測定と不確かさ（発展）

何をどう測るかの演習

著者：柚木芹香

測定器を選ぶ前に，測る量と測定の始め・終わりを決めましょう．以下の数値は練習のための架空の値です．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

端が欠けたものさしで，細い棒の長さを測ります．棒の左端の読みは $18.6 cm$ ，右端は $51.2 cm$ でした．最小目盛りは $1 mm$ です．

**［図：ものさしの途中で棒を測る］**
棒の両端をものさしの途中の目盛りに合わせる．読みは左18.6 cm，右51.2 cm．棒の長さは示していない．

棒の長さを求めよ．
ものさしの端に棒を合わせるより，この測り方がよい理由を述べよ．小数第2位までの cm を記録することに意味はあるか．

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考え方 長さは両端の位置の差であり，ものさしの端からの距離とは限らない．

$L = 51.2 - 18.6 = 32.6 cm = 0.326 m$ ．両方の読みの桁にそろえた．
欠けた端と目盛りの0が一致するとは限らないが，途中の目盛りを使えば端の欠けを避けられる．最小目盛りの $1 / 10$ は $0.1 mm = 0.01 cm$ なので，真正面から目分量で読めるなら小数第2位にも意味がある．ただし今回の記録にはその桁がなく，計算の後から0を足して読みの情報を増やすことはできない．確かめとして，ものさし全体の読みが同じだけずれても差は変わらない．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

毎秒250枚を等間隔に撮る動画で，台車の先端が線Aを通るのが120枚目，線Bを通るのが195枚目でした．両線の間隔は $0.600 m$ です．時刻は各画像を撮った瞬間とします．

**［図：動画で読む線の通過］**
台車の同じ先端が線Aを通る画像と線Bを通る画像を示す．線の間隔は0.600 m．

通過にかかった時間と，区間の平均の速さを求めよ．
195枚目の判定を196枚目に変えたとき，時間はどれだけ変わるか．250枚毎秒という表示だけから，通過時刻が必ず正確だといえるか．

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考え方 画像の枚数そのものではなく，画像間の時間間隔の個数を数える．

間隔は $195 - 120 = 75$ 個なので， $t = 75 / 250 = 0.300 s$ ， $\bar{v} = 0.600 / 0.300 = 2.00 m s^{- 1}$ ．
1画像間隔の $1 / 250 = 0.00400 s$ 長くなる．撮影の露光中に先端がぼけることや，線を斜めから見て位置がずれることがある．撮影間隔の正しさも確かめる必要がある．確かめとして，1画像の違いは75間隔の約1.3 % に当たり，表示の細かさだけではこの判定の違いは消せない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

滑らずに転がる車輪の外周の長さを $C = 0.480 m$ と測りました．車輪が一定の速さで12回転する時間は $9.60 s$ でした．時間の読みには，全体で $0.06 s$ 程度のずれがあり，回転数によらないとします．外周の測定のずれは無視します．

**［図：車輪の回転を数える印］**
車輪の周上の印と，その印を数える固定の目印を示す．外周はC．速さの答えは示していない．

車輪の並進の速さを求めよ．
1回転だけ測る場合と12回転の場合で，時間の相対的なずれを比べよ．測定の始めと終わりに同じ印を同じ向きで合わせる理由も述べよ．

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考え方 滑らない車輪は1回転で外周分だけ進む．回転数を増やせば，測る距離も時間も同じ割合で増える．

道のりは $12 C = 5.760 m$ ，速さは $v = 12 C / t = 0.600 m s^{- 1}$ ．
1回転の時間は $9.60 / 12 = 0.800 s$ で，相対的なずれは $0.06 / 0.800 = 0.075$ ，つまり7.5 %．12回転では $0.06 / 9.60 = 0.00625$ ，つまり0.63 % ほどになる．同じ印・同じ向きを使うと，始めと終わりの間が整数回転と定まる．ただし車輪が滑れば $12 C$ が道のりにならず，時間だけ丁寧に測っても直せない．確かめとして， $C / t$ の単位は速さの単位になる．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

小球を静かに放し，高さ $h$ から落ちる時間を手動の時計で測る計画です．空気抵抗を無視すると $h = g t^{2} / 2$ で， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とします．手動の時間のずれは全体で $0.08 s$ 程度です．

**［図：落下の始めと終わり］**
小球の落下距離hと，放す瞬間から床に達するまでを測る時計を示す．

$h = 0.30 m$ と $1.20 m$ の落下時間を見積もり，時間の相対的なずれを比べよ．
高さを4倍にすれば相対的なずれは4分の1になる，という意見は正しいか．安全な高さの範囲で，測り方の改善を1つ提案せよ．

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考え方 落下時間は高さではなく高さの平方根に比例する．短い時間を手動で測ることの限界を考える．

$t = \sqrt{2 h / g}$ より，それぞれ $0.247 s$ ， $0.495 s$ ．相対的なずれは $0.08 / 0.247 \approx 0.32$ と $0.08 / 0.495 \approx 0.16$ で，約32 % と16 % である．
時間は2倍にしかならないので，相対的なずれは半分である．例えば，放す瞬間と基準線を通過する瞬間を動画で判定すれば，手動の反応を避けられる．同じ小球を用い，高さは小球の同じ点の移動距離として決める．確かめとして， $h \to 0$ で時間が短くなり，一定の時間のずれの割合が大きくなるのは自然である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

壁から $L = 17.0 m$ 離れた位置で短い音を出し，同じ位置で直接音と反射音を録音します．音は壁まで行って戻り，往復距離は $2 L$ です．音速を $c = 340 m s^{- 1}$ として計画を立てます．手動の時間判定のずれは $0.05 s$ ，録音の波形による判定のずれは $0.001 s$ 程度とします．

**［図：壁から戻る音を録音する］**
壁までの距離Lと，音源から壁まで行きマイクに戻る音の往復経路を示す．

直接音と反射音の間隔を予測し，2つの測り方の相対的なずれを比べよ．
反射音の山がいくつも現れたとき，最も大きい山を選ぶだけではいけない理由と，確認のための測定を提案せよ．

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考え方 音が通る道を決めてから，その道に対応する2つの時刻を選ぶ．音の強さだけでは道は決まらない．

$τ = 2 L / c = 34.0 / 340 = 0.100 s$ ．手動では $0.05 / 0.100 = 0.50$ ，つまり50 %，録音では $0.001 / 0.100 = 0.010$ ，つまり1 % 程度になる．
天井や別の壁からの音が重なると，大きい山が目的の壁の反射とは限らない．壁までの距離を変えて録音し，選んだ山の遅れが $2 L / c$ に従って変わるか調べる．音源とマイクは互いに近く置き，配置と波形を保存する．確かめとして，距離を $3.4 m$ 増やすと遅れは $0.020 s$ 増えると予測できる．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

斜面上の台車について，時刻 $t$ の位置が $x = v_{0} t + α t^{2} / 2$ で表せるとします． $α$ は一定の加速度です．動画で $t_{1} = 0.200 s$ ， $t_{2} = 0.600 s$ の位置を読み，その区間の平均速度を求める計画です．

**［図：動画で読む斜面上の二つの位置］**
固定カメラから斜面の台車を撮る．同じ先端の位置を時刻t₁とt₂で読む．

この平均速度は，どの時刻の瞬間速度に等しいか．
$v_{0} = 1.00 m s^{- 1}$ ， $α = 1.00 m s^{- 2}$ で値を確かめよ．区間を短くする利点と，位置の読みのずれが一定なら生じる不利を述べよ．

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考え方 位置の式の差を時間差で割り， $t_{2}^{2} - t_{1}^{2} = (t_{2} - t_{1}) (t_{2} + t_{1})$ を使う．

$\bar{v} = v_{0} + α (t_{1} + t_{2}) / 2$ ．瞬間速度は $v (t) = v_{0} + α t$ なので，時間の中点 $0.400 s$ に等しい．位置の中点とは限らない．
$x_{1} = 0.220 m$ ， $x_{2} = 0.780 m$ より， $\bar{v} = 0.560 / 0.400 = 1.40 m s^{- 1} = v (0.400)$ ．区間を短くすると，加速度が一定でない運動でも中点の速度に近づく．一方，同程度の位置のずれをより短い時間で割るため，速度のずれは大きくなる．カメラを固定し，目盛りを台車と同じ面に置く．確かめとして， $α = 0$ では区間の選び方によらず $v_{0}$ に戻る．

ポイント教える人へ

「測定の始めと終わりは，何がどこに来た瞬間か」を言葉で答えてもらってください．細かい表示の器械を選ぶだけで安心していないか，条件の一定性と測る量の定義を確かめます．演習6では，時間の中点と位置の中点を区別できれば，平均速度の理解も確かめられます．