測定と不確かさ（発展）

最小二乗法と両対数グラフ

著者：柚木芹香

前の節では，測った点に直線を当てはめ，その傾きから $g$ を求めました．この節では，当てはめの式（最小二乗法）を偏微分で導き，傾きの不確かさも出します．最後に，べきの指数を読む両対数グラフを扱います．

定理数学の道具：最小二乗法と両対数グラフ

最小二乗法． 点 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1, \dots, N$ ）に直線 $y = a + b x$ を当てはめる．縦のずれ（残差） $e_{i} = y_{i} - a - b x_{i}$ の2乗の和

S (a, b) = \sum_{i = 1}^{N} {(y_{i} - a - b x_{i})}^{2}

を最小にする $a$ ， $b$ を選ぶ． $S$ は $a$ についても $b$ についても2次式で， $a$ ， $b$ を大きく動かすといくらでも大きくなるので，最小の点では両方の偏微分が0になる．

\frac{\partial S}{\partial a} = - 2 \sum (y_{i} - a - b x_{i}) = 0, \frac{\partial S}{\partial b} = - 2 \sum x_{i} (y_{i} - a - b x_{i}) = 0

1つ目から $\bar{y} = a + b \bar{x}$ ，つまり直線は点 $(\bar{x}, \bar{y})$ を通る．これを2つ目に入れて $\sum x_{i} [(y_{i} - \bar{y}) - b (x_{i} - \bar{x})] = 0$ ． $\sum \bar{x} (y_{i} - \bar{y}) = 0$ ， $\sum \bar{x} (x_{i} - \bar{x}) = 0$ を引いてよいので

b = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}, a = \bar{y} - b \bar{x}

分母を $S_{x x} = \sum (x_{i} - \bar{x})^{2}$ と書く．定数 $c$ だけを当てはめる（ $b = 0$ ）なら $c = \bar{y}$ になり，平均は最小二乗法の特別な場合である．

傾きと切片の不確かさ． $\sum (x_{i} - \bar{x}) \bar{y} = 0$ なので， $b = \sum w_{i} y_{i}$ ， $w_{i} = \frac{x_{i} - \bar{x}}{S_{x x}}$ と， $b$ は $y_{i}$ の1次式である．各 $y_{i}$ が独立に同じ標準不確かさ $σ$ を持つなら，前の題材の合成の式（偏微分は $w_{i}$ ）から

u (b)^{2} = \sum w_{i}^{2} σ^{2} = \frac{σ^{2}}{S_{x x}}

同様に $a = \sum (\frac{1}{N} - \bar{x} w_{i}) y_{i}$ で， $\sum w_{i} = 0$ を使うと $u (a)^{2} = σ^{2} (\frac{1}{N} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{x x}})$ ． $σ$ は残差から $s_{e} = \sqrt{\frac{\sum e_{i}^{2}}{N - 2}}$ で見積もる． $N - 2$ で割るのは，データから $a$ ， $b$ の2つを決めた分だけ残差が小さく出るからである（平均の1つを決めたときの $N - 1$ と同じ考え方）． $x$ を広い範囲に散らすほど $S_{x x}$ が大きくなり，傾きは確かになる．

両対数グラフ． $y = C x^{n}$ の常用対数を取ると

\log_{10} y = \log_{10} C + n \log_{10} x

$\log_{10} x$ を横軸， $\log_{10} y$ を縦軸にとると直線になり，傾きが指数 $n$ ，切片が $\log_{10} C$ である．指数が分からないべきの関係は，両対数グラフの傾きで読む．

練習． 3点 $(0, 1)$ ， $(1, 3)$ ， $(2, 4)$ に直線を当てはめよ．

答え： $\bar{x} = 1$ ， $\bar{y} = \frac{8}{3}$ ， $S_{x x} = 2$ ， $\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = (- 1) (- \frac{5}{3}) + 0 + 1 \cdot \frac{4}{3} = 3$ ．よって $b = 1.5$ ， $a = \frac{8}{3} - 1.5 = \frac{7}{6} \approx 1.17$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

前の節の表（ $x = l^{'}$ ， $y = T^{2}$ ）について， $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $S_{x x}$ ， $\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$ を計算し，傾き $b$ ，切片 $a$ と， $g = 4 π^{2} / b$ を求めよ．

$x [m]$	0.200	0.400	0.600	0.800	1.000	1.200
$y [s^{2}]$	0.861	1.659	2.471	3.265	4.080	4.889

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考え方 $\sum (x_{i} - \bar{x}) \bar{y} = 0$ なので，分子は $\sum (x_{i} - \bar{x}) y_{i}$ で計算してよい．

$\bar{x} = 0.700 m$ ． $x_{i} - \bar{x} = - 0.5, - 0.3, - 0.1, 0.1, 0.3, 0.5 m$ なので $S_{x x} = 2 \times (0.25 + 0.09 + 0.01) = 0.70 m^{2}$ ． $\bar{y} = \frac{17.225}{6} = 2.8708 s^{2}$ ．

\sum (x_{i} - \bar{x}) y_{i} = - 0.4305 - 0.4977 - 0.2471 + 0.3265 + 1.2240 + 2.4445 = 2.8197 m s^{2}

よって

b = \frac{2.8197}{0.70} = 4.028 s^{2} m^{- 1}, a = \bar{y} - b \bar{x} = 2.87083 - 2.81970 = 0.0511 s^{2}

$g = \frac{4 π^{2}}{4.0281} = 9.801 m s^{- 2}$ である．確かめとして，単位は $b$ が $s^{2} m^{- 1}$ なので $4 π^{2} / b$ は $m s^{- 2}$ になる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

例題 1 の当てはめについて答えよ．

**［図：残差を記入するグラフの枠］**
横軸に上端までの長さ l′ の6つの目盛り，縦軸に残差 e_i を示す．残差0の水平線がある．残差の点と縦軸の数値目盛りは示していない．

各点の残差 $e_{i}$ と，残差の標準偏差 $s_{e}$ を求めよ．
傾きの標準不確かさ $u (b)$ と， $g$ の標準不確かさを求めよ．
切片の標準不確かさ $u (a)$ を求めよ．横軸との交点 $- a / b$ から読んだおもりの半径は，ノギスで測った $r = 1.270 cm$ と合っているか． $b$ の不確かさは小さいので無視してよい．

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考え方 残差から $s_{e}$ を出し， $σ$ の代わりに使う． $g \propto b^{- 1}$ なので， $g$ の相対不確かさは $b$ と同じである．

$e_{i} = y_{i} - 0.05113 - 4.02814 x_{i}$ を計算すると， $10^{- 3} s^{2}$ 単位で $4.2, - 3.4, 3.0, - 8.6, 0.7, 4.1$ ． $\sum e_{i}^{2} = 1.30 \times 10^{- 4} s^{4}$ より

s_{e} = \sqrt{\frac{1.30 \times 10^{- 4}}{6 - 2}} = 0.0057 s^{2}

確かめとして，残差の和は0になる（直線が $(\bar{x}, \bar{y})$ を通るから）．

$u (b) = \frac{0.00571}{\sqrt{0.70}} = 0.0068 s^{2} m^{- 1}$ ．相対で $\frac{0.0068}{4.028} = 0.17$ % なので， $u (g) = 9.801 \times 0.0017 = 0.017 m s^{- 2}$ ．結果は $g = 9.801 (17) m s^{- 2}$ ．
$u (a) = 0.00571 \times \sqrt{\frac{1}{6} + \frac{0.49}{0.70}} = 0.00571 \times 0.931 = 0.0053 s^{2}$ ．交点から読む半径は $\frac{a}{b} = \frac{0.05113}{4.0281} = 0.0127 m$ ，その不確かさは $\frac{0.0053}{4.028} = 0.0013 m$ ．つまり $1.27 cm$ （標準不確かさ $0.13 cm$ ）で，ノギスの $1.270 cm$ と合っている．グラフの切片は，長さの読みに一定のずれがあることを数で教えてくれる．ただし不確かさはノギスよりずっと大きく，半径そのものを測る方法としては粗い．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

周期の式を知らないものとして，振り子の長さ $l$ （おもりの中心まで）を変えて周期 $T$ を測った． $T = C l^{n}$ の形を仮定して，両対数グラフから $n$ と $C$ を求めよ．さらに $C = 2 π / \sqrt{g}$ として $g$ を求めよ．

$l [m]$	0.100	0.200	0.400	0.800	1.600
$T [s]$	0.635	0.898	1.269	1.795	2.539

［図：両対数グラフの方眼］

横軸はlog₁₀ lの−1.0〜0.3，縦軸はlog₁₀ Tの−0.3〜0.5．0.1ごとの方眼を示す．例題の点と直線は示していない．

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考え方 長さは2倍ずつなので， $\log_{10} l$ は等間隔に並ぶ．両端の2点で傾きを見積もり，全体で確かめる．

$\log_{10} l = - 1.000, - 0.699, - 0.398, - 0.097, 0.204$ ， $\log_{10} T = - 0.1972, - 0.0467, 0.1035, 0.2541, 0.4047$ ． $\log_{10} T$ も $0.1505$ ほどずつ等間隔に増えるので，点は直線に乗る．両端から

n = \frac{0.4047 - (- 0.1972)}{0.204 - (- 1.000)} = \frac{0.6019}{1.204} = 0.500

5点に最小二乗法を使っても $n = 0.4998$ となる． $n = 0.5$ として，切片は $\log_{10} C = \overset{―}{\log_{10} T} - 0.5 \times \overset{―}{\log_{10} l} = 0.1036 + 0.1990 = 0.3026$ ， $C = 2.007 s m^{- 1 / 2}$ ． $g = \frac{4 π^{2}}{C^{2}} = \frac{39.48}{4.028} = 9.80 m s^{- 2}$ ．確かめとして， $l = 1 m$ では $\log_{10} l = 0$ なので， $C$ は長さ $1 m$ の振り子の周期（約 $2.0 s$ ）に当たる．また $n = \frac{1}{2}$ は，第2章の次元解析で出した $T \propto \sqrt{l / g}$ と一致する．

ポイントここまでのまとめ

最小二乗法は，残差の2乗の和を最小にする．偏微分を0とおいて $b = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ．直線は $(\bar{x}, \bar{y})$ を通る．
$b$ は $y_{i}$ の1次式なので， $u (b) = s_{e} / \sqrt{S_{x x}}$ ． $s_{e}$ は残差の2乗の和を $N - 2$ で割って求める． $x$ を広く散らすほど傾きは確かになる．
$y = C x^{n}$ は両対数グラフで直線になり，傾きが $n$ である．