第13章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

外から影響を受けない2粒子の位置エネルギーは，位置だけの関数です．全体の平行移動・回転で不変で，さらに $U (λ r_{1}, λ r_{2}) = λ^{- 2} U (r_{1}, r_{2})$ ， $λ > 0$ を満たすとします．粒子が重なる配置は除きます．

$U$ の形と，各粒子に働く力を求めてください．
$G = \sum_{a = 1}^{2} r_{a} \cdot p_{a}$ とすると $\dot{G} = 2 E$ となることを示し，新しい保存量を求めてください．
$r_{a} \to λ r_{a}$ ， $t \to λ^{2} t$ で作用が不変になることを確かめ，(2) と同じ尺度変換の性質が見えることを説明してください．

**［図：二粒子の配置の尺度変換］**
2粒子の配置と，原点から両位置を同じ倍率λで拡大した配置を並べる．距離rとλrだけを示す．

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考え方 平行移動で相対位置だけに，回転でその大きさだけに依存が絞られる．尺度の条件は，残った1変数の関数を決める．

$r = | r_{1} - r_{2} |$ とすると $U = U (r)$ ． $U (λ r) = λ^{- 2} U (r)$ より $U = A / r^{2}$ ．定数 $A$ の値や符号は対称性だけでは決まらない．力は $F_{1} = 2 A (r_{1} - r_{2}) / r^{4}$ ， $F_{2} = - F_{1}$ ． $A > 0$ なら反発， $A < 0$ なら引力である．
尺度の条件を $λ = 1$ で微分すると $\sum_{a} r_{a} \cdot \partial U / \partial r_{a} = - 2 U$ ．方程式から

\dot{G} = \sum_{a} (v_{a} \cdot p_{a} + r_{a} \cdot {\dot{p}}_{a}) = 2 K + 2 U = 2 E

時間の一様性から $E$ は一定なので， $D = G - 2 E t$ が保存する．

速度は $λ^{- 1}$ 倍， $K, U$ はともに $λ^{- 2}$ 倍， $d t$ は $λ^{2}$ 倍となる．したがって $S = \int (K - U) d t$ は不変．時間も変換するので，本体の節の座標だけのネーターの定理へ直接代入せず，(2) で保存量を確かめた．

確かめ： $G$ と $E t$ の次元はともに作用． $λ$ による厳密な条件がなければ， $U$ は任意の距離の関数のままである．また $A < 0$ で衝突に至る場合は， $r > 0$ の区間に結果を限る．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

線密度 $ρ$ の伸びない柔らかい鎖を，鉛直面内の2点 $(- d, h)$ ， $(d, h)$ に掛けます．長さは $ℓ > 2 d$ ，高さ $y$ は上向きです．鎖は $y (x)$ のグラフとなり，位置エネルギーが最小の形をとります． $y^{'} = d y / d x$ とします．

長さの拘束を定数 $λ$ で組み込んだ積分

I = \int_{- d}^{d} (ρ g y + λ) \sqrt{1 + y^{' 2}} d x

を停留させます．被積分関数を $f$ とし， $f - y^{'} \partial f / \partial y^{'}$ が一定であることを導いてください．

対称な解が $y = b + a \cosh (x / a)$ ， $a > 0$ となることを示し， $a, b$ を決める式を書いてください．ここで $\cosh z = (e^{z} + e^{- z}) / 2$ ， $\sinh z = (e^{z} - e^{- z}) / 2$ です．

**［図：全長を固定した鎖の試行曲線］**
同じ高さの2支点と，間に垂れる鎖の任意の試行曲線を描く．水平距離2d，高さh，全長ℓを示す．懸垂線の式や最下点の高さは描かない．

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考え方 時刻の一様性でエネルギーが保存したのと同じ計算を，積分変数 $x$ に使う． $λ$ は張力を先に仮定するためではなく，全長を固定するための定数である．

$f$ は $x$ を直接含まないので， $d f / d x = \partial f / \partial y y^{'} + \partial f / \partial y^{'} y^{″}$ ．オイラー＝ラグランジュ方程式 $\partial f / \partial y = \frac{d}{d x} \partial f / \partial y^{'}$ を入れると $\frac{d}{d x} (f - y^{'} \partial f / \partial y^{'}) = 0$ ．したがって

\frac{ρ g y + λ}{\sqrt{1 + y^{' 2}}} = C

である．

$b = - λ / (ρ g)$ ， $a = C / (ρ g)$ とおく．垂れた鎖では $a > 0$ を選び， $y - b = a \sqrt{1 + y^{' 2}}$ ．これを微分すると， $y^{'} \neq 0$ の所で $y^{″} = (y - b) / a^{2}$ ．最下点でも連続性から成り立つ．左右対称で $y^{'} (0) = 0$ ，元の式で $y (0) - b = a$ だから $y = b + a \cosh (x / a)$ ．全長と端点から

ℓ = \int_{- d}^{d} \cosh (x / a) d x = 2 a \sinh (d / a), b = h - a \cosh (d / a)

を得る．最下点の高さは $b + a$ である．

確かめ： $d / a = z > 0$ とおくと $ℓ / (2 d) = \sinh z / z$ ．この関数は1から単調に増えるので， $ℓ > 2 d$ に対して $a$ が1つ決まる． $ρ$ と $g$ は形の式から消え，鎖の形は端点と全長で決まる．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

鉛直面内のなめらかな曲線を，小球がAで静止した状態から滑り降ります．Aを原点， $y$ を鉛直下向きにとり，Bは $(π a, 2 a)$ ， $a > 0$ です．位置エネルギーは $U = - m g y$ ．曲線はA以外で $y > 0$ ，右向きに進み，Bまでに高さの折り返しはないものとします．

降下時間が $T = \int_{0}^{π a} \sqrt{(1 + y^{' 2}) / (2 g y)} d x$ になることを示し，停留条件の第1積分を求めてください．
$y = a (1 - \cos ϕ)$ とおき，停留曲線を $x, y$ の媒介変数表示で求めてください．その降下時間を求め，AとBを結ぶ直線での時間と比べてください．
$a = 0.50 m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ として2つの時間を計算してください．

**［図：二点の間を降りる試行曲線］**
下向きy軸と右向きx軸，AとBを置き，直線と任意の試行曲線を描く．求める停留曲線の形や降下時間は示さない．

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考え方 時間は弧長を速さで割った積分である．被積分関数が $x$ を含まないことを，演習2と同じように使う．

固定されたなめらかな拘束なので $E = K + U = 0$ が保存し， $v = \sqrt{2 g y}$ ． $d s = \sqrt{1 + y^{' 2}} d x$ より時間の式が出る． $f = \sqrt{(1 + y^{' 2}) / (2 g y)}$ に対し $f - y^{'} \partial f / \partial y^{'}$ は一定なので， $1 / \sqrt{2 g y (1 + y^{' 2})}$ が一定． $y (1 + y^{' 2}) = 2 A_{0}$ と書ける． $A_{0} > 0$ は未定の長さである．
いったん $y = A_{0} (1 - \cos ϕ)$ とおくと，降下する枝では $y^{'} = \cot (ϕ / 2)$ ．よって $d x / d ϕ = A_{0} (1 - \cos ϕ)$ ，積分して

x = A_{0} (ϕ - \sin ϕ), y = A_{0} (1 - \cos ϕ)

となる．Bまで高さの折り返しがないので $0 < ϕ_{B} \leq π$ ．端点の比 $x_{B} / y_{B} = π / 2$ を満たすのは $ϕ_{B} = π$ であり， $A_{0} = a$ となる．この曲線はサイクロイドの半分である． $d s = 2 a \sin (ϕ / 2) d ϕ$ ， $v = 2 \sqrt{g a} \sin (ϕ / 2)$ なので， $T_{c} = π \sqrt{a / g}$ ．

直線の長さは $s_{B} = a \sqrt{π^{2} + 4}$ ， $y = 2 a s / s_{B}$ ．したがって $T_{l} = \int_{0}^{s_{B}} d s / \sqrt{4 g a s / s_{B}} = \sqrt{π^{2} + 4} \sqrt{a / g}$ ．停留曲線のほうが短時間で降りる．

$T_{c} \approx 0.71 s$ ， $T_{l} \approx 0.84 s$ ．

確かめ：Aの近くでは $x \approx a ϕ^{3} / 6$ ， $y \approx a ϕ^{2} / 2$ で，曲線はほぼ鉛直に降りて速さを得る．Aで $v = 0$ でも時間積分は有限になる．ここで示したのは停留曲線の導出と直線との比較であり，任意の試行曲線との大域的な最小性の証明は含めていない．

演習 4

オリジナル ★★★★★

長さ $l$ の軽い棒の先に質量 $m$ の小球をつけ，支点を鉛直に $y_{s} = a \cos Ω t$ と振動させます． $y$ は上向きで，棒が鉛直上向きとなす角を $θ$ とし，小球の位置を $(l \sin θ, y_{s} + l \cos θ)$ とします．摩擦はありません．

$L$ と $θ$ の方程式を求めてください．
$a / l$ は1よりずっと小さく，支点の振動は小球のゆっくりした運動よりずっと速いとします． $θ = Θ + ξ$ と分け，1周期の間は $Θ$ を一定とみなします．速い小さな振動 $ξ$ を求め， $\cos^{2} Ω t$ の平均が $1 / 2$ であることを使って $Θ$ の平均の方程式を導いてください．
倒立位置 $Θ = 0$ が安定になる条件と，小さな振動の角振動数を求めてください． $a = 0.020 m$ ， $l = 0.50 m$ ， $Ω = 200 s^{- 1}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ で条件と近似の妥当性を確かめてください．

**［図：支点を鉛直に振動させる倒立振り子］**
鉛直に振動する支点から上へ伸びる棒と小球，長さl，上向き鉛直からのθ，支点の振幅aを示す．安定条件や平均位置は書かない．

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考え方 重力と見かけの力のつり合いを仮定せず，慣性系での位置から $L$ を作る．速い振動と遅い運動の積に，平均して消えない項がある．

$U = m g (y_{s} + l \cos θ)$ なので

L = \frac{m}{2} (l^{2} {\dot{θ}}^{2} - 2 l {\dot{y}}_{s} \dot{θ} \sin θ + {\dot{y}}_{s}^{2}) - m g (y_{s} + l \cos θ)

方程式は $l \ddot{θ} = (g + {\ddot{y}}_{s}) \sin θ$ ，すなわち $\ddot{θ} = (g - a Ω^{2} \cos Ω t) \sin θ / l$ ．

速い項を取り出すと $\ddot{ξ} \approx - (a Ω^{2} / l) \sin Θ \cos Ω t$ ．平均0の周期解は $ξ \approx (a / l) \sin Θ \cos Ω t$ ． $\sin (Θ + ξ) \approx \sin Θ + ξ \cos Θ$ を元の式に入れ，周期平均をとると

\ddot{Θ} \approx \frac{g}{l} \sin Θ - \frac{a^{2} Ω^{2}}{2 l^{2}} \sin Θ \cos Θ

となる． $ξ$ 自体の平均は0だが， $ξ \cos Ω t$ の平均は0ではない．

小さな $Θ$ では $\ddot{Θ} \approx [g / l - a^{2} Ω^{2} / (2 l^{2})] Θ$ ．したがって $a^{2} Ω^{2} > 2 g l$ のとき安定で， $ω_{slow} = \sqrt{a^{2} Ω^{2} / (2 l^{2}) - g / l}$ ．数値では $a^{2} Ω^{2} = 16 m^{2} s^{- 2}$ ， $2 g l = 9.8 m^{2} s^{- 2}$ なので条件を満たし， $ω_{slow} = \sqrt{12.4} \approx 3.5 s^{- 1}$ ． $a / l = 0.040$ ， $Ω / ω_{slow} \approx 57$ ， $g / (l Ω^{2}) = 4.9 \times 10^{- 4}$ で，小振幅・速い支点という近似と整合する．

確かめ：平均の方程式は $U_{eff} = m g l \cos Θ + m a^{2} Ω^{2} \sin^{2} Θ / 4$ からも得られる．その倒立位置の曲率が正になる条件も同じである．摩擦がないので，安定とは小さなずれが振動することであり，倒立位置へ自然に落ち着くという意味ではない．境目では高次の項が必要になる．

演習 5

オリジナル ★★★★★

質量 $m$ の粒子が，静止した同じ質量 $m$ の標的に衝突し，質量 $m$ の粒子3個を作る反応を考えます．内部の量子数による制限は考えず，エネルギーと運動量の保存だけで可能になる最小の入射エネルギーを求めます．入射粒子の全エネルギーを $E$ ，運動量を $p > 0$ とします．

粒子の $E = m c^{2} d t / d τ$ ， $p_{x} = m d x / d τ$ とローレンツ変換を使い， $E^{'} = γ_{V} (E - V p_{x})$ ， $p_{x}^{'} = γ_{V} (p_{x} - V E / c^{2})$ を導いてください．全エネルギー・全運動量にも同じ変換が成り立つことを確かめてください．
$W^{2} = E_{tot}^{2} - P^{2} c^{2}$ が不変であることを示し，生成に必要な最小の $E$ と入射運動エネルギーを求めてください．
しきい値での3粒子の速度を標的の系で求めてください．同じ質量の2粒子を逆向きに同じ速さで衝突させる方式では，必要な運動エネルギーの合計はいくらですか．

**［図：固定標的と逆向きの二ビーム］**
上に静止標的へ入射する粒子と反応後の3粒子，下に逆向きの2本の入射ビームを描く．生成粒子の速度としきい値の数値は描かない．

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考え方 標的の系では，初めの運動量を生成粒子が運び続けなければならない．全運動量が0になる系で，生成に使えるエネルギーを評価する．

固有時は不変なので， $d t^{'} / d τ = γ_{V} (d t / d τ - V d x / d τ / c^{2})$ ， $d x^{'} / d τ = γ_{V} (d x / d τ - V d t / d τ)$ ．それぞれ $m c^{2}, m$ を掛けると求める変換になる．変換が1次式なので，粒子ごとに足した $E_{tot}, P$ にも同じ式が成り立つ．
変換式を2乗して引くと，混合項が消え， $E_{tot}^{' 2} - P^{' 2} c^{2} = E_{tot}^{2} - P^{2} c^{2}$ ． $V = P c^{2} / E_{tot}$ の系では $P^{'} = 0$ ，全エネルギーは $W$ ．生成した3粒子の各エネルギーは $m c^{2}$ 以上なので， $W \geq 3 m c^{2}$ が必要であり，3粒子すべてがこの系で静止すると等号となる．初めは $E_{tot} = E + m c^{2}$ ， $P = p$ ， $p^{2} c^{2} = E^{2} - m^{2} c^{4}$ より

W^{2} = (E + m c^{2})^{2} - (E^{2} - m^{2} c^{4}) = 2 m c^{2} (E + m c^{2})

$W = 3 m c^{2}$ から $E_{min} = 7 m c^{2} / 2$ ， $K_{min} = 5 m c^{2} / 2$ ．

しきい値の $p c = 3 \sqrt{5} m c^{2} / 2$ ， $E_{tot} = 9 m c^{2} / 2$ から，全運動量が0の系の速度は $V = \sqrt{5} c / 3$ ．3粒子はその系で静止しているため，標的の系では全員が同じ速度 $V$ で進む．逆向きの2ビームなら，全運動量は初めから0．各入射エネルギーを $3 m c^{2} / 2$ にすれば生成でき，運動エネルギーの合計は $2 (3 m c^{2} / 2 - m c^{2}) = m c^{2}$ ．

確かめ：固定標的では入射の $5 m c^{2} / 2$ のうち， $m c^{2}$ が新しい粒子の静止エネルギー， $3 m c^{2} / 2$ が生成粒子全体の運動エネルギーになる．実際に $γ_{V} = 3 / 2$ なので，生成後の全エネルギーは $3 γ_{V} m c^{2} = 9 m c^{2} / 2$ で一致する．