第14章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

ばねにつるす質量 $m$ を変え，振動の周期 $T$ を測って，ばね定数 $k$ を求めます．ばね定数は「ばねの伸び1 mあたりの力」で，単位は $N m^{- 1} = kg s^{- 2}$ です．ここでは第7章で導く周期の式を拡張したモデル $T^{2} = 4 π^{2} (m + m_{0}) / k$ を与えます． $m_{0}$ は，ばね自身や取付具の動きをまとめた一定の有効質量で，未知です．

**［図：ばねの周期を質量で変える］**
ばね，取付具，交換する質量mを示す．下は与えられたmとT²の5点で，直線は描いていない．

$m [kg]$	0.100	0.200	0.300	0.400	0.500
$T^{2} [s^{2}]$	0.240	0.440	0.646	0.840	1.046

測る量，そろえる条件，記録すべき生の値を挙げよ．
横軸の不確かさを無視し，各 $T^{2}$ の独立な偶然のずれが同じ大きさとして直線を当てはめ， $k$ ， $m_{0}$ ，当てはめからの $u (k)$ を求めよ． $m_{0}$ の不確かさは求めなくてよい．
時計の全測定に共通する倍率の相対標準不確かさが0.2 % と分かった．これを含む $k$ の合成標準不確かさを求めよ．切片を0と決めつけると何が起こるか．

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考え方 周期の2乗と質量を直線にし，傾きから $k$ ，切片と傾きの比から $m_{0}$ を出す．時計の倍率は繰り返しのばらつきとは別に残る．

おもりの質量と，例えば10振動分の時間 $t_{10}$ を測り， $T = t_{10} / 10$ にする．支点・取付具・振れ幅の条件をそろえ，ばねが伸び切らない範囲を使う．質量，時間の各読み，回数，振れ幅，器械の分解能を残す．同じ向きの通過を数え，質量を戻したときにも周期が再現するか調べる．
$\bar{m} = 0.300 kg$ ， $\bar{y} = 0.6424 s^{2}$ ， $S_{x x} = 0.100 {kg}^{2}$ ，分子 $0.2012 kg s^{2}$ ． $b = 2.012 s^{2} {kg}^{- 1}$ ， $a = 0.0388 s^{2}$ ． $k = 4 π^{2} / b = 19.621 N m^{- 1}$ ， $m_{0} = a / b = 0.0193 kg$ ．残差は $0, - 0.0012, 0.0036, - 0.0036, 0.0012 s^{2}$ ，2乗の和は $2.88 \times 10^{- 5} s^{4}$ ． $s_{e} = 0.00310 s^{2}$ ， $u (b) = 0.00980 s^{2} {kg}^{- 1}$ ， $u (k) = k u (b) / b = 0.096 N m^{- 1}$ ．
時間の倍率は $T^{2}$ に2倍効き， $k$ への相対寄与は0.4 %． $u_{c} (k) = \sqrt{{0.09555}^{2} + (19.621 \times 0.004)^{2}} = 0.12 N m^{- 1}$ ． $k = 19.62 (12) N m^{- 1}$ と報告する．原点を強制すると有効質量を傾きで説明するため， $k$ を小さく見積もる．確かめとして， $m_{0} \to 0$ なら切片が消え， $4 π^{2} / b$ の単位は $kg s^{- 2}$ になる．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

音の反射を使う装置で，壁までの距離 $L$ と，出力音から反射音までの時間の読み $y$ を測りました．音源とマイクは同じ位置にあります．一定の電子回路の遅れを $δ$ として，モデルは $y = δ + 2 L / c$ です．

$L [m]$	0.500	1.000	1.500	2.000	2.500
$y [s]$	0.00495	0.00784	0.01085	0.01374	0.01675

**［図：電子回路の遅れを含む反射音の計測］**
音源とマイク，壁までの距離L，往復する音の経路を示す．波形には出力と反射音の山だけを描く．

直線を当てはめ， $c$ ， $δ$ ，残差の標準偏差，当てはめからの $u (c)$ を求めよ．横軸の不確かさを無視し，縦軸の偶然のずれは独立で同じ大きさとする．
距離の共通の倍率の相対標準不確かさ0.3 % と，時計の共通の倍率の相対標準不確かさ0.2 % を加えて， $c$ を報告せよ．2つの倍率のずれと当てはめの偶然のずれは独立とする．
残差が小さいことだけで $δ$ が電子回路の遅れだと断定できるか．室温がゆっくり変わる場合の測定順序も提案せよ．

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考え方 一定の時間の効果は切片，長さと時間の倍率の効果は傾きに入る．原因の種類ごとに不確かさを分ける．

$\bar{L} = 1.500 m$ ， $\bar{y} = 0.010826 s$ ， $S_{x x} = 2.500 m^{2}$ ，分子 $0.014750 m s$ ． $b = 0.005900 s m^{- 1}$ ， $a = 0.001976 s$ ． $c = 2 / b = 338.983 m s^{- 1}$ ， $δ = 1.976 ms$ ．残差は $24, - 36, 24, - 36, 24 μ s$ ， $s_{e} = 37.95 μ s$ ， $u (b) = 24.0 μ s m^{- 1}$ ． $u (c) = c u (b) / b = 1.38 m s^{- 1}$ ．
$c$ は長さに比例し時間に反比例するので，相対寄与はそれぞれ0.3 % と0.2 %． $u_{c} (c) = c \sqrt{(0.0000240 / 0.005900)^{2} + {0.003}^{2} + {0.002}^{2}} = 1.8 m s^{- 1}$ ． $c = 339.0 (18) m s^{- 1}$ と報告する．
断定できない．距離の基準位置の一定のずれも切片に入る．電子回路の遅れは別の電気的な信号で調べ，距離の基準は音源・マイクの位置に合わせる．温度変化と距離が結び付かないよう，距離を小さい順だけに測らず，順を入れ替え，同じ中間距離を測定の途中に繰り返す．確かめとして，距離を $0.500 m$ 増やすと，遅れは傾きから $2.950 ms$ 増える．

演習 3

オリジナル ★★★★★

自由落下する球を動画で追い，下向きの位置 $h$ を読みます．撮影開始の位置と初速度は未知で，モデルは $h (t) = h_{0} + v_{0} t + g t^{2} / 2$ です．時刻の間隔は $Δ = 0.1000 s$ ，各位置の独立な標準不確かさは $σ = 0.0020 m$ とします．

$t [s]$	0.1000	0.2000	0.3000	0.4000	0.5000
$h [m]$	0.080	0.244	0.512	0.873	1.336

**［図：落下する球の五つの位置］**
等間隔の時刻で読む球の5位置を示す．時刻と位置は問題の生の記録だけで，差や加速度は示していない．

連続する3点から $g_{j} = (h_{j} - 2 h_{j + 1} + h_{j + 2}) / Δ^{2}$ を作ると， $h_{0}$ ， $v_{0}$ が消えることを示せ．3つの $g_{j}$ と，1つの $g_{j}$ の標準不確かさを求めよ．
$\bar{g} = (g_{1} + g_{2} + g_{3}) / 3$ を，元の5つの読みの1次式として書き直し，標準不確かさを求めよ．3つの $g_{j}$ を独立として計算してはいけない理由を説明せよ．
時計の全時刻に共通する倍率の相対標準不確かさが0.1 % ある．これを含めて $\bar{g}$ を報告せよ．位置の共通の加算のずれと倍率のずれのうち，消えるのはどちらか．測定の改善案も述べよ．

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考え方 隣り合う差は同じ画像の読みを共有する．新しい量の独立性を仮定せず，独立と分かっている元の読みへ戻して合成する．

定数項は $1 - 2 + 1 = 0$ ，時間の1次項も $t - 2 (t + Δ) + (t + 2 Δ) = 0$ ．2次項だけが $g Δ^{2}$ 残る．3つの値は $10.4, 9.3, 10.2 m s^{- 2}$ ．1つの値の不確かさは $u (g_{j}) = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} σ / Δ^{2} = 0.490 m s^{- 2}$ ．
足して整理すると $\bar{g} = (h_{1} - h_{2} - h_{4} + h_{5}) / (3 Δ^{2}) = 9.9667 m s^{- 2}$ ． $h_{3}$ は消える．独立な4つの読みの係数の2乗を足すので， $u (\bar{g}) = 2 σ / (3 Δ^{2}) = 0.1333 m s^{- 2}$ ． $0.490 / \sqrt{3} = 0.283 m s^{- 2}$ とは異なる．各 $g_{j}$ には同じ読みが異なる符号で入り，ずれが互いに関係するからである．
時計の相対寄与は $2 \times 0.001 = 0.002$ ． $u_{c} (\bar{g}) = \sqrt{{0.1333}^{2} + (9.9667 \times 0.002)^{2}} = 0.13 m s^{- 2}$ ．結果は $\bar{g} = 9.97 (13) m s^{- 2}$ ．位置の加算のずれは係数の和が0なので消えるが，位置の倍率は残る．改善には位置の読みを良くするか，等間隔を保って $Δ$ を広げる方法がある．ただし空気抵抗や画面外への落下が問題にならない範囲にする．確かめとして， $u (\bar{g}) \propto Δ^{- 2}$ で，間隔を2倍にできれば位置由来の寄与は4分の1になる．

演習 4

オリジナル ★★★★★

一定の速さの台車を2つの方法で測り， $y_{1} = 1.020 m s^{- 1}$ ， $y_{2} = 0.980 m s^{- 1}$ を得ました．独立な偶然のずれの標準不確かさは $u_{1} = 0.020 m s^{- 1}$ ， $u_{2} = 0.040 m s^{- 1}$ です．不確かさの違う読みをまとめる方法として，重みつき最小二乗法をここで導入します．候補の速さ $v$ に対し， $S (v) = \sum_{i = 1}^{2} (y_{i} - v)^{2} / u_{i}^{2}$ を最小にします．

**［図：異なる不確かさの二つの測定］**
二つの方法の読みと，独立な偶然のずれの標準不確かさの幅を示す．共通の補正値の不確かさはこの幅に含めていない．合成した答えは示していない．

$S$ を微分し，最小にする $v$ と，独立な偶然のずれからの標準不確かさを求めよ．単純な算術平均の標準不確かさと比べよ．
両方法には同じ補正値を使い，補正後にも共通の加算のずれ $β$ が残ります．その見積もりは0，標準不確かさは $u (β) = 0.030 m s^{- 1}$ です． $y_{i} = v_{true} + β + ε_{i}$ と書き， $β$ と各偶然のずれ $ε_{i}$ は独立とします．これを含む合成標準不確かさを求めよ．
各方法の測定回数を増やし， $u_{1}$ ， $u_{2}$ だけを十分小さくできたときの限界と，次に改善する測定を答えよ．

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考え方 不確かさの小さい読みを重く扱う．共通のずれは読みの差では見えず，重みを変えても打ち消せない．

$\frac{d S}{d v} = - 2 \sum (y_{i} - v) / u_{i}^{2} = 0$ より， $v = \sum y_{i} / u_{i}^{2} / \sum 1 / u_{i}^{2}$ ．重みは $w_{1} = 0.8$ ， $w_{2} = 0.2$ で， $v = 0.8 \times 1.020 + 0.2 \times 0.980 = 1.012 m s^{- 1}$ ． $\frac{d^{2} S}{d v^{2}} = 2 \sum 1 / u_{i}^{2} > 0$ なので最小である． $u (v) = \sqrt{w_{1}^{2} u_{1}^{2} + w_{2}^{2} u_{2}^{2}} = 1 / \sqrt{1 / u_{1}^{2} + 1 / u_{2}^{2}} = 0.0179 m s^{- 1}$ ．算術平均は $1.000 m s^{- 1}$ ，標準不確かさ $\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} / 2 = 0.0224 m s^{- 1}$ である．
$w_{1} y_{1} + w_{2} y_{2} = v_{true} + (w_{1} + w_{2}) β + w_{1} ε_{1} + w_{2} ε_{2}$ ． $w_{1} + w_{2} = 1$ なので， $β$ はそのまま残る． $u_{c} (v) = \sqrt{{0.017889}^{2} + {0.030}^{2}} = 0.035 m s^{- 1}$ ． $v = 1.012 (35) m s^{- 1}$ と報告する．
極限は $u_{c} (v) \to 0.030 m s^{- 1}$ ．共通の補正値を決める基準の測定を改善する．確かめとして，同じずれが2つに加わっても $y_{1} - y_{2}$ は変わらないので，2つの方法が一致することだけでは共通の偏りを否定できない．