測定と不確かさ（発展）

計算した量の不確かさの演習

著者：柚木芹香

値だけでなく，どの読みが結果の不確かさを決めるかを調べます．以下の値は架空で，特に断らない限り入力の不確かさは独立です．括弧の中は標準不確かさを表します．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

ばねの自然長を $l_{0} = 0.2500 m$ ，おもりをつるした長さを $l_{1} = 0.2820 m$ と測りました．各長さの標準不確かさは $0.0005 m$ です．両方の読みのずれは独立とします．

**［図：独立に読むばねの二つの長さ］**
ばねの自然長l₀と，おもりをつるした長さl₁を示す．伸びの値は描いていない．

伸び $d = l_{1} - l_{0}$ とその合成標準不確かさを求めよ．
伸びの相対標準不確かさを，長さ $l_{1}$ の相対標準不確かさと比べよ．

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考え方 差では不確かさそのものを2乗して足す．大きい量どうしの差は，値が小さくても不確かさが小さくなるとは限らない．

$d = 0.0320 m$ ， $u_{c} (d) = \sqrt{{0.0005}^{2} + {0.0005}^{2}} = 0.00071 m$ ．結果は $d = 0.03200 (71) m$ ．
$u (d) / d = 0.000707 / 0.0320 \approx 0.022$ ，つまり2.2 %．一方 $u (l_{1}) / l_{1} = 0.0005 / 0.2820 \approx 0.0018$ ，つまり0.18 % である．確かめとして，伸びが0に近づいても差の絶対不確かさは変わらず，相対不確かさは大きくなる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

等速で走る台車が，間隔 $L = 0.750 m$ の2つの光センサーを $t = 0.2500 s$ で通過しました． $u (L) = 0.002 m$ ， $u (t) = 0.0010 s$ です．

**［図：二つの光センサーによる速さの測定］**
間隔Lの光センサーA・Bを台車が通過する時間tを測る．速さの値は示していない．

速さ $v = L / t$ とその合成標準不確かさを求めよ．
時間の不確かさだけが0になったとき，速さの不確かさはいくら残るか．

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考え方 商の相対不確かさは，分子・分母の相対不確かさの2乗の和の平方根である．

$v = 3.000 m s^{- 1}$ ． $u (v) / v = \sqrt{(0.002 / 0.750)^{2} + (0.0010 / 0.2500)^{2}} = 0.00481$ より， $u_{c} (v) = 0.014 m s^{- 1}$ ．報告は $v = 3.000 (14) m s^{- 1}$ ．
$u (v) = u (L) / t = 0.0080 m s^{- 1}$ 残る．時間を良くしても距離の寄与は消えない．確かめとして，距離の不確かさを時間で割った単位は速さの単位になる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

静かに放した小球の落下距離を $h = 0.800 m$ ，落下時間を $t = 0.4040 s$ と測りました． $u (h) = 0.001 m$ ， $u (t) = 0.0020 s$ です．空気抵抗は無視し， $g = 2 h / t^{2}$ を使います．

**［図：落下距離と時間を別々に測る］**
小球を放す装置と下のセンサーを示す．球の同じ点が移動する距離hを測る．

$g$ とその合成標準不確かさを求めよ．
距離または時間の不確かさの一方だけを半分にできます．どちらを改善すべきか，両方の案を計算して比べよ．

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考え方 $g \propto h t^{- 2}$ なので，時間の相対不確かさは2倍に効く．

$g = 2 \times 0.800 / {0.4040}^{2} = 9.803 m s^{- 2}$ ．距離の寄与は $0.001 / 0.800 = 0.00125$ ，時間は $2 \times 0.0020 / 0.4040 = 0.00990$ ． $u_{c} (g) = 9.803 \sqrt{{0.00125}^{2} + {0.00990}^{2}} = 0.098 m s^{- 2}$ ． $g = 9.803 (98) m s^{- 2}$ と報告する．
距離を改善すると $u (g) = 9.803 \sqrt{{0.000625}^{2} + {0.00990}^{2}} = 0.097 m s^{- 2}$ ，時間を改善すると $9.803 \sqrt{{0.00125}^{2} + {0.00495}^{2}} = 0.050 m s^{- 2}$ ．時間の改善が有効である．確かめとして，時間が長めに出ると $g$ は小さくなり，微分の負の符号と一致する．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

円柱の直径を $D = 2.000 cm$ ，高さを $H = 5.000 cm$ と測りました． $u (D) = 0.020 cm$ ， $u (H) = 0.020 cm$ です．体積は $V = π D^{2} H / 4$ です．

**［図：円柱の二つの寸法］**
円柱の直径Dと高さHを示す．体積や不確かさの答えは描いていない．

体積と合成標準不確かさを求めよ．
直径を2回掛けるので，独立な2つの測定として寄与を足してよいか．

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考え方 同じ測定値の2乗は，1つの量のべきとして扱う．同じ値を式に2回書いても，測定が2つになったわけではない．

$V = π \times {2.000}^{2} \times 5.000 / 4 = 15.708 {cm}^{3}$ ．直径の寄与は $2 u (D) / D = 0.0200$ ，高さは $u (H) / H = 0.00400$ ． $u_{c} (V) = 15.708 \sqrt{{0.0200}^{2} + {0.00400}^{2}} = 0.32 {cm}^{3}$ ． $V = 15.71 (32) {cm}^{3}$ と報告する．
いけない． $D$ のずれは2つの因子に同時に入るので，相対的なずれは2倍である． $\sqrt{2}$ 倍ではない．確かめとして， $D$ が1 % 増えれば $D^{2}$ は ${1.01}^{2} = 1.0201$ 倍で，約2 % 増える．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

壁までの距離 $L = 12.00 m$ ，直接音から反射音までの間隔 $τ = 0.07060 s$ を得ました． $u (L) = 0.020 m$ ， $u (τ) = 0.00020 s$ です．音源とマイクは同じ位置にあり， $c = 2 L / τ$ を使います．比較する基準の音速を $343.0 m s^{- 1}$ とし，その不確かさは無視します．

**［図：音の往復と波形の時間差］**
壁までの距離Lと往復経路，直接音と反射音の山の間隔τを示す．時間差の数値は描いていない．

音速と合成標準不確かさ， $k = 2$ の拡張不確かさを求めよ．
基準は $c \pm U$ の範囲に入るか．この比較だけで測定ミスと断定してよいか．

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考え方 2は正確な定数で，不確かさを持ち込まない．比較では，何倍の標準不確かさの幅かを明示する．

$c = 24.00 / 0.07060 = 339.94 m s^{- 1}$ ． $u_{c} (c) = c \sqrt{(0.020 / 12.00)^{2} + (0.00020 / 0.07060)^{2}} = 1.1 m s^{- 1}$ ． $U = 2 u_{c} = 2.2 m s^{- 1}$ ．標準不確かさで $c = 339.9 (11) m s^{- 1}$ と報告する．
丸め前の値では範囲は約 $337.71$ 〜 $342.18 m s^{- 1}$ で，基準は入らない．ただし包含係数2の範囲は必ず真の値を含む境界ではない．室温などの条件が基準と同じか，反射経路の選択や器械の時間尺度に見落としがないかを調べる．確かめとして，往復距離を片道と取り違えると約半分の値になり，今回の差よりはるかに大きい．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

斜面の高さと斜面に沿った長さの比 $q = h / L$ を測ります． $h = 0.0800 m$ ， $L = 0.4000 m$ で，各読みの独立な標準不確かさは $0.0005 m$ です．さらに，同じものさしの目盛り間隔には，共通の小さな倍率のずれ $ε$ があり， $u (ε) = 0.010$ とします．このずれだけなら，両方の読みは $(1 + ε) h$ ， $(1 + ε) L$ になります．

**［図：斜面の高さと長さの比］**
直角三角形の高さhと斜辺の長さLを，同じものさしで測る．比の値は示していない．

共通の倍率のずれが $q$ にどう入るか，分数を直接計算して調べよ．
独立な読みの不確かさだけから $u (q)$ を求めよ．倍率のずれまで独立として合成すると，なぜ過大評価になるか．

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考え方 同じ原因によるずれは独立ではない．先に同じ $ε$ を式に入れ，消えるかどうかを確かめる．

$q^{'} = (1 + ε) h / [(1 + ε) L] = h / L$ ．共通の倍率は，このモデルでは厳密に消える．独立な読みの小さなずれとの積は1次近似では無視する．
$q = 0.2000$ ， $u (q) = q \sqrt{(0.0005 / 0.0800)^{2} + (0.0005 / 0.4000)^{2}} = 0.0013$ ． $q = 0.2000 (13)$ と報告する．倍率を独立として入れると，消えるはずの $u (ε)^{2}$ を2つ足してしまう．ここでは共分散の一般式を使わず，共通の原因を式に表して判断した．確かめとして， $q$ は長さ同士の比なので無次元であり，ものさしの単位を変えても値は変わらない．

ポイント教える人へ

まず式に入る測定値を列挙し，同じ読みを2回使っていないかを調べてもらってください．相対不確かさを比べるときは指数も含めます．演習6では，独立な場合の公式を機械的に当てはめず，同じ原因のずれを同じ文字で書けることが理解の目安です．