第15章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m$ の分子が $x y$ 平面を $v_{x} = u > 0, v_{y} = q$ で進み， $x$ 軸に垂直な壁に当たります．壁の一定速度は $- s$ （ $s > 0$ ）です．なめらかな弾性衝突として，衝突後の速度と運動エネルギーの増加を求めてください． $u = 300, q = 100, s = 20 m s^{- 1}$ では何 % 増しますか．

**［図：左へ動く壁への斜め入射］**
分子の入射速度のx成分はu，y成分はq．壁は左向きに速さsで動く．壁から見て垂直成分を反転し，平行成分は変えない．

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壁から見た $x$ 成分 $u + s$ を反転し，壁の速度を戻すと $v_{x}^{'} = - u - 2 s, v_{y}^{'} = q$ ．従って $Δ K = m [(u + 2 s)^{2} - u^{2}] / 2 = 2 m s (u + s)$ ．増加率は $4 s (u + s) / (u^{2} + q^{2}) = 0.256$ ，約26 % である．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m$ ，数密度 $n$ の分子が静止壁と弾性衝突する模型で， $v_{x} = \pm u$ の割合は各 $1 / 3$ ， $v_{x} = \pm 2 u$ は各 $1 / 6$ です． $u > 0$ として， $v_{x}$ の平均，分散，標準偏差と， $x$ 軸に垂直な壁の圧力を求めてください．

**［図：四つの速度成分の割合］**
vₓ=−u と u の割合はそれぞれ 1/3，vₓ=−2u と 2u の割合はそれぞれ 1/6 である．棒の高さは各速度成分の割合を表す．

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正負の割合が等しいので $⟨ v_{x} ⟩ = 0$ ． $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = (2 / 3) u^{2} + (1 / 3) (2 u)^{2} = 2 u^{2}$ より，分散は $2 u^{2}$ ，標準偏差は $\sqrt{2} u$ ．圧力は $p = n m ⟨ v_{x}^{2} ⟩ = 2 n m u^{2}$ である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

温度 $T$ ，体積 $V$ の容器に，質量 $m$ の分子Aが $N / 4$ 個，質量 $4 m$ の分子Bが $3 N / 4$ 個あります．両成分は熱平衡です．分圧，全圧，全分子を個数で平均した $⟨ v^{2} ⟩$ を求めてください．

**［図：同温度の軽い分子と重い分子の混合気体］**
容器内の A は質量 m，個数 N/4，B は質量 4m，個数 3N/4 で，個数比は 1：3 である．青い矢印は分子の速度を表す模式図である．

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$p_{A} = N k_{B} T / (4 V), p_{B} = 3 N k_{B} T / (4 V)$ ，全圧は $N k_{B} T / V = ν R T / V$ ．個数で重みをつけると $⟨ v^{2} ⟩ = (3 k_{B} T / m) (1 / 4 + 3 / 16) = 21 k_{B} T / (16 m)$ ．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

温度 $T$ ，全圧 $p$ の一様な混合気体は，質量 $m$ の分子Aと質量 $4 m$ の分子Bからなり，密度は $ρ = 7 m p / (3 k_{B} T)$ です．全数密度と各成分の個数の割合，分圧の比，質量の比を求めてください．同じ条件で $ρ = 5 m p / (k_{B} T)$ という測定結果はこの模型と両立しますか．

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$n = p / (k_{B} T)$ ．Bの個数の割合を $x$ とすると $ρ = n m [(1 - x) + 4 x] = n m (1 + 3 x)$ なので $x = 4 / 9$ ．Aは $5 / 9$ で，分圧比は $p_{A} : p_{B} = 5 : 4$ ，質量比は $5 m : 16 m = 5 : 16$ ．平均分子質量は $m$ から $4 m$ の間に限られるので， $ρ / n = 5 m$ という後者の結果は両立しない．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ ，数密度 $n$ ，速さ $v$ の分子ビームが，静止板の法線となす角 $θ$ で入射します． $1 / 3$ は吸収され，残りはなめらかな板で弾性反射します．再放出と分子間衝突は無視します．単位面積・単位時間の到達個数と圧力を求め， $m = 4.0 \times 10^{- 26} kg$ ， $n = 2.4 \times 10^{21} m^{- 3}$ ， $v = 600 m s^{- 1}$ ， $θ = 60^{\circ}$ で圧力を評価してください．

**［図：斜めビームの反射と吸収］**
法線と60度をなす平行な分子ビームの1/3は板に吸収され，2/3は弾性反射する．面積Sの板へ時間Δtに届く領域を緑で示し，壁に垂直な厚さ v cosθ Δt を記す．

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到達率は，垂直速度と数密度の積 $n v \cos θ$ ．力積は吸収で $m v \cos θ$ ，反射で2倍，平均は $(5 / 3) m v \cos θ$ ．従って $p_{beam} = (5 / 3) n m v^{2} \cos^{2} θ = 14.4 Pa \approx 14 Pa$ ． $n$ は一方向から来るビームの数密度である．

演習 6

オリジナル ★★☆☆☆

全体積 $2 V_{0}$ ，断面積 $A$ の鉛直な密閉シリンダーを，質量 $M_{p}$ の摩擦のないピストンで上下に分けます．各側に $ν$ モルを入れ，温度 $T_{0}$ を保ちます．初め中央に固定し，両側は $p_{0} = ν R T_{0} / V_{0}$ でした． $M_{p} g = p_{0} A$ です．

固定を外した後の平衡で，下側の体積を求めてください．
同じ初期状態で，最小体積 $V_{0} / 2$ のストッパーを下側に設け，質量 $M_{p}$ のおもりを載せて固定を外します．静止した終状態の両圧力と支持力を求めてください．

**［図：二つの気体に挟まれた重いピストン］**
密閉シリンダーに同じ物質量と温度の二つの気体を入れる．左は中央に固定した初期状態．右はおもりを載せ，下側の体積V₀/2のストッパーへ達した状態である．

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下側の体積を $y V_{0}$ とすれば，上側は $(2 - y) V_{0}$ ．つり合いは $p_{0} / y - p_{0} / (2 - y) = p_{0}$ なので $y^{2} - 4 y + 2 = 0$ ．許される根は $y = 2 - \sqrt{2}$ ，従って体積は $(2 - \sqrt{2}) V_{0}$ である．
接触前のつり合いは圧力差 $2 p_{0}$ を要求し，根は $y = (3 - \sqrt{5}) / 2 \approx 0.382$ ．最小体積より小さいため接触する．終状態は $p_{L} = 2 p_{0}, p_{U} = 2 p_{0} / 3$ ．上向きの支持力は $F_{s} = 2 M_{p} g - (p_{L} - p_{U}) A = 2 p_{0} A / 3$ となる．

演習 7

オリジナル ★★★☆☆

全体積 $4 V_{0}$ の水平容器を，摩擦なく動く半透膜ピストンで左右各 $2 V_{0}$ に分け，温度 $T$ を保ちます．左にはAが $2 N_{0}$ 個，Bが $N_{0}$ 個，右にはAが $N_{0}$ 個，Bが $2 N_{0}$ 個あります．Aは膜を力積を与えず通り，Bは弾性反射します．初めの膜の力の向きと，平衡での左右の体積，Aの個数，全圧を求めてください．

**［図：A を通す可動膜で分けた容器の初期状態］**
左右の体積はともに 2V₀，温度は T である．左は A が 2N₀ 個，B が N₀ 個，右は A が N₀ 個，B が 2N₀ 個である．A は可動膜をそのまま通り，B は膜で弾性反射する．

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初めBの分圧は右が2倍なので，力は左向き．平衡では $N_{0} / V_{L} = 2 N_{0} / V_{R}$ ， $V_{L} + V_{R} = 4 V_{0}$ より $V_{L} = 4 V_{0} / 3, V_{R} = 8 V_{0} / 3$ ．Aの数密度も左右で等しくなり，総数 $3 N_{0}$ を体積比1：2に分けるので，左 $N_{0}$ 個，右 $2 N_{0}$ 個．全圧は両側とも $3 N_{0} k_{B} T / (2 V_{0})$ になる．通過するAは膜の力に寄与しない．

演習 8

東京大 2015 前期（改題） ★★★☆☆

底が開いた断面積 $A$ ，質量 $M_{c}$ の薄い筒を，口を下にして水面に浮かべます．上部に気体を閉じ込め，筒の天井は水面より $H$ 高く，内側の水面は外より $h$ 低い状態です．筒壁の厚さ，気体の質量，水の蒸発は無視します．水の密度は $ρ$ ，外気圧は $p_{0}$ です．

浮いた状態の $h$ と気体の圧力を求めてください．
等温で筒を引き上げ，水位差を $h / 2$ にします．天井の高さ $H_{1}$ と手の上向きの力を求めてください．開口部は水中に保ちます．

**［図：逆さの筒の引き上げと水位差］**
逆さの筒に気体を閉じ込め，開口は水中に保つ．浮いた状態の内側水面は外よりh低い．筒を等温で引き上げると気体が膨張し，水位差がh/2になる．

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水圧から $p = p_{0} + ρ g h$ ．天井の上下の圧力差による力と重力がつり合うので $ρ g h A = M_{c} g$ ，従って $h = M_{c} / (ρ A)$ ， $p = p_{0} + M_{c} g / A$ ．
等温で分子数一定なので $(p_{0} + ρ g h) (H + h) = (p_{0} + ρ g h / 2) (H_{1} + h / 2)$ ．よって

H_{1} = \frac{p_{0} + ρ g h}{p_{0} + ρ g h / 2} (H + h) - \frac{h}{2} .

支持力は $F = M_{c} g - ρ g (h / 2) A = M_{c} g / 2$ ．

演習 9

東京大 2006 前期（改題） ★★★☆☆

数密度 $n$ ，分子質量 $m$ ，温度 $T$ の希薄な気体に，面積 $A$ の板を $x$ 軸に垂直に固定します．6つの軸方向に速さ $u$ の分子が同数ずつ進み，吸着した分子は同じ個数だけ垂直に再放出されます．表面温度 $T_{s}$ の再放出速度は $u \sqrt{T_{s} / T}$ とし，吸着中の個数は無視します．

気体の圧力を $p$ として $u$ と，片面への毎秒の到達個数を求めてください．
両面を $4 T, T$ に保つときの力を求め， $p = 0.80 Pa, A = 2.0 \times 10^{- 2} m^{2}$ で評価してください．

**［図：吸着と表面温度による再放出速度］**
同じ気体が板の左右へ速さuで入射する．温度4Tの面からは2u，温度Tの面からはuで垂直に再放出する模型．板は熱い面から冷たい面へ力を受ける．

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$⟨ v_{x}^{2} ⟩ = u^{2} / 3$ だから $p = n m u^{2} / 3 = n k_{B} T$ ，従って $u = \sqrt{3 k_{B} T / m}$ ．片面への割合は $1 / 6$ なので，到達個数は $n A u / 6$ 毎秒である．
各面の圧力は $p_{s} = (n m u^{2} / 6) (1 + \sqrt{T_{s} / T}) = (p / 2) (1 + \sqrt{T_{s} / T})$ ．熱い面は $3 p / 2$ ，冷たい面は $p$ なので，力は熱い面から冷たい面へ $F = p A / 2 = 8.0 \times 10^{- 3} N$ ．与えた模型内の答えである．