $0.80 c$ で動きます． $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とします．

両系での粒子の速度と，経路に沿う固有時を求めてください．
両系で $L Δ t$ を計算して作用を比べ，運動量とエネルギーも求めてください．作用が不変でも，エネルギーや運動量が同じ値にならない理由を説明してください．

**［図：自由粒子の二つの出来事］**
x，ctの図に出発と到着を置き，自由粒子の直線の経路と光の破線を描く．両系の計算結果は書かない．

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考え方 相対論の作用は $- m c^{2} Δ τ$ ．まず同じ端点をローレンツ変換し，両系での時間差を使う．

Aで $v = 0.60 c$ ， $γ_{v} = 5 / 4$ ， $Δ τ = 4.0 \times 10^{- 8} s$ ．Bでは

Δ x^{'} = \frac{5}{3} (9.0 - 12) = - 5.0 m, Δ t^{'} = \frac{5}{3} (5.0 - 2.4) \times 10^{- 8} = \frac{13}{3} \times 10^{- 8} s

よって $v^{'} = - 5 c / 13$ ， $γ_{v^{'}} = 13 / 12$ ， $Δ τ^{'} = Δ t^{'} / γ_{v^{'}} = 4.0 \times 10^{- 8} s$ ．

Aで $L = - 4 m c^{2} / 5$ ，Bで $L^{'} = - 12 m c^{2} / 13$ ．それぞれの時間差を掛けると，どちらも $S = - m c^{2} (4.0 \times 10^{- 8} s)$ ．一方，Aでは $E = 5 m c^{2} / 4$ ， $p = 3 m c / 4$ ，Bでは $E^{'} = 13 m c^{2} / 12$ ， $p^{'} = - 5 m c / 12$ ．速度が系によって違うので， $E$ と $p$ も違う．

確かめ：どちらも $E^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}$ ．作用とこの組み合わせは不変である．「その系で運動中に保存する量」と「慣性系を変えても同じ量」は別の性質である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

水平面内の直線の管を，一端Oのまわりに一定の角速度 $Ω$ で回します．質量 $m$ のビーズが管内をなめらかに動き，Oからの距離を $r > 0$ とします．外場の位置エネルギーは $U = k r^{2} / 2$ ， $k > 0$ です．

$L$ ，運動方程式，保存する $E = p_{r} \dot{r} - L$ を求めてください．
$k / m > Ω^{2}$ の場合の半径方向の振動数を求めてください．管の端に達する前の運動だけを考えます． $K + U$ は保存しますか．その時間変化を求めてください．

**［図：回転する直線管内のビーズ］**
水平面を上から見て，Oを一端とする回転管，ビーズ，距離rと回転方向Ωを示す．力や半径方向の運動の解は描かない．

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考え方 ビーズの速度には管に沿う成分と回転する成分がある．管の回転は既知であり，自由度は1である．

$K = m ({\dot{r}}^{2} + Ω^{2} r^{2}) / 2$ ， $L = m {\dot{r}}^{2} / 2 - (k - m Ω^{2}) r^{2} / 2$ ．よって $m \ddot{r} = - (k - m Ω^{2}) r$ ， $E = m {\dot{r}}^{2} / 2 + (k - m Ω^{2}) r^{2} / 2$ が保存する．
方程式の角振動数は $ω = \sqrt{k / m - Ω^{2}}$ ．ただし片側の管なので，正の $r$ にある区間だけに解を適用する． $K + U = E + m Ω^{2} r^{2}$ だから

\frac{d}{d t} (K + U) = 2 m Ω^{2} r \dot{r}

で，一般には保存しない．これは回転を一定に保つ装置からビーズへ移る仕事率である．

確かめ：慣性系での角運動量は $M_{z} = m Ω r^{2}$ ．管が加えるトルクは ${\dot{M}}_{z} = 2 m Ω r \dot{r}$ ，その仕事率 $Ω {\dot{M}}_{z}$ は上式と一致する． $Ω = 0$ なら $E = K + U$ に戻る．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ の粒子が，慣性系Aで右へ $0.60 c$ で動き，前後に進む2個の光子へ崩壊します．外からの影響はありません．粒子自身の時計で出発から崩壊までの時間が $τ_{0}$ だったとします．

Aでの崩壊までの時間と移動距離を求めてください．
Aで前向き，後ろ向きに出る光子のエネルギーを求めてください．元の粒子の静止系では両光子のエネルギーは同じなのに，Aでは違う理由を保存則から説明してください．

**［図：運動中の粒子から出る二つの光子］**
右へ動く粒子Mと，崩壊地点から左右へ出る2個の光子を描く．光子のエネルギーの値は示さない．

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考え方 時計の時間は固有時である．崩壊の前後では，Aにおける全エネルギーと符号付きの全運動量を保存させる．

$γ = 5 / 4$ なので $t_{0} = 5 τ_{0} / 4$ ，移動距離は $x_{0} = (0.60 c) t_{0} = 3 c τ_{0} / 4$ ．
前向きを $ϵ_{+}$ ，後ろ向きを $ϵ_{-}$ とすると

ϵ_{+} + ϵ_{-} = \frac{5}{4} M c^{2}, \frac{ϵ_{+} - ϵ_{-}}{c} = \frac{3}{4} M c

よって $ϵ_{+} = M c^{2}$ ， $ϵ_{-} = M c^{2} / 4$ ．元の粒子の静止系では全運動量が0なので，同じ大きさ・逆向きの光子が出て，それぞれ $M c^{2} / 2$ ．Aでは初めから右向きの運動量があるため，前向きの光子のエネルギーが大きくなければならない．

確かめ：両光子のエネルギー比は4．どちらもAで速さは $c$ であり，エネルギーの違いは光速の違いではない． $ϵ_{+} + ϵ_{-}$ には，静止エネルギーと初めの運動エネルギー $M c^{2} / 4$ の両方が数えられている．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

1次元の外場が一定の速度 $u$ で動き，粒子のラグランジアンが $L = m {\dot{x}}^{2} / 2 - f (x - u t)$ です． $f$ はなめらかな任意の関数です．

$p = m \dot{x}$ ， $E = m {\dot{x}}^{2} / 2 + f (x - u t)$ の時間変化を求め， $E - u p$ が保存することを示してください．
$y = x - u t$ に書き直し，全微分を取り除いた $L_{0}$ から求めるエネルギーとの関係を示してください．
$f (y) = k y^{2} / 2$ ， $x (0) = \dot{x} (0) = 0$ の運動を求めてください．

**［図：一定の速度で動く外場］**
x軸上を右へ速度uで動く位置エネルギーの谷と，粒子を描く．谷の中心utから測る相対位置yを示す．

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考え方 時間をずらすだけでも，場所をずらすだけでも場は変わる．同じ速度で場と一緒に動く座標を使うと，時間の一様性が現れる．

方程式から $\dot{p} = - f^{'} (x - u t)$ ．また $\dot{E} = - u f^{'} (x - u t) = u \dot{p}$ なので， $E - u p$ は保存する．
$\dot{x} = \dot{y} + u$ を入れると $L = m {\dot{y}}^{2} / 2 - f (y) + m u \dot{y} + m u^{2} / 2$ ．最後の2項は $\frac{d}{d t} (m u y + m u^{2} t / 2)$ ．これを除いた $L_{0} = m {\dot{y}}^{2} / 2 - f (y)$ のエネルギーは $E_{0} = m {\dot{y}}^{2} / 2 + f (y)$ であり， $E - u p = E_{0} - m u^{2} / 2$ ．
$ω = \sqrt{k / m}$ とすると $\ddot{y} = - ω^{2} y$ ．初期条件は $y (0) = 0$ ， $\dot{y} (0) = - u$ なので， $y = - (u / ω) \sin ω t$ ， $x = u t - (u / ω) \sin ω t$ ．

確かめ： $E_{0} = m u^{2} / 2$ で一定だが，Aに相当する元の系では $E$ と $p$ は変わる． $x (0) = \dot{x} (0) = 0$ を満たし，保存する組み合わせ $E - u p$ は0である．