測定と不確かさ（発展）

何をどう測るかの例題

著者：柚木芹香

前の節で，測る量を決め，目盛りの読み方とまとめて測る理由を見ました．この節には新しい数学は出てきません．振り子の実験の計画を，数で確かめていきます．使う測定値は，説明のために作った例の値です．

ポイント例題に入る前に

値は「読んだ値そのもの」と「どれくらい違いうるか」を組で考える．
足し算・引き算では，最後の桁の位置が最も粗いものに合わせる（第1章の有効数字の規則）．
ずれの大きさを比べるときは，ずれそのものより，値に対する割合（相対的なずれ）で比べると，何が効いているかが分かりやすい．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

振り子の長さを測る．鉛直に立てたメートル尺（最小目盛り $1 mm$ ）で，支点からおもりの上端までを $l^{'} = 786.2 mm$ と読んだ．おもりは金属の球で，直径をノギス（最小の読み $0.05 mm$ ）で測ると $D = 25.40 mm$ だった．

［図：上端の読みと球の直径］

メートル尺に沿ってつるした振り子の支点と上端の読み l′，中心の印を示す．別の図で同じ球をノギスの外側の測定面で挟み，直径 D を示す．長さの計算結果は示さない．

周期の式に入れる長さ $l$ を， $m$ を単位として，桁をそろえて求めよ．
$l^{'}$ の読み $786.2 mm$ のうち，目分量で読んだ桁はどれか．
おもりの半径を足し忘れて $l^{'}$ をそのまま $l$ として使うと， $g$ は何 % ずれるか． $g$ は $l$ に比例する（ $g = 4 π^{2} l / T^{2}$ ）．

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考え方 周期の式の $l$ は，支点からおもりの中心までである．足し算なので，粗いほうの最後の桁の位置にそろえる．

半径は $D / 2 = 12.70 mm$ ．

l = l^{'} + \frac{D}{2} = 786.2 + 12.70 = 798.90 mm

$l^{'}$ の最後の桁は $0.1 mm$ の位なので，そこにそろえて $l = 798.9 mm = 0.7989 m$ ．

最小目盛りは $1 mm$ なので， $786 mm$ までは目盛りで読み，最後の $0.2 mm$ が目分量の桁である．この桁は確かではないが， $786 mm$ と $787 mm$ の間のどのあたりかという情報を持っている．
使う長さが $12.70 mm$ 短くなるので，相対的なずれは

\frac{12.70}{798.9} = 0.0159

である． $g$ は $l$ に比例するので， $g$ も約 1.6 % 小さく出る．たとえば正しい値が $9.80 m s^{- 2}$ なら $9.64 m s^{- 2}$ になる．これは，何回測り直しても同じ向きに出るずれで，測る量の決め方の誤りから来る．確かめると，ノギスの読みのわずかなずれ（ $0.05 mm$ 程度）は $l$ の $10^{- 4}$ 以下で，半径の足し忘れに比べてずっと小さい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

周期がおよそ $1.8 s$ の振り子で，ストップウォッチの押し始めと押し終わりのずれを合わせて，1回の測定に $0.1 s$ ほどのずれがあるとする．このずれは，測る時間の長さによらないとする．

1周期，10周期，50周期をまとめて測るとき，1周期あたりのずれはそれぞれいくらか．
50周期を測るつもりで，実際には49周期で止めてしまったとする．10周期の測定から周期は $1.794 s$ と分かっていて，49周期の時間は $87.9 s$ だった．これを50で割ると周期はいくらになり，何秒ずれるか．
1. の数え違いに気づくには，どうすればよいか．10周期の測定の1周期あたりのずれ（(1) の値）を使って説明せよ．

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考え方 ずれ $δ$ が長さによらないなら， $n$ 周期で割ると $δ / n$ になる．一方，数え違いは周期1つ分という大きなずれになる．

$0.1 s$ ， $\frac{0.1}{10} = 0.01 s$ ， $\frac{0.1}{50} = 0.002 s$ ．
$\frac{87.9}{50} = 1.758 s$ ．正しい周期 $1.794 s$ より $0.036 s$ 短い．これは $\frac{T}{50}$ に当たり，(1) の $0.002 s$ の約 18 倍である．数え違いが1回でも起きると，まとめて測った利点は消えてしまう．
10周期の測定から，周期は $1.794 s$ で，1周期あたり $0.01 s$ ほどずれうる．したがって50周期の時間は $50 \times 1.794 = 89.7 s$ と予想でき，そのずれは $50 \times 0.01 = 0.5 s$ ほどである．49周期なら $49 \times 1.794 = 87.9 s$ ，51周期なら $51 \times 1.794 = 91.5 s$ で，予想から $1.8 s$ ほど外れる． $0.5 s$ より十分大きいので，数え違いだと分かる．1周期 → 10周期 → 50周期と段階を踏んで測れば，前の段階の結果で次の段階の数え違いを見つけられる．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

長さ $0.80 m$ ，周期 $1.794 s$ の振り子を，おもりの水平方向の振れ幅 $A = 0.070 m$ （振れ角は約 $5^{\circ}$ ）で揺らす．おもりの水平の位置は $x = A \cos ω t$ （ $ω = 2 π / T$ ）で表せる（第7章で示す）．これは，半径 $A$ ，角速度 $ω$ の等速円運動を真横から見た影の動きと同じである．目でおもりの位置を見きわめられるのは $2 mm$ ほどまでとする．

［図：円運動の影で見る最下点と折り返し点］

半径 A の円周上の点を水平軸に投影すると，影は中央で速く，両端でゆっくり動く．初期位相は45°．再生または位相の操作で動きを確かめられる．周期は例題の1.794 s．

最下点を通るときのおもりの速さを求めよ．目印から $2 mm$ の範囲を通り過ぎるのにかかる時間はどれだけか．
折り返し点の近くでは，おもりは大きさ $A ω^{2}$ の加速度で，等加速度運動をしているとみなせる．おもりが折り返し点から $2 mm$ 以内にいる時間は，折り返しの前後それぞれどれだけか．
時刻を取る瞬間として，最下点と折り返し点のどちらがよいか．

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考え方 影の速度は，円運動の速度の水平成分である．中央では円運動の速度がちょうど水平を向くので，影の速さは最大の $A ω$ になる．端では影が止まり，円運動の加速度 $A ω^{2}$ （第3章）がちょうど水平を向く．

$ω = \frac{2 π}{1.794} = 3.50 rad s^{- 1}$ ．最下点での速さは

A ω = 0.070 \times 3.50 = 0.245 m s^{- 1}

$2 mm$ を通るのにかかる時間は $\frac{0.002}{0.245} = 0.0082 s$ ，およそ $0.008 s$ である．

加速度の大きさは $A ω^{2} = 0.070 \times {3.50}^{2} = 0.858 m s^{- 2}$ ．折り返し点で速度が0の等加速度運動なので，折り返しから時間 $t$ で進む距離は $\frac{1}{2} A ω^{2} t^{2}$ である．これが $2 mm$ になる時間は

t = \sqrt{\frac{2 \times 0.002}{0.858}} = 0.068 s

折り返しの前後それぞれ約 $0.07 s$ ，合わせて $0.14 s$ ほどの間，おもりは折り返し点から $2 mm$ 以内にいて，止まっているように見える．

最下点のほうがよい．目で見きわめられる時刻の幅は，最下点では約 $0.008 s$ ，折り返し点では約 $0.07 s$ で，8倍ほど違う．確かめとして， $0.068 s$ の間に円周上の点が回る角は $ω t = 0.24 rad$ （約 $14^{\circ}$ ）と小さく，円運動の加速度の向きはほとんど水平のままである．したがって (2) で等加速度とみなしたのは妥当である．

ポイントここまでのまとめ

周期の式の $l$ は支点からおもりの中心まで．半径を足し忘れると，何回測っても $g$ は同じ向きに 1.6 % ずれる．
押すずれが測る時間の長さによらなければ， $n$ 周期まとめて測ると1周期あたり $1 / n$ になる．ただし数え違いは周期1つ分のずれになるので，1周期 → 10周期 → 50周期と段階を踏んで確かめる．
時刻は，おもりが速く動く最下点で取る．折り返し点では見きわめの幅が8倍ほど大きい．