何をどう測るか

この章は発展の章です．受験だけが目的なら飛ばして構いませんが，前提は第3章までなので，第3章の後ならどこで読んでも構いません．実験のレポートを書くとき，共通テストなどで実験の結果やグラフを読むときに役立ちます．章全体を通して，振り子の周期から重力加速度 $g$ を求める実験を例にします．周期の式 $T=2\pi \sqrt{l/g}$（$l$ は振り子の長さ）は第7章で導く式で，ここでは結果だけを使います．この章に出てくる測定値は，説明のために作った例の値です．

問い

長さ $80\mathrm{cm}$ ほどの糸に金属のおもりをつるして揺らし，ストップウォッチで1往復の時間（周期）を測ります．周期はおよそ $1.8\mathrm{s}$ ですが，ボタンを押すのは人なので，押すのが早すぎたり遅すぎたりして，1回だけの測定では $0.1\mathrm{s}$ ほどずれます．周期が $0.1\mathrm{s}$ ずれると，そこから計算する $g$ は 1 割ほどもずれてしまいます．同じ振り子と同じストップウォッチを使って，どう測れば，もっと信じられる値になるでしょうか．

考えてみる

まず思いつくのは，何回も測って平均することです．10回測って平均すれば，早すぎた回と遅すぎた回が打ち消し合って，1回よりは良くなりそうです．ただし，人の癖で毎回同じ向きにずれているなら，平均してもそのずれは残ります．

もう1つの考えは，ストップウォッチをもっと細かいものに替えることです．しかし，表示が $0.01\mathrm{s}$ まで出ても，ボタンを押す人の手が $0.1\mathrm{s}$ ほどずれるのなら，細かい表示は役に立ちません．表示の細かさと，値の確かさは別のものです．

大事なのは，ずれがどこから来るかを見きわめ，ずれの影響が小さくなるように測り方を組み立てることです．この節では，測る前に決めておくことを順に見ます．

測る量をはっきり決める

周期の式の $l$ は，糸の長さではなく，支点からおもりの中心（重心）までの長さです．糸を測っただけでは，おもりの半径の分だけ短くなります．メートル尺では支点からおもりの上端までの長さ $l^{\prime }$ を測り，おもりの直径 $D$ をノギスで測って，$l=l^{\prime }+D/2$ とします．

周期の式は，振れ角が小さいときの近似です．第7章で示すように，振れ角 ${\theta }_0$ で揺らすと周期はおよそ ${\theta }_0^2/16$ の割合（${\theta }_0$ はラジアン）だけ長くなり，${10}^{\circ }$ で約 0.19 %，${30}^{\circ }$ で約 1.7 % です．振れ角を $5^{\circ }$ ほどにそろえれば，この延びは 0.05 % ほどで済みます．ほかにも，支点がぐらつかない，おもりが円を描くように回らない，風が当たらない，といった測定条件をそろえます．何を測るのかを言葉で決めておかないと，どれだけ丁寧に測っても，違うものを測ってしまいます．

目盛りと分解能

測定器には，読み取れる細かさの限りがあります．メートル尺の最小目盛りは $1\mathrm{mm}$，ノギスは $0.05\mathrm{mm}$ です．デジタルの表示で区別できる最小の差を分解能といい，ストップウォッチなら $0.01\mathrm{s}$ です．

アナログの目盛りは，最小目盛りの ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ まで目分量で読むのがふつうです．$786.2\mathrm{mm}$ と読んだら，最後の $2$ は目分量の桁で，確かではないが意味のある数です．目盛りは真正面から読みます．斜めから見ると，目盛りと物の間のすき間のために読みがずれます（視差）．

測った値は，どれくらい確かかと組にして初めて意味を持ちます．「$786.2\mathrm{mm}$，ただし支点の位置の見きわめで $1\mathrm{mm}$ ほど違いうる」のように書きます．測った結果がどれだけ疑わしいかを表す数を不確かさといいます．不確かさを数で決める方法は次の題材で扱います．

実は，第1章「記号と単位の約束」の有効数字は，不確かさを大まかに伝える書き方です．$0.7989\mathrm{m}$ と書けば，「最後の桁の $9$ は数単位くらい違いうるが，その前の桁は確か」という意味になります．この章では，その「数単位くらい」を，はっきりした数にします．

まとめて測る

人がストップウォッチを押すと，押し始めと押し終わりのそれぞれで時刻が少しずれます．このずれは，1往復を測っても10往復を測っても，ほとんど同じ大きさです．そこで，10周期の時間 $t_{10}$ をまとめて測って $T=t_{10}/10$ とすれば，1周期あたりのずれは ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ になります．$0.1\mathrm{s}$ のずれは，周期にすると $0.01\mathrm{s}$ です．

いくらでも増やせばよいわけではありません．振り子は空気の抵抗で少しずつ振れ幅が小さくなり，何百周期も測ると振れ角の条件が変わります．周期を数え違えると，周期まるごと1つ分の大きなずれになります．測る時間も長くなります．10〜20周期ほどが手ごろです．

時刻を取る瞬間は，おもりが最下点を通るときにします．最下点ではおもりが最も速く動くので，目印を通過した瞬間がはっきりします．折り返し点ではおもりがほとんど止まって見えるので，どの瞬間に折り返したかが分かりにくくなります．最下点の真後ろに目印の線を置き，おもりが同じ向きに通過するたびに「0，1，2，…」と数えます．押し始めを「1」と数えると，1周期少なく数えてしまいます．

測定の計画と記録

測り始める前に，次のことを決めて，ノートに書いておきます．

1. 何を求めるか（ここでは $g$）と，そのために何を測るか（$l^{\prime }$，$D$，$t_{10}$）．

2. それぞれを何で測るか，最小目盛り・分解能はいくつか．

3. 何をそろえるか（振れ角，支点，時刻を取る位置）．

4. 何回繰り返すか．条件を変える測定（長さを変えるなど）をするか．

記録には，計算した結果だけでなく，読んだ値そのもの，単位，測定器，気づいたこと（「3回目は数え違えたかもしれない」など）を残します．あとでずれの原因を探すとき，手がかりは生の記録にしかありません．測り始めたら，すぐに $g$ を大まかに計算してみるのも大切です．$9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ から大きく外れていれば，周期の数え違いや長さの取り違えにすぐ気づけます．