対称性から組み立てる力学（発展）

第13章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，力も運動方程式も使わずに，経験の事実と1つの原理から力学を組み立て直しました．出発点は，決定性，停留作用の原理，時間と空間の対称性の3つで，そこから慣性の法則，運動方程式，作用反作用の法則，保存則が定理として出てきました．対称性をガリレイ変換からローレンツ変換に替えると，同じ道筋で相対論の力学が出てきます．

出発点

出発点	内容
決定性（経験の事実）	状態（一般化座標と一般化速度）を決めると，その後の運動はただ1通りに決まる．だから運動の法則は2階の微分方程式
停留作用の原理（原理）	実際の経路では，両端を固定した小さな変化に対して作用 $S = \int L (q, \dot{q}, t) d t$ が停留する
時間と空間の対称性（経験の事実）	慣性系では空間が一様・等方で，時間が一様．相対性原理（ガリレイ，またはアインシュタイン）

公式

公式オイラー＝ラグランジュ方程式

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0

$L$ に定数を掛けても， $d F (q, t) / d t$ を足しても，運動は変わらない．

公式ラグランジアン

自由な粒子（ガリレイ）： $L = \frac{1}{2} m v^{2}$
閉じた系： $L = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2} - U (r_{1}, r_{2}, \dots)$
自由な粒子（相対論）： $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$

公式対称性と保存量

一般化運動量 $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ ．循環座標の $p_{i}$ は保存する．
ネーターの定理： $q_{i} \to q_{i} + ε η_{i}$ で $L$ が $ε d Λ / d t$ しか変わらなければ， $\sum_{i} p_{i} η_{i} - Λ$ が保存する．
時間の一様性 → エネルギー $E = \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - L$ ，空間の一様性 → 運動量，等方性 → 角運動量，ガリレイの相対性 → 重心の等速運動．

公式相対論

$γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ，時間の遅れ $Δ t = γ Δ τ$ ，間隔 $c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$ は不変．
ローレンツ変換： $x^{'} = γ (x - V t)$ ， $t^{'} = γ (t - V x / c^{2})$ ．速度の合成 $u^{'} = (u - V) / (1 - u V / c^{2})$ ．
$p = γ m v$ ， $E = γ m c^{2}$ ， $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ ．

各題材の問いへの答え

状態と運動の法則：位置だけでは未来は決まらず，位置と速度で決まる．加速度は位置と速度から決まるので新しい情報ではない．
停留作用の原理：光は，かかる時間が停留する道を通るので，反射の法則が出る．運動も，作用が停留する経路として選ばれる．
空間と時間の対称性：運動エネルギーが $v^{2}$ に比例するのは，空間と時間の一様性・等方性と，ガリレイの相対性原理のため． $v^{4}$ では，動く船の中と岸とで法則が変わってしまう．
相互作用と力：影響し合う粒子のラグランジアンは $\sum \frac{1}{2} m v^{2} - U$ ．作用と反作用が等しいのは，空間が一様だから．
対称性と保存則：エネルギー，運動量，角運動量が保存するのは，時間の一様性，空間の一様性，等方性のため．閉じた系の保存量は，重心の運動を含めて10個．
拘束のある運動を解く：拘束を満たす座標で $L$ を書けば，張力を知らずに振り子の運動が求まる．回る輪のビーズは， $ω^{2} > g / R$ で最下点を離れて $\cos θ_{0} = g / (R ω^{2})$ に落ち着く．
光の速さと時空：光の速さがどの慣性系でも同じなら，時間はどの系でも同じには進まない．動く時計は遅れ，慣性系の間はローレンツ変換でつながる．
相対論の力学：対称性をローレンツ変換に替えると，自由な粒子の作用は固有時に比例し， $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ．そこから $E = γ m c^{2}$ と光速の壁が出る．
全体像：法則のほとんどは枠組み（決定性・原理・対称性）から出る．物理の中身として残るのは相互作用の形．停留作用の原理は量子力学の経路積分で説明される．

この章で使った数学

2階の微分方程式と初期条件，オイラー法．
変分法：部分積分と基本補題．
多変数の関数の偏微分，勾配，合成関数の微分．
外積の3つの積の性質．
$(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ の近似．