第14章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

板の厚さについて，計算機の出力は $d = 0.0413723 m$ ，合成標準不確かさは $u_{c} (d) = 0.0008267 m$ でした．

不確かさを2桁に丸め，値の桁をそろえて報告せよ．括弧を使う形と，言葉で不確かさを明示する形の両方を書け．
$k = 2$ の拡張不確かさも報告せよ．「誤差は必ずこの範囲内である」といってよいか．

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考え方 値の最後の桁は，不確かさの最後の桁に合わせる．包含係数は，幅が何の幅かを伝える情報である．

$u_{c} = 0.00083 m$ ， $d = 0.04137 m$ ．括弧では $d = 0.04137 (83) m$ ．言葉では「厚さ $0.04137 m$ ，合成標準不確かさ $0.00083 m$ 」と書く．
丸め前から $U = 2 \times 0.0008267 = 0.0016534 m$ なので， $U = 0.0017 m$ （包含係数2）と報告する．これは必ず含む境界ではない．正規分布で近似できる場合の約95 % の範囲の目安であり，見落とした系統的な効果まで保証しない．確かめとして，括弧の83は $83 \times 10^{- 5} m$ を意味し，単位も桁も一致する．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

ばねの長さを， $12.01, 11.99, 12.03, 11.97, 12.00 cm$ と5回読みました．読みの偶然のずれは独立です．器械の読みには $+ 0.020 cm$ の加算の偏りがあると別に分かっており，この偏りの見積もりの標準不確かさは $0.005 cm$ です．

**［図：ばねの長さの生の記録］**
ばねの長さを測る装置と5回の読みを示す．補正後の平均は示していない．

読みの平均，標準偏差，平均のタイプAの標準不確かさを求めよ．
偏りを補正し，補正後の平均の合成標準不確かさを求めよ．測定回数を増やすだけでは消えない寄与は何か．

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考え方 読みの平均から偏りを引く．補正値は全5回で共通なので，その不確かさをさらに $\sqrt{5}$ で割らない．

$\bar{l} = 12.000 cm$ ．偏差の2乗の和は $0.0020 {cm}^{2}$ ， $s = \sqrt{0.0020 / 4} = 0.0224 cm$ ， $u (\bar{l}) = 0.0100 cm$ ．
補正後は $l = 12.000 - 0.020 = 11.980 cm$ ． $u_{c} (l) = \sqrt{{0.0100}^{2} + {0.005}^{2}} = 0.011 cm$ ，よって $l = 11.980 (11) cm$ ．補正値の寄与 $0.005 cm$ は，ばねの測定回数だけ増やしても消えない．確かめとして，正の偏りを引いたので，補正後の長さは読みより小さい．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

小球を静かに放す装置で，高さ $h = 1.200 m$ の落下時間を5回測りました． $u (h) = 0.002 m$ ，時間の記録は $0.494, 0.498, 0.496, 0.492, 0.500 s$ です．時間の独立な偶然のずれ以外は無視し，空気抵抗も無視します．

**［図：落下時間を自動計時する］**
小球を静かに放す装置と下のセンサー，球の移動距離hを示す．

時間の平均，標準偏差，平均の標準不確かさを求めよ．
$g = 2 h / {\bar{t}}^{2}$ とその合成標準不確かさを求めよ．一定の初速度が入る可能性を，繰り返しだけで否定できるか．

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考え方 5回のばらつきを平均の不確かさに変えてから， $g$ に伝える．静かに放すという条件も式の一部である．

$\bar{t} = 0.4960 s$ ，偏差の2乗の和は $4.00 \times 10^{- 5} s^{2}$ ． $s = 0.00316 s$ ， $u (\bar{t}) = 0.00141 s$ ．
$g = 2.400 / {0.4960}^{2} = 9.755 m s^{- 2}$ ， $u_{c} (g) = g \sqrt{(0.002 / 1.200)^{2} + (2 \times 0.001414 / 0.4960)^{2}} = 0.058 m s^{- 2}$ ． $g = 9.755 (58) m s^{- 2}$ と報告する．毎回同じ初速度が入れば，時間は同じ向きに変わるので，繰り返しだけでは否定できない．放し方や高さを変える測定が必要になる．確かめとして， $g$ の単位は距離を時間の2乗で割った単位である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

台車が静止から斜面を下る実験で，モデルとして斜面方向の加速度を $α = g h / L$ と仮定します． $L$ は斜面に沿った長さ， $h$ はその高さです．抵抗や回転の影響があればこのモデルから外れるので，ここではそれらを無視します．斜面上を距離 $s$ 進む時間は $s = α t^{2} / 2$ に従うとします．

**［図：斜面で測る量の区別］**
斜面の高さh，全長L，台車が計時中に進む距離sを区別して示す．

$g$ を $s, L, h, t$ で表せ． $s = 0.5000 m$ ， $L = 1.000 m$ ， $h = 0.1000 m$ ， $t = 1.010 s$ で値を求めよ．
独立な標準不確かさが順に $0.0010 m$ ， $0.002 m$ ， $0.0010 m$ ， $0.003 s$ であるとき， $g$ の不確かさを求めよ．最も大きい寄与はどれか．

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考え方 斜面の運動のモデルは問題で与えられている．その式を組み合わせ，指数を含む相対不確かさを足す．

$α = 2 s / t^{2}$ なので， $g = 2 s L / (h t^{2}) = 9.803 m s^{- 2}$ ．
相対寄与は順に $0.00200, 0.00200, 0.0100, 0.00594$ ． $u_{c} (g) = 9.803 \sqrt{{0.00200}^{2} + {0.00200}^{2} + {0.0100}^{2} + {0.00594}^{2}} = 0.12 m s^{- 2}$ ． $g = 9.80 (12) m s^{- 2}$ と報告する．高さの読みが最大の寄与で，斜面が低すぎるとその相対不確かさが大きくなる．確かめとして， $2 s L / (h t^{2})$ は $m s^{- 2}$ の次元を持つ．モデルの抵抗の無視を確かめるには，斜面の高さを変えて同じ $g$ が出るか調べる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

音源とマイクを同じ位置に置き，壁までの距離 $L$ を変えて反射音の遅れの読み $y$ を測りました．一定の計時のずれを $δ$ として， $y = δ + 2 L / c$ を仮定します．距離の不確かさは無視し，各時間の偶然のずれは独立で同じ大きさとします．

$L [m]$	5.00	10.00	15.00	20.00	25.00
$y [s]$	0.034	0.063	0.094	0.122	0.153

**［図：反射音の遅れの記録］**
上は壁までの距離Lと遅れyの5点，下は空の残差グラフ．当てはめた直線と残差は描いていない．

最小二乗直線を求め， $c$ ， $δ$ を求めよ．
残差， $s_{e}$ ， $u (b)$ から $c$ の標準不確かさを求めよ．残差だけで，時計の倍率が正しいことも確かめられるか．

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考え方 切片を自由にして一定の遅れを分ける．倍率のずれは直線の傾きに入るので，残差には現れないことがある．

$\bar{L} = 15.0 m$ ， $\bar{y} = 0.0932 s$ ， $S_{x x} = 250 m^{2}$ ，分子は $1.485 m s$ ． $b = 0.005940 s m^{- 1}$ ， $a = 0.004100 s$ ． $c = 2 / b = 336.7 m s^{- 1}$ ， $δ = a = 0.00410 s$ ．
残差は $0.0002, - 0.0005, 0.0008, - 0.0009, 0.0004 s$ ．2乗の和は $1.90 \times 10^{- 6} s^{2}$ ， $s_{e} = 0.000796 s$ ， $u (b) = 0.0000503 s m^{- 1}$ ． $u (c) = c u (b) / b = 2.9 m s^{- 1}$ で， $c = 336.7 (29) m s^{- 1}$ ．これは当てはめからの標準不確かさであり，時計の倍率は別の基準と比較する必要がある．確かめとして，残差の和と $\sum (L_{i} - \bar{L}) e_{i}$ は0になる．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

同じ動画と目盛りを使い，台車の2区間の平均の速さを比べます．距離の読みは $L_{1} = 0.400 m$ ， $L_{2} = 0.600 m$ ，時間は $t_{1} = t_{2} = 0.2000 s$ でした．距離の独立な読みの不確かさは無視しますが，両距離には同じ倍率のずれがあり，その相対標準不確かさは1 % です．各時間の標準不確かさは独立に $0.0010 s$ です．

**［図：二つの速さを同じ目盛りで比較する］**
台車の二つの測定区間L₁とL₂，それぞれの時間t₁とt₂を示す．両距離の目盛りは共通．速さの比は描いていない．

速さの比 $R = v_{2} / v_{1}$ とその標準不確かさを求めよ．
目盛りの倍率を調べ直さなくても，速さが変わったと判断できるか．これだけで加速度が一定ともいえるか．

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考え方 比を入力の読みの式に戻すと，共通の距離の倍率が消える．2つの速さの不確かさを独立として足さない．

$R = L_{2} t_{1} / (L_{1} t_{2}) = 1.500$ ． $L_{1}$ ， $L_{2}$ の両方に $(1 + ε)$ を掛けても比は変わらない．したがって $u (R) = R \sqrt{(0.0010 / 0.2000)^{2} + (0.0010 / 0.2000)^{2}} = 0.011$ ． $R = 1.500 (11)$ と報告する．
比と1との差 $0.500$ は $2 u (R) \approx 0.021$ より十分大きいので，この測定モデルの範囲では速さが変わったと判断できる．ただし2区間の平均の速さだけでは，一定加速度かどうかは決まらない．時刻と位置をさらに記録してモデルを確かめる必要がある．確かめとして， $R$ は無次元で，距離を cm に換算しても同じ値である．