測定と不確かさ（発展）

第14章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，振り子の周期から重力加速度を求める実験を通して，測る量を決め，測り方を計画し，繰り返してばらつきを数にし，計算した量の不確かさを出し，グラフでモデルを確かめるところまでを一続きで行いました．測った値は，どこまで信じてよいかを表す数と組にして初めて意味を持ちます．ここで定義と公式を一覧にし，各題材の最初の問いに短く答えます．

定義

定義誤差と不確かさ

測る量のほんとうの値を真の値，測定値と真の値の差を誤差という．真の値は知りえないので，誤差も知りえない．
測った結果がどれだけ疑わしいかを表す数を不確かさ，それを標準偏差の形で表したものを標準不確かさ $u (x)$ という．値に対する割合 $u (x) / | x |$ が相対標準不確かさである．
繰り返し測定の統計から求めるのがタイプAの評価，目盛り・分解能・仕様などそれ以外の情報から求めるのがタイプBの評価である．
測るたびに向きも大きさも変わるずれが偶然誤差，同じ条件ならいつも同じ向きに出るずれが系統誤差である．偶然誤差は平均で減るが，系統誤差は繰り返しても減らない．

定義測定器と記録

最小目盛り・分解能は読みの細かさの限りで，値の確かさとは別である．アナログの目盛りは最小目盛りの $\frac{1}{10}$ まで目分量で読み，視差に注意する．
有効数字は不確かさの大まかな表し方である．この章では，それを標準不確かさという数にした．

主な公式

平均 $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum x_{i}$ ，標準偏差 $s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{N - 1}}$ ，平均の標準不確かさ $u (\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{N}}$ ．
$\pm a$ に一様に散らばるずれ（表示の丸めなど）の標準不確かさは $a / \sqrt{3}$ ．
正規分布では，平均 $\pm s$ に約 68 %， $\pm 2 s$ に約 95 % の値が入る．拡張不確かさ $U = 2 u_{c}$ は約 95 % の範囲の目安．
1つの量から： $u (y) = | f^{'} (x) | u (x)$ ．べき $y = C x^{n}$ では相対不確かさが $| n |$ 倍．
独立な量から： $u_{c} (y)^{2} = \sum {(\frac{\partial f}{\partial x_{k}})}^{2} u (x_{k})^{2}$ ．和・差は $u$ の2乗の和，積・商・べき $y = C x_{1}^{p} x_{2}^{q}$ は ${(\frac{u_{c} (y)}{y})}^{2} = {(p \frac{u (x_{1})}{x_{1}})}^{2} + {(q \frac{u (x_{2})}{x_{2}})}^{2}$ ．
最小二乗法： $b = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ， $u (b) = \frac{s_{e}}{\sqrt{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}}$ ， $s_{e} = \sqrt{\frac{\sum e_{i}^{2}}{N - 2}}$ ．
振り子： $g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}$ ， ${(\frac{u_{c} (g)}{g})}^{2} = {(\frac{u (l)}{l})}^{2} + {(\frac{2 u (T)}{T})}^{2}$ ． $T^{2}$ と $l^{'}$ のグラフの傾きは $4 π^{2} / g$ ．

手順

ポイント測定から結論までの手順

求める量と，測る量を言葉で決める（振り子の $l$ は支点からおもりの中心まで，振れ角は小さく）．
測定器の最小目盛り・分解能を確かめ，何をそろえ，何回，何周期まとめて測るかを計画する．生の読みと条件を記録し，すぐに大まかな値を計算して大きな誤りを見つける．
繰り返した値から平均・標準偏差・平均の標準不確かさを出す（タイプA）．目盛りや仕様からの不確かさも見積もる（タイプB）．
測り方を変えて系統誤差を探し，分かったものは補正する．
計算した量の不確かさを，偏微分か相対不確かさの規則で合成し，内訳の表を作る．一番大きな寄与から減らす．
不確かさを1〜2桁にし，値をその桁にそろえて報告する．何の不確かさかを書き添える．
条件を変えて，直線になる軸でグラフを描き，当てはめた直線の残差に形が無いかを見る．

各題材の問いへの答え

何をどう測るか：10周期ほどをまとめて測り，時刻はおもりが速く動く最下点で取る．押すずれが1周期あたり $\frac{1}{10}$ になる．数え違いは，1周期 → 10周期 → 50周期と段階を踏んで確かめる．
ばらつきと偏り：どれか1つが正しい値なのではない．10個の平均 $17.940 s$ が最も信じられる値で，標準不確かさは $s / \sqrt{10} = 0.017 s$ ．ただし全部が同じ向きにずれる系統誤差は，平均では見えないので，やり方を変えて確かめる．
計算した量の不確かさ： $g = 9.800 m s^{- 2}$ ，合成標準不確かさ $0.022 m s^{- 2}$ ．周期は2乗で効くので，周期の寄与（0.184 %）が長さ（0.125 %）より大きく，周期を良くするのが先である．
グラフでモデルを確かめる：長さを変えて $T^{2}$ と $l^{'}$ のグラフが直線になり，残差に形が無いことを確かめる．傾きから $g = 9.801 m s^{- 2}$ （標準不確かさ $0.017 m s^{- 2}$ ），横軸との交点からおもりの半径が読める．同じ距離だけ引いて放すと残差が弓なりになり，大きな振れ角でモデルが合わないことが分かる．

この章で使った数学

平均と標準偏差，独立なずれの和の2乗の平均が足し算になること（交差項の平均が0），一様分布の2乗の平均を積分で出すこと，任意の指数での $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ （第2章の一次近似から），1次近似と偏微分，最小二乗法（偏微分を0とおく），常用対数と両対数グラフを使いました．どれも「小さなずれが，計算を通ってどう伝わるか」を数で追うための道具です．