第15章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

質量 $m$ の分子の2本のビームが右へ進み，速さと数密度は $(u, n)$ ， $(3 u, n / 4)$ です．右の壁は速さ $0 < v_{p} < u$ で右へ動き，壁から見て弾性反射します．ビームは絶えず供給され，分子間力，分子の体積，再入射を無視します．

単位面積・単位時間の衝突数 $Φ$ と，単位面積あたりの力 $P$ を求めてください．
壁へ渡る単位面積あたりの仕事率 $J$ を最大にする $v_{p}$ ，そのときの速い分子の到達割合と平均入射エネルギーを求めてください．

**［図：二本のビームと右へ動く壁］**
速さuと3uのビームは数密度nとn/4をもつ．右向きに速さvₚで動く壁へ届く数は，相対速度u−vₚと3u−vₚで決まる．

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考え方 届く数も力積も相対速度から数える．

速さ $v$ ，数密度 $n_{i}$ なら到達数は $n_{i} (v - v_{p})$ ，反射後の速度は $2 v_{p} - v$ ．力積は $2 m (v - v_{p})$ なので

Φ = \frac{n}{4} (7 u - 5 v_{p}), P = 2 n m [(u - v_{p})^{2} + \frac{(3 u - v_{p})^{2}}{4}] .

1個が失うエネルギーは $2 m v_{p} (v - v_{p})$ より $J = v_{p} P$ ． $q = v_{p} / u$ とすると $J = n m u^{3} (13 q - 14 q^{2} + 5 q^{3}) / 2$ ．微分は $n m u^{3} (15 q - 13) (q - 1) / 2$ で， $q = 13 / 15$ の前で正，後で負だから最大は $v_{p} = 13 u / 15$ ．遅い・速いビームの到達数は $2 n u / 15$ ， $8 n u / 15$ より速い割合は $4 / 5$ ．平均は $(1 / 5) m u^{2} / 2 + (4 / 5) m (3 u)^{2} / 2 = 37 m u^{2} / 10$ ．空間内の個数比ではなく，到達数で重みを付ける．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

体積 $V$ の容器に，質量 $m$ の分子Aが $3 N_{0}$ 個，質量 $4 m$ の分子Bが $N_{0}$ 個あります．分子の体積と分子間力を無視し，面積 $S$ の小孔から真空へ流出します．容器内は一様で温度 $T$ は一定．平均の速さをAで $2 c$ ，Bで $c$ ，成分 $i$ の毎秒の流出数を $S n_{i} ⟨ v_{i} ⟩ / 4$ とする模型を与えます．

各個数 $N_{1} (t), N_{2} (t)$ と全圧を求めてください．
Bの個数割合が $2 / 3$ になる時刻 $t_{*}$ ，初圧に対する圧力の比，そこまでの流出分子のAの割合を求めてください．
$t_{*}$ で個数による平均 $⟨ v^{2} ⟩$ を求め，質量密度 $ρ$ を用いた $p = ρ ⟨ v^{2} ⟩ / 3$ が使えるか確かめてください．

**［図：混合気体の小孔からの流出］**
温度Tを一定に保った体積Vの容器に，Aが3N₀個，BがN₀個入っている．平均の速さはAで2c，Bでcと与えられ，面積Sの小孔から真空へ流出する．分子の図は初期個数比3対1を表す．

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考え方 成分ごとに流出を追う．

$λ = S c / (4 V)$ とすると $\frac{d N_{1}}{d t} = - 2 λ N_{1}$ ， $\frac{d N_{2}}{d t} = - λ N_{2}$ ．よって $N_{1} = 3 N_{0} e^{- 2 λ t}$ ， $N_{2} = N_{0} e^{- λ t}$ ， $p = N_{0} k_{B} T (3 e^{- 2 λ t} + e^{- λ t}) / V$ ．
$N_{1} / N_{2} = 1 / 2$ より $t_{*} = (\ln 6) / λ$ ．残る個数は $N_{0} / 12, N_{0} / 6$ だから圧力比は $1 / 16$ ．流出数は $35 N_{0} / 12, 10 N_{0} / 12$ よりAの割合は $7 / 9$ ．
同温度の希薄気体では $⟨ v_{A}^{2} ⟩ = 3 k_{B} T / m$ ， $⟨ v_{B}^{2} ⟩ = 3 k_{B} T / (4 m)$ ．個数割合 $1 / 3, 2 / 3$ で平均すると $⟨ v^{2} ⟩ = 3 k_{B} T / (2 m)$ ．一方 $ρ = 3 N_{0} m / (4 V)$ ， $p = N_{0} k_{B} T / (4 V)$ なので $3 p / ρ = k_{B} T / m$ ．指定の式は圧力を $3 / 2$ 倍に見積もる．正しくは $n_{i} m_{i} ⟨ v_{i}^{2} ⟩ / 3$ を足すか，質量で重み付けする．

演習 3

東京大 2004 前期（改題） ★★★★☆

真空中の水平な2つのシリンダーのピストンを剛い棒で連結します．断面積は左が $A$ ，右が $3 A$ ，連結体の質量は $M_{p}$ ．右向き変位 $x$ に対して気体の体積は $V_{1} = V_{0} + A x$ ， $V_{2} = 3 V_{0} - 3 A x$ です．各気体は物質量 $ν$ の希薄な理想気体で，初めは両方 $T_{0}$ ， $x = 0$ ．摩擦を無視します．

右は $T_{0}$ に保ち，左だけゆっくり温めます． $x_{s} = V_{0} / (5 A)$ のストッパーに達する左の温度を求め，左が $2 T_{0}$ となったときストッパーが連結体へ及ぼす力を求めてください．
ストッパーを外した場合の平衡位置と小振動の角振動数を求めてください．各温度は常に $2 T_{0}, T_{0}$ ，圧力は体積へ瞬時に応答する模型とします．

**［図：異なる断面積の連結ピストン］**
左面積A，右面積3Aのピストンが剛い棒で連結される．右向き変位xで左室は膨張，右室は圧縮される．ストッパーはxₛで右への運動を止める．

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考え方 両面の圧力による力をつり合わせる．

自由に動ける間は $p_{1} = 3 p_{2}$ ． $y = A x / V_{0}$ ， $θ = T_{1} / T_{0}$ とすると $θ / (1 + y) = 1 / (1 - y)$ だから $y = 1 / 5$ で $θ = 3 / 2$ ．その後は体積が固定される． $p_{*} = ν R T_{0} / V_{0}$ とおくと， $T_{1} = 2 T_{0}$ で $p_{1} = 5 p_{*} / 3$ ， $p_{2} = 5 p_{*} / 12$ ．気体の合力は右へ $A (p_{1} - 3 p_{2}) = 5 A p_{*} / 12$ なので，ストッパーの力は左へ同じ大きさ．
$2 / (1 + y) = 1 / (1 - y)$ より $x_{e} = V_{0} / (3 A)$ ．合力 $F = A ν R [2 T_{0} / V_{1} - 3 T_{0} / V_{2}]$ の傾きは $F^{'} (x_{e}) = - 27 A^{2} ν R T_{0} / (8 V_{0}^{2})$ ． $ξ = x - x_{e}$ とすれば $M_{p} \frac{d^{2} ξ}{d t^{2}} = F^{'} (x_{e}) ξ$ より $ω = \sqrt{27 A^{2} ν R T_{0} / (8 M_{p} V_{0}^{2})}$ ．

演習 4

オリジナル ★★★★★

物質量 $ν$ のファンデルワールス気体 $p = R T / (w - b) - a / w^{2}$ と既知の臨界定数 $w_{c} = 3 b$ ， $T_{c} = 8 a / (27 R b)$ ， $p_{c} = a / (27 b^{2})$ を使います．

$ϕ = w / w_{c}$ ， $θ = T / T_{c}$ ， $P = p / p_{c}$ により，気体の種類によらない式を導いてください．これを対応状態の法則と呼びます．
$θ = 3 / 2$ で $ϕ = 1$ から2までゆっくり膨張させます．気体が外へする仕事 $W = ν \int p d w$ を $ν p_{c} w_{c}$ で割って求め，同じ温度と両端の体積の理想気体と比べてください．

**［図：対応状態の等温線と仕事］**
θ=3/2のファンデルワールス等温線を実線，同じ温度の理想気体を破線で示す．φ=1から2の実線の下の面積はW/(νp꜀w꜀)である．

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代入すると $P = 8 θ / (3 ϕ - 1) - 3 / ϕ^{2}$ ， $a, b$ は消え，同じ $ϕ, θ$ なら同じ $P$ になる．
$d w = w_{c} d ϕ$ より

\frac{W}{ν p_{c} w_{c}} = \int_{1}^{2} (\frac{12}{3 ϕ - 1} - \frac{3}{ϕ^{2}}) d ϕ = 4 \ln \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \approx 2.17 .

理想気体は $P = 4 / ϕ$ なので仕事は $4 \ln 2 \approx 2.77$ ．比は約 $0.781$ ．この模型では約22 %小さくなる．

演習 5

オリジナル ★★★★★

物質量 $ν$ のファンデルワールス気体を鉛直ピストン（面積 $A$ ，質量 $M_{p}$ ）で閉じます． $p_{c} > M_{p} g / A$ とします．温度は振動中も $T = (1 + ϵ) T_{c}$ （ $ϵ > 0$ ）で一定．外圧 $p_{0}$ を調整し，平衡のモル体積を $3 b$ に保ちます．圧力は体積へ瞬時に応答し，気体は一様，摩擦と減衰は無視する模型です．

$p_{0} + M_{p} g / A$ と小振動の角振動数を求めてください．
$ϵ = 0$ の極限で，上向き変位 $x$ による先頭の復元力を求めてください． $s = A x / (3 ν b)$ とし， $(1 + s)^{- 2} = 1 - 2 s + 3 s^{2} - 4 s^{3} + \dots$ を使ってよいとします．角振動数が0なら，復元力も消えますか．

**［図：臨界温度付近の実在気体ピストン］**
鉛直ピストンの平衡体積は3νb．上向き変位xで体積がAx増す．温度を一定に保ち，圧力の傾きと高次の変化から復元力を調べる模型である．

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考え方 圧力の傾きが0なら次の次数を調べる．

$R T_{c} = 8 b p_{c}$ ， $a = 27 b^{2} p_{c}$ より平衡圧力は $p_{0} + M_{p} g / A = p_{c} (1 + 4 ϵ)$ ．また $\frac{\partial p}{\partial w} = - R T / (w - b)^{2} + 2 a / w^{3}$ は $w = 3 b$ で $- 2 p_{c} ϵ / b$ ．体積変化は $A x$ ，モル体積変化は $A x / ν$ だから $M_{p} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - 2 p_{c} ϵ A^{2} x / (ν b)$ ．したがって $ω = \sqrt{2 p_{c} ϵ A^{2} / (M_{p} ν b)}$ である．
演習4の式に $θ = 1, ϕ = 1 + s$ を入れ， $P = 4 / (1 + 3 s / 2) - 3 / (1 + s)^{2}$ を展開すると $P = 1 - 3 s^{3} / 2 + \dots$ ．合力は

F = A (p - p_{c}) \approx - \frac{p_{c} A^{4}}{18 ν^{3} b^{3}} x^{3} .

変位と逆向きの復元力は残り，単振動の線形近似が使えない．