測定と不確かさ（発展）

グラフでモデルを確かめる

著者：柚木芹香

問い

ここまで，周期の式 $T = 2 π \sqrt{l / g}$ が正しいものとして，長さと周期から $g$ を求めてきました．しかし，この式そのものは正しいのでしょうか．1つの長さで周期を測るだけでは，式は確かめられません． $l$ と $T$ を測れば，式から何かしらの $g$ が必ず計算できてしまうからです．周期の式が正しいことを，測定からどうやって確かめればよいでしょうか．

考えてみる

式を確かめるには，条件を変えて測り，同じ1つの定数で全部の結果が説明できるかを調べます．おもりの上端までの読み $l^{'}$ を $0.200 m$ から $1.200 m$ まで6通りに変え，それぞれ振れ角を約 $5^{\circ}$ にそろえて，10周期の時間から周期を求めました（説明のために作った例の値です）．

$l^{'} [m]$	0.200	0.400	0.600	0.800	1.000	1.200
$T [s]$	0.928	1.288	1.572	1.807	2.020	2.211
$T^{2} [s^{2}]$	0.861	1.659	2.471	3.265	4.080	4.889

$T$ を $l^{'}$ に対してグラフにすると，上に凸の曲線になります．しかし，曲線が $\sqrt{l}$ の形なのか， $l^{0.4}$ の形なのか，目で見分けるのは困難です．曲線は，形の違いが見えにくいのです．

直線になる軸を選ぶ

周期の式を2乗すると $T^{2} = \frac{4 π^{2}}{g} l$ です． $T^{2}$ を縦軸に，長さを横軸にとれば，式が正しいなら直線になります．直線かどうかなら，定規を当てるだけで目で判断できます．

横軸は，実際に読んだ $l^{'}$ のままにします． $l = l^{'} + r$ （ $r$ はおもりの半径）なので

T^{2} = \frac{4 π^{2}}{g} l^{'} + \frac{4 π^{2}}{g} r

となり，傾きは $b = \frac{4 π^{2}}{g}$ ，縦軸の切片は $a = \frac{4 π^{2} r}{g}$ です．傾きから $g = \frac{4 π^{2}}{b}$ が求まります．直線が横軸と交わる点は $l^{'} = - r$ で，これは $l = 0$ の点です．

ここに大事な利点があります．長さの読みに一定のずれ（おもりの半径，支点の位置の見誤り，ものさしの端のすり減り）があっても，直線が横にずれるだけで，傾きは変わりません．1組の測定から $g = 4 π^{2} l / T^{2}$ を計算すると，一定のずれはそのまま $g$ に入りますが，傾きから求めればそのずれを避けられます．

**［図：T²と上端までの長さの直線］**
本文の6点を最小二乗直線に重ねる．傾き b はΔ(T²)/Δl′．原点の近くを拡大して縦の切片 a と横軸との交点 l′ = −r を示す．拡大図は上下の縮尺が全体図と異なる．

直線を当てはめる

測った点は少しずつ散らばるので，全部の点を通る直線はありません．そこで，各点の縦のずれ（残差） $e_{i} = y_{i} - (a + b x_{i})$ の2乗の和が最小になるように $a$ ， $b$ を決めます．これを最小二乗法といい，計算は次の節で行います．表のデータでは

b = 4.028 s^{2} m^{- 1}, a = 0.0511 s^{2}

となり， $g = \frac{4 π^{2}}{4.028} = 9.801 m s^{- 2}$ ，標準不確かさは $0.017 m s^{- 2}$ です．横軸との交点は $- \frac{a}{b} = - 0.0127 m$ で，おもりの半径 $1.27 cm$ とよく合います．

残差を見る

直線に乗っているように見えても，それだけでは安心できません．当てはめた後の残差を，横軸に対して並べてみます．

$l^{'} [m]$	0.200	0.400	0.600	0.800	1.000	1.200
残差 $[s^{2}]$	$+ 0.004$	$- 0.003$	$+ 0.003$	$- 0.009$	$+ 0.001$	$+ 0.004$

残差の符号に決まった並びはなく，大きさは $0.01 s^{2}$ 以下です．どの長さでも前の題材と同じ測り方（ $t_{10}$ を10回）をしたとして，周期の標準不確かさを $0.0017 s$ とすると， $T^{2}$ の標準不確かさは $2 T u (T)$ ，つまり $0.003$ 〜 $0.008 s^{2}$ ほどと見込まれるので，残差はその程度に収まっています．これで初めて，「この範囲の長さで，周期の式は測定の精度の範囲で成り立つ」といえます．

測り方を変えてみます．どの長さでも，おもりを水平に $15 cm$ 引いて放したとします．すると短い振り子ほど振れ角が大きくなり， $l^{'} = 0.200 m$ では約 $45^{\circ}$ にもなります．第7章で見るように，振れ角が大きいと周期は長くなるので，短い振り子の $T^{2}$ だけが大きく出ます．この測定に直線を当てはめると，残差は左から $+ 0.018, - 0.011, - 0.012, - 0.006, + 0.001, + 0.010 s^{2}$ と，両端で正，中ほどで負の弓なりになります．傾きから出した $g$ も $9.93 m s^{- 2}$ へずれます．点の並びを眺めただけでは直線に見えても，残差に形があれば，モデル（振れ角の小さい単振り子）が測定の条件に合っていないと分かります．

［図：残差の散らばりと弓なりの並び］

上下で同じ縦軸の縮尺を使う．上は本文の6点から再計算した残差，下は水平に15 cm引いた場合の本文の残差．灰色の帯は各長さの±2T u(T)，u(T) = 0.0017 s．上は0のまわりに散らばり，下は両端で正，中ほどで負になる．

ポイントモデルを確かめる手順

条件（ここでは長さ）を広い範囲で変えて測る．
モデルが正しければ直線になる軸を選ぶ．
直線を当てはめ，傾きと切片の物理的な意味を確かめる．
残差を並べ，形が無く，大きさが測定の不確かさ程度かを見る．形があれば，モデルか測り方を疑う．

ポイントここまでのまとめ

1組の測定からは，式が正しくなくても何かの定数が出てしまう．条件を変えて，同じ定数で全部が説明できるかを見る．
直線になる軸（ $T^{2}$ と $l^{'}$ ）を選ぶ．傾き $4 π^{2} / g$ から $g$ を求めると，長さの一定のずれは切片に入り，傾きには入らない．
残差に形が無く，大きさが不確かさ程度なら，モデルはその範囲で成り立つ．弓なりなどの形は，モデルのずれを教える．
問いの答え：長さを変えて $T^{2}$ と $l^{'}$ のグラフが直線になること，残差に形が無いことを確かめる．傾きから $g = 9.801 m s^{- 2}$ （標準不確かさ $0.017$ ），切片からおもりの半径が読み取れた．