測定と不確かさ（発展）

グラフでモデルを確かめる演習

著者：柚木芹香

グラフの傾きに，何の量がどの単位で現れるかを考えましょう．データはすべて架空で，最小二乗法を使う問題では横軸の不確かさを無視し，縦軸の偶然のずれは独立で同じ大きさとします．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

小球を静かに放し，落下時間 $t$ と落下距離 $h$ を測ります．空気抵抗を無視したモデルは $h = g t^{2} / 2$ です．

**［図：落下モデルを直線にする軸］**
落下する小球と，横軸t²，縦軸hの空のグラフを示す．測定点と直線は描いていない．

直線にするには何を横軸・縦軸にすればよいか．傾きの意味と単位を答えよ．
距離の読みに一定の加算のずれが入ると，直線のどこが変わるか．時間の始めのずれも同じように扱えるか．

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考え方 実際に器械が読む量をモデルの式に代入し，直線の傾き・切片に分ける．

横軸 $x = t^{2} [s^{2}]$ ，縦軸 $y = h [m]$ とすると， $y = b x$ ， $b = g / 2$ で単位は $m s^{- 2}$ ．
距離のずれ $d$ は $y = d + (g / 2) x$ の切片に入る．一方，読んだ時間が $t^{'} = t + δ$ なら， $h = g (t^{'} - δ)^{2} / 2$ となり， $t^{' 2}$ に対する切片だけでは表せない項が残る．確かめとして， $d = 0$ ， $δ = 0$ なら原点を通る直線に戻る．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

音源から距離 $x$ を変えてマイクを置き，到達時間の読み $y$ を得ました．音は等速で進み，器械には一定の時間のずれ $δ$ があるとして， $y = δ + x / c$ を仮定します．

$x [m]$	1.00	2.00	3.00	4.00	5.00
$y [s]$	0.010	0.012	0.016	0.018	0.022

**［図：距離を変えて測る音の到達時間］**
横軸xは音源からマイクまでの距離，縦軸yは時間の読み．問題の5点を示し，直線は描いていない．

最小二乗直線 $y = a + b x$ を求め， $c$ と $δ$ を求めよ．
原点を必ず通る直線を使うと問題になる理由を述べよ．

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考え方 傾きは音速ではなく音速の逆数である．器械の時間のずれもデータから決める．

$\bar{x} = 3.00 m$ ， $\bar{y} = 0.0156 s$ ， $S_{x x} = 10.0 m^{2}$ ， $\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 0.0300 m s$ ．したがって $b = 0.00300 s m^{- 1}$ ， $a = 0.00660 s$ ． $c = 1 / b = 333.3 m s^{- 1}$ ， $δ = a = 0.00660 s$ ．残差は順に $0.0004, - 0.0006, 0.0004, - 0.0006, 0.0004 s$ ．
原点を通すと一定の時間のずれを傾きで説明することになり，音速が変わってしまう．確かめとして，残差の和は0で， $1 / b$ の単位は速さである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

静止から等加速度で動く台車について，横軸を $x = t^{2}$ ，縦軸を位置の読み $y$ とします．モデルは $y = y_{0} + α t^{2} / 2$ で， $α$ が加速度です．

$x [s^{2}]$	0.00	1.00	2.00	3.00	4.00
$y [m]$	0.02	0.49	1.02	1.49	2.02

**［図：台車の位置と時刻の二乗］**
横軸t²と縦軸の位置の読みyの5点を示す．当てはめ直線と加速度は示していない．

$a$ ， $b$ ，残差の標準偏差 $s_{e}$ ，傾きの標準不確かさを求めよ．
加速度とその標準不確かさを報告せよ．

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考え方 直線の傾きは加速度の半分なので，傾きだけでなくその不確かさも2倍する．

$\bar{x} = 2.00 s^{2}$ ， $\bar{y} = 1.008 m$ ， $S_{x x} = 10.0 s^{4}$ ，分子は $5.00 m s^{2}$ ． $b = 0.500 m s^{- 2}$ ， $a = 0.008 m$ ．残差は $0.012, - 0.018, 0.012, - 0.018, 0.012 m$ で，2乗の和は $0.00108 m^{2}$ ． $s_{e} = \sqrt{0.00108 / 3} = 0.0190 m$ ， $u (b) = s_{e} / \sqrt{10.0} = 0.0060 m s^{- 2}$ ．
$α = 2 b = 1.000 m s^{- 2}$ ， $u (α) = 2 u (b) = 0.012 m s^{- 2}$ ．結果は $α = 1.000 (12) m s^{- 2}$ ．確かめとして，位置の一定のずれは $a$ に入り，ここで求めた加速度を変えない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

ある小球の落下について，時間 $t = 0.100, 0.200, 0.400 s$ に対する距離が $h = 0.0490, 0.196, 0.784 m$ でした． $h = K t^{n}$ の形を仮定します．

**［図：落下の両対数グラフ］**
時刻を1 s，距離を1 mで割った無次元の数の常用対数を軸にする．与えられた3点だけを描き，傾きは示していない．

両対数グラフの傾きから $n$ を求めよ．
$K$ を求め，その単位と $g$ との関係を答えよ．

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考え方 対数を取る量は，単位で割った無次元の数にする．比から傾きを計算すれば単位の選択は傾きに入らない．

時間が2倍になると距離は4倍なので， $n = \log_{10} 4 / \log_{10} 2 = 2$ ．両端でも $n = \log_{10} 16 / \log_{10} 4 = 2$ になる．
$K = h / t^{2} = 0.0490 / {0.100}^{2} = 4.90 m s^{- 2}$ ．静止からの自由落下なら $K = g / 2$ ，よって $g = 9.80 m s^{- 2}$ ．確かめとして，3点すべてで $h / t^{2}$ が同じである．ただし3点だけの一致から，任意の距離で空気抵抗がないことまでは証明できない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

水平に進む台車の位置を，次のように動画で読みました．各位置の標準不確かさは $0.010 m$ 程度です．等速モデル $y = a + b t$ を確かめたいと考えています．

$t [s]$	0.00	0.20	0.40	0.60	0.80
$y [m]$	0.00	0.40	0.80	1.08	1.32

**［図：位置の記録と空の残差グラフ］**
上は位置の5つの記録，下は残差を描くための空の枠．直線と残差の答えは示していない．

最小二乗直線と残差を求めよ．
残差の大きさを位置の不確かさと比べ，前半と後半の区間速度も使って，等速モデルを評価せよ．

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考え方 全体の傾きだけでは，途中から速度が変わることを見逃す．残差と局所的な区間速度を両方見る．

$\bar{t} = 0.40 s$ ， $\bar{y} = 0.720 m$ ， $S_{x x} = 0.400 s^{2}$ ，分子は $0.664 m s$ ． $b = 1.660 m s^{- 1}$ ， $a = 0.0560 m$ ．残差は $- 0.056, + 0.012, + 0.080, + 0.028, - 0.064 m$ ．
最大の残差は $0.080 m$ で，標準不確かさの約8倍もある．前半 $0$ 〜 $0.40 s$ の速度は $2.00 m s^{- 1}$ ，後半 $0.40$ 〜 $0.80 s$ は $1.30 m s^{- 1}$ ．この記録を等速とは見なせず，台車の減速や動画の読み方の変化を調べる．確かめとして，残差の和は0であるが，それだけでモデルが正しいとはいえない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

一定の速さの台車を光センサーで調べ，距離 $x$ と通過時間 $y$ の傾きから速さを求めます．6点に直線を当てはめます．候補Aの距離は $0.40, 0.45, 0.50, 0.55, 0.60, 0.65 m$ ，候補Bは $0.10, 0.30, 0.50, 0.70, 0.90, 1.10 m$ です．どちらも残差の標準偏差を $s_{e} = 0.0060 s$ と見込みます．

**［図：測定距離の範囲の比較］**
候補Aの6距離と候補Bの6距離を同じ軸に並べる．縦の位置は候補を分けるためのもの．傾きや不確かさの答えは示していない．

それぞれの $S_{x x}$ と，傾きの標準不確かさを求めよ．
候補Bを選ぶ前に確かめるべき条件を挙げよ．測定の速さが途中で変わる場合にも同じ比較が使えるか．

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考え方 回数だけでなく，横軸の平均からの広がりが傾きの不確かさを決める．

Aは $\bar{x} = 0.525 m$ ， $S_{x x} = 0.04375 m^{2}$ ， $u (b) = 0.0060 / \sqrt{0.04375} = 0.029 s m^{- 1}$ ．Bは $\bar{x} = 0.600 m$ ， $S_{x x} = 0.700 m^{2}$ ， $u (b) = 0.0072 s m^{- 1}$ ．Bでは不確かさが4分の1になる．
広い範囲でも同じ速さか，センサーの条件が一定か，距離の不確かさを無視できるかを確認する．途中で速度が変わると直線モデルが合わず，傾きの不確かさだけを比較して選べない．残差を見てから範囲を決める．確かめとして， $S_{x x}$ は距離の2乗の単位を持つので， $s_{e} / \sqrt{S_{x x}}$ は傾きと同じ単位になる．

ポイント教える人へ

グラフを描く前に，軸の単位と傾きの物理的な意味を説明してもらってください．残差の和が0になるのは当てはめの性質で，モデルの正しさの証拠ではありません．「データが直線に見える」と「残差が想定したばらつきに収まる」を区別できるか確かめます．