ばらつきと偏り

問い

前の題材の振り子（$l=0.7989\mathrm{m}$）で，10周期の時間 $t_{10}$ を，同じ人が同じやり方で10回測りました．結果は次のとおりです（説明のために作った例の値です）．

同じものを同じように測ったのに，値は $17.86\mathrm{s}$ から $18.01\mathrm{s}$ まで散らばっています．どれが正しい値なのでしょうか．正しい値は，このどれかなのでしょうか．

考えてみる

10個の値のどれかを選ぶ理由はありません．どれも同じ手順で得た，同じ資格を持つ値です．そこで平均を取るのは自然ですが，2つの疑問が残ります．1つは，平均がどれだけ確かなのかです．10個の値の散らばりが $0.15\mathrm{s}$ ほどあるからといって，平均も $0.15\mathrm{s}$ ほど違いうるのでしょうか．もう1つは，10個すべてが同じ向きにずれていたら，平均してもそのずれは見えない，ということです．散らばりは表から見えますが，全体の偏りは表を見ても分かりません．この節では，この2つを分けて考えます．

誤差と不確かさ

測る量のほんとうの値を真の値といい，測定値と真の値の差を誤差といいます．ところが，真の値を知る方法はないので，誤差そのものも知ることができません．知ることができるのは，「測った結果がどれだけ疑わしいか」です．これを数で表したものが不確かさです．測定の結果は，値と不確かさの組で報告します．

計測の国際的な指針（GUM と呼ばれます）は，この区別を大切にしています．「誤差が $0.02$」とは言えませんが，「不確かさが $0.02$」とは言えます．

平均とばらつき

$N$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_N$ の平均を

とします．各値の平均からのずれ $x_i-\overline{x}$ を偏差といいます．偏差は正にも負にもなり，その和は必ず0なので，ばらつきの大きさは偏差の2乗を使って測ります．

$N$ ではなく $N-1$ で割る理由は，次の節で説明します．問いのデータでは ${\overline{t}}_{10}=17.940\mathrm{s}$，$s=0.052\mathrm{s}$ です（計算は次の節）．

測定を何回も繰り返すと，値のヒストグラムは，平均のところが高い釣り鐘の形に近づくことが多く，この形を正規分布といいます．正規分布では，平均から $\pm s$ の範囲に約 68 %，$\pm 2s$ の範囲に約 95 % の値が入ります．問いのデータでも，偏差が $\pm 0.052\mathrm{s}$ 以内の値は10個中6個，$\pm 0.104\mathrm{s}$ 以内は10個すべてです．

平均はどれだけ確かか

$s$ は1回の測定値の散らばりです．平均は，散らばった値を $N$ 個まとめたものなので，1回の値よりも散らばりにくくなります．10回の平均を取る実験を何度も繰り返したとすると，平均の値どうしの散らばりは $s$ よりずっと小さく，およそ $s/\sqrt{N}$ になります．理由は次の節で示します．

問いのデータでは $u({\overline{t}}_{10})={\displaystyle \frac{0.052}{\sqrt{10}}}=0.017\mathrm{s}$ です．10周期で割ると，周期は $T=1.7940\mathrm{s}$，標準不確かさは $u(T)=0.0017\mathrm{s}$ となります．問いへの答えは，「どれか1つが正しい値なのではなく，平均 $17.940\mathrm{s}$ が最も信じられる値で，その標準不確かさが $0.017\mathrm{s}$」です．

$\sqrt{N}$ で減るということは，不確かさを半分にするには回数を4倍に，${\displaystyle \frac{1}{10}}$ にするには100倍にしなければならないということです．回数を増やす効き目は，だんだん小さくなります．

偶然誤差と系統誤差

ストップウォッチを押すずれには，両方が混じっています．押す瞬間が毎回少しずつ違うのは偶然誤差です．一方，振り子が目印を通るのを見てから押し始めると反応の分だけ遅れ，止めるときは次の通過を予測して押せるのでほとんど遅れない，という癖があると，毎回 $t_{10}$ が短く出ます．これは系統誤差です．ほかにも，端がすり減ったものさしで端から測る，前の題材の例題のようにおもりの半径を足し忘れる，といったずれは，何回測っても同じように出ます．

系統誤差は，同じやり方を繰り返しても見えません．見つけるには，やり方を変えて測ります．別の人が測る，別の測定器を使う，測る周期の数を変える，などです．やり方を変えて結果が変わるなら，どこかに系統誤差があります．原因が分かったら補正し（半径を足す，ものさしの端を使わない），補正しきれない分は，その大きさを見積もって不確かさに含めます．